密度泛函理論/泛函分析簡介

泛函（數學）

在 數學 中，特別是在 泛函分析 和 變分法 中，泛函 是從 向量空間 到其底層 標量場 的 函式，或者一組實數函式。換句話說，它是一個函式，它以向量作為其輸入引數，並返回一個 標量。通常向量空間是函式空間，因此泛函以函式作為其輸入引數，然後它有時被認為是一個函式的函式。它的使用起源於 變分法，在那裡人們尋找一個函式來最小化某個泛函。在 物理 中一個特別重要的應用是尋找最小化 能量泛函 的系統的狀態。

泛函細節

對偶

對映

$x_{0}\mapsto f(x_{0})$

是一個函式，其中 $x_{0}$ 是函式 $f$ 的一個 引數。同時，將函式對映到函式在某一點的值

$f\mapsto f(x_{0})$

是一個泛函，這裡 $x_{0}$ 是一個 引數。

假設f 是從線性向量空間到底層標量場的線性函式，那麼上面的線性對映是 對偶 的，在泛函分析中兩者都被稱為 線性泛函。

定積分

積分，例如

$f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu ({\mbox{d}}x)$

形成了一類特殊的泛函。只要H 是實值的，它們將函式f 對映到一個實數。例如：

• 正函式f 影像下的面積

$f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x$

• L^p 範數 函式

$f\mapsto \left(\int |f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}$

• 二維歐幾里得空間中曲線的弧長

$f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x$

向量標量積

在向量空間 $X$ 中，對於任意向量 ${\vec {x}}$，它與另一個向量 ${\vec {y}}$ 的標量積，記為 ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ 或 $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle$，是一個標量。使得這個積為零的向量集合構成 $X$ 的一個向量子空間，稱為 $X$ 的零空間或核。

區域性與非區域性

如果一個泛函的值可以針對輸入曲線的短段進行計算，然後將這些值加起來得到總值，則該函式稱為區域性函式。否則稱為非區域性函式。例如

$F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x$

是區域性的，而

$F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}$

是非區域性的。這種情況通常發生在像質心計算中，積分在方程的分子和分母中分別出現的時候。

 線性泛函

線性泛函最早出現在泛函分析中，泛函分析是研究函式的向量空間。線性泛函的一個典型例子是積分：由黎曼積分定義的線性變換。

$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

是一個來自區間 [a, b] 上的連續函式的向量空間 C[a,b] 到實數的線性泛函。I(f) 的線性性來自於關於積分的標準事實。

$I(f+g)=\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)$

$I(\alpha f)=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).$

泛函導數

首先定義泛函導數; 然後用泛函導數定義泛函微分。

泛函導數

給定一個代表（連續/光滑/具有某些邊界條件/等）函式 ρ 的流形 M 和一個定義為

$F\colon M\rightarrow \mathbb {R} \quad {\mbox{or}}\quad F\colon M\rightarrow \mathbb {C} \,,$

的泛函導數 F[ρ]，記為 δF/δρ，定義為

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}\phi (x)dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\&=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}F[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0},\end{aligned}}$

其中 $\phi$ 是一個任意函式。 $\epsilon \phi$ 稱為 ρ 的變分。

泛函微分

泛函 F[ρ] 的微分（或變分或一階變分）是，

$\delta F=\int {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}\ \delta \rho (x)\ dx\ ,$

其中 δρ(x) = εϕ(x) 是 ρ(x) 的變化。 這與函式 F(ρ₁, ρ₂, ..., ρ_n) 的 全微分 的形式類似，

$dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i}\ ,$

其中 ρ₁, ρ₂, ... , ρ_n 是自變數。比較最後兩個方程，泛函導數 δF/δρ(x) 的作用類似於偏導數 ∂F/∂ρ_i ，其中積分變數 x 就好像求和指標 i 的連續版本。

形式描述

可以透過更仔細地定義 函式空間 來使泛函導數的定義更加精確和正式。例如，當函式空間是一個 巴拿赫空間 時，泛函導數被稱為 弗雷歇導數，而在更一般的 區域性凸空間 上使用 加託導數。注意，眾所周知的 希爾伯特空間 是 巴拿赫空間 的特例。這種更加正式的處理方法允許將許多來自普通 微積分 和 分析 的定理推廣到 泛函分析 中的對應定理，以及許多新的定理可以被陳述。

性質

與函式的導數一樣，泛函導數滿足以下性質，其中 F[ρ] 和 G[ρ] 是泛函

• 線性:

${\frac {\delta (\lambda F+\mu G)}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}},\ \qquad \lambda ,\mu$   常數，

• 乘積法則:

${\frac {\delta (FG)}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F}{\delta \rho (x)}}G+F{\frac {\delta G}{\delta \rho (x)}}\,,$

• 鏈式法則

如果 f 是一個可微函式，那麼

$\displaystyle {\frac {\delta F[f(\rho )]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[f(\rho )]}{\delta f(\rho (x))}}\ {\frac {df(\rho (x))}{d\rho (x)}}\ ,$

${\frac {\delta f(F[\rho ])}{\delta \rho (x)}}={\frac {df(F[\rho ])}{dF[\rho ]}}\ {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,.$

確定泛函導數

我們給出一個公式來確定一類常見泛函的泛函導數，這類泛函可以寫成一個函式及其導數的積分形式。 這是對 尤拉-拉格朗日方程 的推廣：實際上，泛函導數是在 物理學 中引入的，在從 最小作用原理 推匯出 拉格朗日 二類方程的 拉格朗日力學 (18 世紀) 中。 以下前三個例子取自 密度泛函理論 (20 世紀)，第四個例子取自 統計力學 (19 世紀)。

公式

給定一個泛函

$F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},$

和一個在積分割槽域邊界上消失的函式 ϕ(r)，從上一節 定義 中，

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}$

第二行使用全導數獲得，其中∂f /∂∇ρ是標量對向量的導數。 第三行使用散度乘積法則獲得。第四行使用散度定理和ϕ=0在積分割槽域邊界上的條件獲得。由於ϕ也是一個任意函式，將變分法基本引理應用於最後一行，泛函導數為

${\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}$

其中ρ = ρ(r) 和 f = f (r, ρ, ∇ρ)。這個公式適用於本節開頭給出的泛函形式F[ρ]的情況。對於其他泛函形式，泛函導數的定義可以作為確定其值的起點。(見庫侖勢能泛函的例子)。

上面的泛函導數公式可以推廣到包含更高維和更高階導數的情況。泛函將是

$F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},$

其中向量r ∈ ℝⁿ，∇⁽ⁱ⁾是一個張量，其nⁱ個分量是i階偏導數運算元

$\left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1,2,\cdots ,n\ .$

泛函導數定義的類似應用得到

${\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}$

在最後兩個等式中，張量 ${\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}$ 的 nⁱ 個分量是 f 關於 ρ 的偏導數的偏導數，

$\left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ ,$

而張量標量積為：

$\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .$

示例

托馬斯-費米動能泛函

1927 年的托馬斯-費米模型使用了一個非相互作用均勻電子氣的動能泛函，這是對密度泛函理論研究電子結構的首次嘗試。

$T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.$

由於T_TF[ρ] 的被積函式不涉及ρ(r) 的導數，因此T_TF[ρ] 的泛函導數為，

${\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}\\&={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.\end{aligned}}$

庫侖勢能泛函

對於電子-核勢，托馬斯和費米採用了庫侖勢能泛函

$V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.$

應用泛函導數的定義，

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\int {\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}$

所以，

${\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .$

對於**電子-電子相互作用**的經典部分，托馬斯和費米採用庫侖勢能泛函

$J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.$

根據泛函導數的定義，

${\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,J[\rho +\epsilon \phi ]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\epsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\epsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}$

最後一個方程右邊的第一項和第二項是相等的，因為第二項中的 r 和 r′ 可以互換而不改變積分的值。因此，

$\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}$

電子-電子庫侖勢能泛函 J[ρ] 的泛函導數為，

${\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'\,.$

二階泛函導數為

${\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\right)={\frac {1}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}.$

魏茨澤克動能泛函

1935 年，魏茨澤克 提出在托馬斯-費米動能泛函中加入梯度修正，以使其更適合分子電子雲。

$T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,$

其中

$t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .$

使用之前推導的泛函導數公式，

${\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}$

結果是，

${\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .$

熵

離散的隨機變數的熵是機率質量函式的泛函。

${\begin{aligned}H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)\end{aligned}}$

因此，

${\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x)+\epsilon \phi (x)]\right]_{\epsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\displaystyle -\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}$

因此，

${\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).$

指數函式

令

$F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.$

使用 delta 函式作為測試函式，

${\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}$

因此，

${\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].$

這在從 配分函式 中計算 關聯函式 時特別有用，特別是 量子場論 中。

函式的泛函導數

函式可以像泛函一樣寫成積分的形式。例如，

$\rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.$

由於被積函式不依賴於ρ的導數，所以ρ(r)的泛函導數為：

${\begin{aligned}{\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}&={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]\\&=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').\end{aligned}}$

在 變分法 中的應用

在變分法中，泛函通常用函式、其引數和其導數的積分來表示。在泛函的被積函式 L 中，如果函式 f 透過新增另一個任意小的函式 δf 而變化，並將由此產生的 L 展開為 δf 的冪，則一階項中 δf 的係數稱為泛函導數。

例如，考慮泛函

$J[f]=\int \limits _{a}^{b}L[\,x,f(x),f\,'(x)\,]\,dx\ ,$

其中 f ′(x) ≡ df/dx。如果 f 透過新增一個函式 δf 而變化，並將由此產生的被積函式 L(x, f +δf, f '+δf ′) 展開為 δf 的冪，那麼 J 的值在一階 δf 中的變化可以用以下方式表示：

$\delta J=\int _{a}^{b}{\frac {\delta J}{\delta f(x)}}{\delta f(x)}dx\,.$

δf(x) 的係數，記為 δJ/δf(x)，稱為 J 關於 f 在點 x 處的泛函導數。 對於這個示例泛函，泛函導數是 尤拉-拉格朗日方程 的左側。

${\frac {\delta J}{\delta f(x)}}={\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,.$

使用 delta 函式作為測試函式

在物理學中，通常使用 狄拉克 delta 函式 $\delta (x-y)$ 來代替一般的測試函式 $\phi (x)$，以產生點 $y$ 處的泛函導數（這是整個泛函導數的一個點，因為 偏導數 是梯度的一個分量）。

${\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.$

當 $F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]$ 形式上可以展開為關於 $\varepsilon$ 的級數（或至少是一階），該公式在數學上並不嚴格，因為 $F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]$ 通常甚至沒有定義。

前面章節給出的定義基於對所有測試函式 ϕ 都成立的關係，因此人們可能認為當 ϕ 被選擇為一個特定的函式（例如 狄拉克δ函式）時，該關係也應該成立。但是，後者不是有效的測試函式。

在定義中，泛函導數描述了泛函 $F[\varphi (x)]$ 在整個函式 $\varphi (x)$ 發生微小變化時如何變化。$\varphi (x)$ 變化的具體形式沒有指定，但它應該擴充套件到 $x$ 定義的整個區間。採用δ函式給出的特定形式的擾動意味著 $\varphi (x)$ 僅在點 $y$ 上發生變化。除該點外，$\varphi (x)$ 沒有變化。

泛函方程

主條目：泛函方程

傳統的用法也適用於討論函式方程，指的是函式之間的方程：一個方程$F=G$ 函式之間的方程可以被理解為“待解方程”，其解本身就是函式。在這樣的方程中，可能存在多組變數未知數，例如，當說一個加性函式$f$ 是一個滿足函式方程的函式時

$f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$.

泛函導數和泛函積分

泛函導數 用於拉格朗日力學。它們是泛函的導數：即它們攜帶關於泛函如何變化的資訊，當函式發生微小變化時。另見變分法。

理查德·費曼 使用泛函積分 作為他路徑積分表述 的中心思想量子力學。這種用法意味著對某個函式空間 進行的積分。

參考文獻

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另請參閱

• 線性泛函
• 最佳化（數學）
• 張量

參考文獻

一般

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引用