控制系統/時變系統解

一般時變解

狀態空間方程可以針對時變系統求解，但求解過程比時不變情況複雜得多。我們的時變狀態方程如下所示

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

我們可以說，時變狀態方程的一般解定義為

[時變一般解]

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

矩陣維度
A: p × p
B: p × q
C: r × p
D: r × q

函式 $\phi$ 稱為 **狀態轉移矩陣**，因為它（就像時不變情況下的矩陣指數）控制狀態方程中狀態的變化。然而，與時不變情況不同，我們不能將其定義為簡單的指數。事實上，$\phi$ 一般不能定義，因為它實際上對於每個系統都是不同的函式。但是，狀態轉移矩陣確實遵循一些基本屬性，我們可以利用這些屬性來確定狀態轉移矩陣。

在時變系統中，當確定狀態轉移矩陣時，就獲得了通解。因此，我們需要做的第一件事（也是最重要的事情）就是找到那個矩陣。我們將在下面討論該矩陣的求解方法。

狀態轉移矩陣

注意:
狀態轉移矩陣 $\phi$ 是兩個變數（我們說 t 和 τ）的矩陣函式。一旦確定了矩陣的形式，我們就會將初始時間 t₀ 代替變數 τ。由於該矩陣的性質以及它必須滿足的屬性，該矩陣通常由指數函式或正弦函式組成。狀態轉移矩陣的精確形式取決於系統本身，以及系統微分方程的形式。這種矩陣沒有單一的“模板解”。

狀態轉移矩陣 $\phi$ 並非完全未知，它必須始終滿足以下關係

${\frac {\partial \phi (t,t_{0})}{\partial t}}=A(t)\phi (t,t_{0})$

$\phi (\tau ,\tau )=I$

並且 $\phi$ 還必須具有以下屬性

1.	$\phi (t_{2},t_{1})\phi (t_{1},t_{0})=\phi (t_{2},t_{0})$
2.	$\phi ^{-1}(t,\tau )=\phi (\tau ,t)$
3.	$\phi ^{-1}(t,\tau )\phi (t,\tau )=I$
4.	${\frac {d\phi (t_{0},t_{0})}{dt}}=A(t)$

如果系統是時不變的，我們可以定義 $\phi$ 為

$\phi (t,t_{0})=e^{A(t-t_{0})}$

讀者可以驗證這個時不變系統的解是否滿足上述所有性質。然而，在時變情況下，可能有多種不同的函式滿足這些要求，而解取決於系統的結構。在對時變解進行分析之前，必須確定狀態轉移矩陣。下面將討論一些確定該矩陣的方法。

時變，零輸入

作為最基本的情況，我們將考慮一個零輸入系統的案例。如果系統沒有輸入，那麼狀態方程可以表示為

$x'(t)=A(t)x(t)$

我們感興趣的是該系統在時間間隔 T = (a, b) 內的響應。在這種情況下，我們要做的第一件事是找到上述方程的**基本矩陣**。基本矩陣與

基本矩陣

這裡，x 是一個 n × 1 向量，A 是一個 n × n 矩陣。

給定方程

$x'(t)=A(t)x(t)$

該方程的解在時間間隔 T = (a, b) 內構成一個 n 維向量空間。上述方程的任何 n 個線性無關解集 {x₁, x₂, ..., x_n} 被稱為**基本解集**。

有線性代數背景的讀者可能會認出，基本解集是解空間的**基集**。任何跨越整個解空間的基集都是一個有效的基本解集。

**基本矩陣 FM** 是透過從 n 個基本向量中建立一個矩陣來形成的。我們將用指令碼大寫字母 X 表示基本矩陣

${\mathcal {X}}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$

基本矩陣將滿足狀態方程

${\mathcal {X}}'(t)=A(t){\mathcal {X}}(t)$

此外，**任何解決該方程的矩陣都可以是基本矩陣**，當且僅當該矩陣的行列式在時間間隔 T 內的所有時間 t 都不為零。行列式必須不為零，因為我們將使用基本矩陣的逆矩陣來求解狀態轉移矩陣。

狀態轉移矩陣

一旦我們有了系統的基本矩陣，我們就可以用它來找到系統的狀態轉移矩陣

$\phi (t,t_{0})={\mathcal {X}}(t){\mathcal {X}}^{-1}(t_{0})$

基本矩陣的逆矩陣存在，因為我們在上面的定義中指定它必須具有非零行列式，因此必須是非奇異的。讀者應該注意，這只是確定狀態轉移矩陣的一種可能方法，我們將在下面討論其他方法。

示例：二維繫統

給定以下基本矩陣，求狀態轉移矩陣。

${\mathcal {X}}(t)={\begin{bmatrix}e^{-t}&{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}$

第一步是求基本矩陣的逆矩陣。由於基本矩陣是一個 2 × 2 矩陣，因此可以透過一個通用的公式輕鬆地求出逆矩陣。

${\mathcal {X}}^{-1}(t)={\frac {\begin{bmatrix}e^{-t}&-{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}{e^{-2t}}}$$={\begin{bmatrix}{e}^{t}&-{\frac {1}{2}}\,{e}^{3t}\\0&{e}^{t}\end{bmatrix}}$

狀態轉移矩陣由以下公式給出

$\phi (t,t_{0})={\mathcal {X}}(t){\mathcal {X}}^{-1}(t_{0})={\begin{bmatrix}e^{-t}&-{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{e}^{t_{0}}&{\frac {1}{2}}\,{e}^{3t_{0}}\\0&{e}^{t_{0}}\end{bmatrix}}$

$\phi (t,t_{0})={\begin{bmatrix}e^{-t+t_{0}}&{\frac {1}{2}}(e^{t+t_{0}}-e^{-t+3t_{0}})\\0&e^{-t+t_{0}}\end{bmatrix}}$

其他方法

除了求基本矩陣之外，還有其他方法可以求狀態轉移矩陣。

方法 1

如果 A(t) 是三角矩陣（上三角或下三角），則可以透過依次積分狀態方程的各個行來確定狀態轉移矩陣。

方法 2

如果對於每個 τ 和 t，狀態矩陣滿足以下交換律

$A(t)\left[\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta \right]=\left[\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta \right]A(t)$

則狀態轉移矩陣可以表示為

$\phi (t,\tau )=e^{\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta }$

如果滿足以下任何條件，則狀態轉移矩陣將滿足上述交換律

1. A 是一個常數矩陣（時間不變）。
2. A 是一個對角矩陣。
3. 如果 $A={\bar {A}}f(t)$，其中 ${\bar {A}}$ 是一個常數矩陣，並且 f(t) 是一個標量值函式（而不是矩陣）。

如果上述條件都不滿足，則必須使用方法 3。

方法 3

如果 A(t) 可以分解為以下和

$A(t)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}f_{i}(t)$

其中 M_i 是一個常數矩陣，使得 M_iM_j = M_jM_i，並且 f_i 是一個標量值函式。如果 A(t) 可以以這種方式分解，則狀態轉移矩陣可以表示為

$\phi (t,\tau )=\prod _{i=1}^{n}e^{M_{i}\int _{\tau }^{t}f_{i}(\theta )d\theta }$

讀者可以作為練習來證明，如果 A(t) 是時間不變的，則上述方法 2 中的等式將簡化為狀態轉移矩陣 $e^{A(t-\tau )}$。

示例：使用方法 3

使用上面的方法 3 計算系統的狀態轉移矩陣，如果系統矩陣 A 由下式給出

$A={\begin{bmatrix}t&1\\-1&t\end{bmatrix}}$

我們可以將該矩陣分解如下

$A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}t+{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

其中 f₁(t) = t，並且 f₂(t) = 1。使用上面描述的公式，我們得到

$\phi (t,\tau )=e^{M_{1}\int _{\tau }^{t}\theta d\theta }e^{M_{2}\int _{\tau }^{t}d\theta }$

求解這兩個積分，我們得到

$\phi (t,\tau )=e^{{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}(t^{2}-\tau ^{2})&0\\0&(t^{2}-\tau ^{2})\end{bmatrix}}}e^{\begin{bmatrix}0&t-\tau \\-t+\tau &0\end{bmatrix}}$

第一項是對角矩陣，該矩陣函式的解是矩陣的所有單獨元素作為 e 的指數冪。

$e^{\begin{bmatrix}0&t-\tau \\-t+\tau &0\end{bmatrix}}=e^{{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}(t-\tau )}={\begin{bmatrix}\cos(t-\tau )&\sin(t-\tau )\\-\sin(t-\tau )&\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$

最終解表示為

$\phi (t,\tau )=$${\begin{bmatrix}e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(t-\tau )&\sin(t-\tau )\\-\sin(t-\tau )&\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$$={\begin{bmatrix}e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\cos(t-\tau )&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\sin(t-\tau )\\-e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\sin(t-\tau )&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$

時變非零輸入

如果系統輸入非零，我們發現上面執行的所有分析仍然有效。我們仍然可以構建基本矩陣，並且仍然可以使用狀態轉移矩陣 $\phi$ 來表示系統解。

我們可以證明，狀態空間方程的一般解實際上是解

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

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