可微流形/積分曲線和李導數

積分曲線

定義 8.1:

設 $M$ 為一個流形，設 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$，並設 $I\subseteq \mathbb {R}$ 為一個區間。$\mathbf {V}$ 的積分曲線 是一個函式 $\gamma :I\to M$，使得

$\forall x\in I:\gamma _{x}'=\mathbf {V} (\gamma (x))$

定理 8.2:

令 $M$ 為 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，$n\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$（重要的是 $n\geq 1$），令 $\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 為 ${\mathcal {C}}^{j}$ 類可微向量場，$j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，並令 $p\in M$。那麼存在一個區間 $I\subseteq \mathbb {R}$ 和 $\mathbf {V}$ 的一條積分曲線 $\gamma :I\to M$，使得 $0\in I$ 且 $\gamma (0)=p$.

證明:

令 $p\in M$ 為任意點，令 $(O,\phi )$ 為 $M$ 的圖集中包含的圖，使得 $p\in O$.

引理 2.3 指出，如果我們記 $\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，則 $\phi _{k}$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 中。由於 $\mathbf {V}$ 是 ${\mathcal {C}}^{j}$ 類可微的，其中 $j\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，因此函式 $\mathbf {V} \phi _{k}$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 中。

因此，皮卡德-林德洛夫定理 適用，它告訴我們，每個初值問題

$y_{k}'(x)=(\mathbf {V} \phi _{k}\circ y_{k})(x)$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$

$y_{k}(0)=\phi _{k}(p)$

有一個解 $y_{k}:I_{k}\to \mathbb {R}$，其中每個 $I_{k}\subseteq \mathbb {R}$ 是包含零的區間。現在我們選擇

$I:=\bigcap _{k=1}^{d}I_{k}$

和

$\gamma :I\to M,\gamma (x):=\phi ^{-1}(y_{1}(x),\ldots ,y_{d}(x))$

我們注意到

$(\phi _{k}\circ \gamma )(x)=\phi _{k}(\phi ^{-1}(y_{1}(x),\ldots ,y_{d}(x)))=\phi (\phi ^{-1}(y_{1}(x),\ldots ,y_{d}(x)))_{k}=y_{k}(x)$

因此對於每個 $x\in I$ 和 $k\in \{1,\ldots ,d\}$

$\gamma _{x}'(\phi _{k})=(\phi _{k}\circ \gamma )'(x)=y_{k}'(x)=(\mathbf {V} \phi _{k}\circ \gamma )(x)=\mathbf {V} (\gamma (x))(\phi _{k})$

根據定理 2.7，可以得出

$\gamma '_{x}=\sum _{k=1}^{d}\gamma _{x}'(\phi _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{\phi ^{-1}(x)}=\sum _{k=1}^{d}\mathbf {V} (\phi ^{-1}(x))(\phi _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{\phi ^{-1}(x)}=\mathbf {V} (\gamma (x))$$\Box$

李導數

在接下來的內容中，我們將定義所謂的李導數，用於

• ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函式和
• 向量場。

定義 8.3:

設 $M$ 為 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，$\mathbf {V} \in {\mathfrak {X}}(M)$ 且 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。$\varphi$ 在 $\mathbf {V}$ 方向上的 **李導數**，記為 ${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi$，定義如下

${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi :M\to \mathbb {R} ,{\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\varphi (p):=\mathbf {V} \varphi (p)$

定義 8.4:

設 $M$ 為一個流形，且 $\mathbf {V} ,\mathbf {W} \in {\mathfrak {X}}(M)$。**$\mathbf {W}$ 在 $\mathbf {V}$ 方向上的李導數**，記為 ${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\mathbf {W}$，定義如下

${\mathfrak {L}}_{\mathbf {V} }\mathbf {W} :M\to TM,L_{\mathbf {V} }\mathbf {W} (p):=[V,W](p)$

因此，我們只是定義了函式在向量場方向上的李導數，就像定義 5.1 中定義的那樣，以及向量場在另一個向量場方向上的李導數，即第一個向量場的李括號，然後是另一個向量場（這裡順序很重要，因為李括號是反對稱的（參見定理？和定義？)）。由於我們已經有了這些符號，為什麼我們還要定義新的符號呢？原因是，在某些情況下，李導數實際上是微分商的極限意義上的導數，這將在下一章中解釋。