可微流形/李代數和向量場李括號

可微流形
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李代數

定義 7.1:

令 $L$ 為 $d$ -維實向量空間。 $L$ 被稱為 李代數 當且僅當它具有一個函式

[\cdot ,\cdot ]:L\times L\to L

使得對於所有 $\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in L$ 和 $b\in \mathbb {R}$ 這三個規則

$[\mathbf {u} ,\mathbf {v} +b\mathbf {w} ]=[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]+b[\mathbf {u} ,\mathbf {w} ]$ 和 $[\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} ]=[\mathbf {u} ,\mathbf {w} ]+b[\mathbf {v} ,\mathbf {w} ]$ (雙線性)
$[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=-[\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]$ (反對稱性)
$[\mathbf {u} ,[\mathbf {v} ,\mathbf {w} ]]+[\mathbf {w} ,[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]]+[\mathbf {v} ,[\mathbf {w} ,\mathbf {u} ]]=0$ (雅可比恆等式)

成立。

定義 7.2:

設 $L$ 是一個帶有 $[\cdot ,\cdot ]$ 的李代數。在 $L$ 的子集，它是一個李代數，且其上的 $[\cdot ,\cdot ]$ 是限制的，被稱為 **李子代數**。

向量場李括號

定義 7.3:

設 $M$ 是一個類為 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形。我們定義 **向量場李括號**，用 $[\cdot ,\cdot ]$ 表示，如下所示

[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi ):=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )

定理 6.4：如果 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類向量場在 $M$ 上，那麼 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類向量場在 $M$ 上（即 $[\cdot ,\cdot ]$ 確實對映到 ${\mathfrak {X}}(M)$ ）。

證明:

1. 我們證明對於每個 $p\in M$ ， $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)\in T(p)M$ 。令 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 且 $c\in \mathbb {R}$ 。

1.1 我們證明線性性

{\begin{aligned}{[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]}(p)(\varphi +c\vartheta )&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} (\varphi +c\vartheta ))-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} (\varphi +c\vartheta ))\\&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi +c\mathbf {W} \vartheta )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi +c\mathbf {V} \vartheta )\\&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )+c(\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \vartheta )-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \vartheta ))\\&=[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi )+c[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\vartheta )\end{aligned}}

1.2 我們證明乘積規則

{\begin{aligned}{[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]}(p)(\varphi \vartheta )&=\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} (\varphi \vartheta ))-\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} (\varphi \vartheta ))\\&=\mathbf {V} (p)(\varphi \mathbf {W} \vartheta +\vartheta \mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\varphi \mathbf {V} \vartheta +\vartheta \mathbf {V} \varphi )\\&=\mathbf {V} (p)(\varphi \mathbf {W} \vartheta )+\mathbf {V} (p)(\vartheta \mathbf {W} \varphi )-\mathbf {W} (p)(\varphi \mathbf {V} \vartheta )-\mathbf {W} (p)(\vartheta \mathbf {V} \varphi )\\&=\varphi (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \vartheta )+\overbrace {\mathbf {(} Y\vartheta )(p)} ^{=Y(p)(\vartheta )}\mathbf {V} (p)(\varphi )+\vartheta (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )+\overbrace {\mathbf {(} Y\varphi )(p)} ^{=Y(p)(\varphi )}\mathbf {V} (p)(\vartheta )\\&~~~~-\varphi (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \vartheta )-\overbrace {\mathbf {(} X\vartheta )(p)} ^{=X(p)(\vartheta )}\mathbf {W} (p)(\varphi )-\vartheta (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )-\overbrace {\mathbf {(} X\varphi )(p)} ^{=X(p)(\varphi )}\mathbf {W} (p)(\vartheta )\\&=\varphi (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \vartheta )-\varphi (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \vartheta )+\vartheta (p)\mathbf {V} (p)(\mathbf {W} \varphi )-\vartheta (p)\mathbf {W} (p)(\mathbf {V} \varphi )\\&=\varphi (p)[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\vartheta )+\vartheta (p)[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ](p)(\varphi )\end{aligned}}

2. 我們證明 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類的可微函式。

令 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 是任意函式。由於 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類向量場，所以 $\mathbf {V} \varphi$ 和 $\mathbf {W} \varphi$ 都屬於 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 。但由於 $\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類向量場，所以 $\mathbf {V} (\mathbf {W} \varphi )$ 和 $\mathbf {W} (\mathbf {V} \varphi )$ 都屬於 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 。但是，兩個可微函式的和仍然可微（這就是定理 2.? 所說的），因此 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]\varphi$ 屬於 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ ，由於 $\varphi$ 是任意的，所以 $[\mathbf {V} ,\mathbf {W} ]$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類可微的。 $\Box$