泛函分析

泛函分析 的含義取決於你問誰。然而，該學科的核心是研究具有拓撲結構的線性空間，這些拓撲結構允許我們進行分析；例如函式空間、作用於函式空間的運算元空間等等。我們對這些空間的興趣是雙重的：這些具有拓撲結構的線性空間 (i) 通常表現出有趣的性質，這些性質值得我們為了它們自身而進行研究，(ii) 在數學的其他領域（例如偏微分方程）以及理論物理學中具有重要的應用；特別是量子力學。(i) 是因為分析師感興趣的線性向量空間本質上是無限維的，這需要對幾何進行仔細的考察。(關於這一點，更多內容將在第二章和第四章中介紹。)(ii) 是最初推動該領域發展的動力；泛函分析的歷史根源在於線性代數和 20 世紀初量子力學的數學表述。(參見 w:量子力學的數學表述) 本書旨在同時涵蓋這兩個方面的興趣。

本書分為兩部分。第一部分涵蓋了巴拿赫空間理論的基礎知識，重點是其應用。第二部分涵蓋了拓撲向量空間，尤其是區域性凸空間，這是巴拿赫空間的推廣。在兩部分中，我們都給出了主要結果，例如閉圖定理，導致了一些重複。這樣做的一個原因是，人們通常只需要這些結果的巴拿赫版本。另一個原因是，這種方法在教學上似乎更合理；以最一般的形式陳述這些結果可能會掩蓋其簡單性。練習被認為是本書的非整合部分。可以完全跳過它們，應該完整地閱讀和理解本書。一些替代證明和附加結果被歸類為練習，因為如果包含它們可能會破壞闡述的流暢性。

除了第六章之外，不需要測度論的知識，在第六章中，我們用測度論的語言來表述譜定理。至於拓撲，對度量空間的瞭解足以滿足第一章和第二章的需求。對後續章節，需要紮實的拓撲學基礎。

目錄

第一部分

第一章. 預備知識

佐恩引理、拓撲、哈梅爾基、哈恩-巴拿赫定理

第二章. 巴拿赫空間

開對映定理、閉圖定理、緊運算元

第三章. 希爾伯特空間

無界運算元、伴隨運算元、正交基、帕塞瓦爾定理

第四章. 巴拿赫空間的幾何

自反空間、克萊因-米爾曼定理、畢肖普定理、可分離巴拿赫空間、紹德基、詹姆斯定理、一致凸空間、單調運算元、嚴格奇異運算元

第二部分

第五章. 拓撲向量空間

區域性凸空間、度量化定理

第六章. C*-代數

蓋爾範德變換、交換巴拿赫代數的譜、泛函演算、GNS 構造

第七章. 積分論

馮·諾伊曼雙中心化定理

第三部分

第八章. 特殊主題

• 弗雷德霍姆理論 - 有界和無界運算元的指標、緊擾動

  緊群的表示 - 酉表示、彼得-魏爾定理

  索伯列夫空間

第九章. 調和分析 - 區域性緊群的巴拿赫表示的分解、普朗歇爾定理。