可微流形/定向

定義（定向）:

令 $M$ 是一個可微流形。$M$ 的一個 **定向** 是 $M$ 上的一族圖集 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，使得對於所有的 $\alpha ,\beta \in A$

$\det \left(D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\right)>0$.

命題（流形的定向在它的邊界上誘導一個定向）:

令 $M$ 是一個可微流形。如果 $(\varphi _{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $M$ 的一個定向，那麼 $\partial M$ 的一個定向由下式給出

$(\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M)_{\alpha \in A}$,

其中 $\pi _{2,\ldots ,n}$ 定義如下

$\pi _{2,\ldots ,n}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n-1},~\pi _{2,\ldots ,n}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=(x_{2},\ldots ,x_{n})$

**證明：** 給定的函式族在 定義了 $\partial M$ 上的一個圖集，因此，一旦證明了關於行列式為正的要求被滿足，該命題就得到了證明。

事實上，令 $\alpha ,\beta \in A$。那麼

$\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\alpha }\upharpoonright \partial M\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\circ \varphi _{\beta }\upharpoonright \partial M)^{-1}=\pi _{2,\ldots ,n}\circ (\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1}$.

由於 $\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}$ 將集合 $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 對映到自身，$D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})$ 的第一行只要 $x\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$ 就為零，除了第一項。然而，只要 $x\in \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\}$，最後一項必須為非負數，否則 微積分基本定理 和導數的連續性將意味著對於一個 $y:=(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ 使得 $y_{n}>0$ 足夠小，$\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(y)$ 將包含在

$\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{n}<0\}$,

與包含邊界一部分的圖表定義相反。因此，對$D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})$進行萊布尼茲展開，沿第一行，我們得到從$D(\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})$中刪除第一行和第一列得到的矩陣具有正行列式。然而，關於各個偏導數作為極限的定義表明，該矩陣正是矩陣

$D(\pi _{2,\ldots ,n}\circ (\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1})\circ (\pi _{2,\ldots ,n}\upharpoonright \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}|x_{1}=0\})^{-1})$. $\Box$