可微流形/微分同胚及相關向量場

微分同胚

我們現在將定義流形之間對映的同胚和微分同胚的概念。

定義 6.1:

設 $M$ 是一個 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其中通常 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，設 $N$ 是一個 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類流形，其中也 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。函式 $\psi :M\to N$ 稱為同胚，當且僅當

• 它是雙射的
• 它本身和 $\psi ^{-1}$ 都是連續的

定義 6.2:

令 $M$ 為 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，令 $N$ 為 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類流形，其中也滿足 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。令 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$。函式 $\psi :M\to N$ 稱為 **${\mathcal {C}}^{j}$ 類微分同胚**，當且僅當

• 它是雙射的
• 它本身和 $\psi ^{-1}$ 都是 ${\mathcal {C}}^{j}$ 可微的。

微分的秩

定義 6.3:

令 $d,b\in \mathbb {N}$，$M$ 為一個 $d$ 維 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，$N$ 為一個 $b$ 維 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類流形，$U\subseteq M$ 為開集，$p\in U$，且 $\psi :U\to N$ 為 ${\mathcal {C}}^{m}$ 類可微的。**$d\psi _{p}$ 的秩** 定義為

${\text{rank }}d\psi _{p}:=\dim {\text{Im }}d\psi _{p}$.

${\text{Im }}d\psi _{p}$ 的維數是定義良好的，因為 $d\psi _{p}$ 是一個線性函式，因此它的像是一個向量空間；此外，它也是 $T_{\psi (p)}N$ 的一個向量子空間，而 $T_{\psi (p)}N$ 是一個 $b$ 維向量空間，因此它具有有限維數。

定理 6.4:

令 $M$ 為一個 $d$ 維流形，類別為 ${\mathcal {C}}^{n}$，並且令 $N$ 為一個 $b$ 維流形，類別為 ${\mathcal {C}}^{k}$.

相關向量場

定義 6.3:

令 $M$ 為一個類別為 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，令 $N$ 為一個類別為 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的流形，其中也存在 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，並且令 $\psi :M\to N$ 為類別為 ${\mathcal {C}}^{j}$ 的可微對映，其中也存在 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$。我們稱 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 和 $\mathbf {W} \in {\mathfrak {X}}(N)$ 為 **$\psi$-相關**，當且僅當**

$\forall p\in M:\mathbf {W} (\psi (p))=d\psi _{p}(\mathbf {V} (p))$

定理 6.4:

設 $M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，設 $N$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的流形，其中 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，設 $\psi :M\to N$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{j}$ 的微分同胚，其中 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，設 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$。那麼 $\mathbf {W}$

$\mathbf {W} (q)=d\psi _{\psi ^{-1}(q)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(q)))$

是唯一一個向量場，使得 $\mathbf {V}$ 和 $\mathbf {W}$ 關於 $\psi$ 相關聯。

證明:

1. 我們證明了 $\mathbf {V}$ 和 $\mathbf {W}$ 是 $\psi$-相關的。

令 $p\in M$ 為任意點。那麼我們有

$\mathbf {W} (\psi (p))=d\psi _{\psi ^{-1}(\psi (p))}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(\psi (p))))=d\psi _{p}(\mathbf {V} (p))$

2. 我們證明了除了 $\mathbf {W}$ 之外，沒有其他向量場與 $\mathbf {V}$ $\psi$-相關。

令 $\mathbf {Z}$ 也包含在 ${\mathfrak {X}}(N)$ 中，使得 $\mathbf {V}$ 和 $\mathbf {Z}$ 是 $\psi$-相關的。我們證明了 $\mathbf {Z} =\mathbf {W}$，從而排除了不同於 ${\mathcal {X}}$ $\psi$-相關向量場的可能性。

事實上，對於每個 $q\in N$，我們有

由於 $\psi$ 的雙射性，存在唯一的 $p\in M$ 使得 $\psi (p)=q$，並且我們有 $p=\psi ^{-1}(q)$。因此，並且由於 $\mathbf {Z}$ 需要與 $\psi$ 相關聯到 $\mathbf {V}$

$\mathbf {Z} (q)=\mathbf {Z} (\psi (p))=d\psi _{p}(\mathbf {V} (p))=d\psi _{\psi ^{-1}(q)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(q)))=\mathbf {W} (q)$

定理 6.5:

設 $M$ 是一個 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其中 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，設 $N$ 是一個 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類流形，其中同樣 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，設 $\psi :M\to N$ 是一個 ${\mathcal {C}}^{j}$ 類微分同胚，其中同樣 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$。如果 $\mathbf {V}$ 是 ${\mathcal {C}}^{m}$ 類可微的，其中 $m\in N$ 且 $m\leq j$，那麼唯一的 $\psi$-相關向量場

$\mathbf {W} (p)=d\psi _{\psi ^{-1}(q)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(q)))$

是 ${\mathcal {C}}^{m}$ 類可微的。

證明:

令 $\vartheta \in {\mathcal {C}}^{m}(N)$。插入第 2 章中的一些定義，我們得到

${\begin{aligned}\mathbf {W} \vartheta (p)&=(d\psi _{\psi ^{-1}(p)}(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(p))))(\vartheta )\\&=(\mathbf {V} (\psi ^{-1}(p))\circ \psi ^{*})(\vartheta )\\&=\mathbf {V} (\psi ^{-1}(p))(\vartheta \circ \psi )\\&=\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )(\psi ^{-1}(p))\\&=\left(\left(\psi ^{-1}\right)^{*}\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )\right)(p)\\\end{aligned}}$

，因此

$\mathbf {W} \vartheta =\left(\psi ^{-1}\right)^{*}\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )$

由於 $\psi$ 是類 ${\mathcal {C}}^{j}$ 可微且 $j\geq m$，$\psi$ 也是類 ${\mathcal {C}}^{m}$ 可微的。此外，函式

$\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )$

是類 ${\mathcal {C}}^{m}$ 可微的，因為 $\mathbf {V}$ 是類 ${\mathcal {C}}^{m}$ 可微的。根據引理 2.17，可以得出以下結論

$\mathbf {W} \vartheta =\left(\psi ^{-1}\right)^{*}\mathbf {V} (\vartheta \circ \psi )$

可微分類${\mathcal {C}}^{m}$，因此，根據向量場的可微分性定義，$\mathbf {W}$ 也是如此。$\Box$