可微流形/子流形

在本章中，我們將展示子流形是什麼，以及如何在滿足條件的情況下，從某些 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函式中獲得子流形。

子流形的定義

定義 4.1:

令 $M$ 為 $d$ 維 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，令 $A$ 為其極大圖譜。如果 $m\in \{1,\ldots ,d\}$，我們稱子集 $N\subseteq M$ 為 **$m$ 維子流形**，當且僅當 $m$ 是 $\{1,\ldots ,d\}$ 中最大的數，使得對於每個 $p\in N$ 存在 $(O,\phi )\in A$ 使得 $p\in O$ 並且

$\phi (O\cap N)\subseteq \{(x_{1},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}|x_{d-m+1}=x_{d-m+2}=\ldots =x_{d}=0\}$

如何從一組特定函式中獲得子流形

引理 4.2：令 $M$ 為 $d$ 維的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其圖集為 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，令 $A$ 為其最大圖集，令 $(O,\phi )\in A$，令 $V\subseteq O$ 是 $O$ 的一個開子集。則 $(V,\phi |_{V})\in A$。

證明:

1. 我們證明 $\phi |_{V}:V\to \phi (V)$ 是一個圖。

由於同胚的限制仍然是同胚，並且如果 $V\subseteq O$ 是開放的，則 $\phi (V)$ 在 $\phi (O)$ 中是開放的，因為 $\phi$ 是一個同胚，並且進一步地，由於子空間拓撲的定義，並且由於 $\phi (V)$ 在 $\phi (O)$ 中是開放的，我們有 $\phi (V)=W\cap \phi (O)$ ，其中 $W\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ 是一個開放集，因此 $\phi (V)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是開放的，因為它是兩個開放集的交集。

2. 我們證明 $\phi |_{V}$ 與所有 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 相容。

令 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 。

我們有

$\theta |_{V\cap U}\circ (\phi |_{V})|_{V\cap U}^{-1}=(\theta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1})|_{\phi (V\cap U)}$

以及

$(\phi |_{V})|_{V\cap U}\circ \theta ^{-1}|_{V\cap U}=(\phi |_{O\cap U}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1})|_{\theta (V\cap U)}$

, 可以透過直接計算來驗證。但這些是 $n$-階可微的（如果 $n=0$，則為連續的），因為它們是 $n$-階可微（如果 $n=0$，則為連續的）函式的限制；這是因為 $\theta$ 和 $\phi$ 是相容的。根據 ${\mathcal {C}}$ 和 ${\mathcal {C}}$ 的定義，引理得證。$\Box$

引理 4.3：設 $M$ 是一個 $d$-維 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其圖集為 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設 $A$ 是其最大圖集，設 $(O,\phi )\in A$，設 $\Phi :\phi (O)\to \mathbb {R} ^{d}$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類的微分同胚。那麼我們有：$(O,\Phi \circ \phi )\in A$.

證明:

1. 我們證明 $\Phi \circ \phi$ 是一個圖表。

根據 域不變性，並且由於 $\phi (O)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是開放的，因為 $\phi$ 是一個圖表，$(\Phi \circ \phi )(O)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是開放的。此外，$\Phi$ 和 $\phi$ 是同胚（$\Phi$ 是同胚，因為每個微分同胚都是同胚），因此，$\Phi \circ \phi$ 也是一個同胚。因此，$\Phi \circ \phi$ 是一個圖表。

2. 我們證明 $\Phi \circ \phi$ 與所有 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 相容。

令 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 。

我們有

$\theta |_{U\cap O}\circ (\Phi \circ \phi )|_{U\cap O}^{-1}=\theta |_{U\cap O}\circ \phi |_{U\cap O}^{-1}\circ \Phi |_{\phi (O\cap U)}^{-1}$

並且

$(\Phi \circ \phi )|_{U\cap O}\circ \theta |_{U\cap O}^{-1}=\Phi |_{\phi (O\cap U)}\circ \phi |_{O\cup U}\circ \theta |_{U\cap O}^{-1}$

這些函式是 $n$-階可微的（如果 $n=0$，則為連續的），因為它們是函式的複合函式，這些函式是 $n$-階可微的（如果 $n=0$，則為連續的）；這是因為 $\phi$ 和 $\theta$ 是相容的。根據 ${\mathcal {C}}^{n}((\Phi \circ \phi )(O),\mathbb {R} ^{d})$ 和 ${\mathcal {C}}^{n}(\psi (O),\mathbb {R} ^{d})$ 的定義，我們完成了這個引理的證明。$\Box$

定理 4.4:

令 $M$ 是一個 $d$ 維 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其中 $n$ 必須是 $\geq 1$，具有最大圖集 $A$，令 $m\in \{1,\ldots ,d\}$ 並且令 $f_{1},\ldots ,f_{m}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$（記住定義 1.5）。如果對於每一個 $p\in N$ 都存在 $(O,\phi )\in A$ 使得 $p\in O$ 並且矩陣

${\begin{pmatrix}\left(\partial _{x_{1}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\partial _{x_{1}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

秩為$m$，那麼集合 $\left\{q\in M|f_{1}(q)=\ldots =f_{m}(q)=0\right\}$是$M$ 的維數為 $d-m$ 的子流形。

證明:

由於矩陣

${\begin{pmatrix}\left(\partial _{x_{1}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\partial _{x_{1}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{d}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

秩為$m$，它有 $m$ 線性無關的列（這是線性代數中的一個定理）。因此，存在一個排列$\sigma :\{1,\ldots ,d\}\to \{1,\ldots ,d\}$，使得矩陣的最後 $m$ 列

${\begin{pmatrix}\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

因此，$d\times d$ 矩陣

${\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&0&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&&&\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0&&&\\0&0&\cdots &0&1&0&\cdots &0\\\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&&\cdots &&&&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{1}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\\vdots &&&&\ddots &&&\vdots \\\left(\partial _{x_{\sigma (1)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&&\cdots &&&&\cdots &\left(\partial _{x_{\sigma (d)}}(f_{m}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\end{pmatrix}}$

可逆（可以使用歸納法和拉普拉斯公式證明其轉置的逆矩陣）。但該矩陣是函式$\Phi :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$的雅可比矩陣，其定義為

$\Phi (x_{1},\ldots ,x_{d})={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{d-m}\\(f_{1}\circ \phi ^{-1})(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (d)}\\\vdots \\(f_{m}\circ \phi ^{-1})(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (d)})\end{pmatrix}}$

在$\phi (p)$處的。根據逆函式定理，存在一個開集$V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$，使得$\phi (p)\in V$ 且 $\Phi |_{V}$ 是一個微分同胚。

由於 $\phi$ 是一個同胚，特別是連續的，$\phi ^{-1}(V)$ 是 $O$ 的一個開子集。根據引理 4.2，$(\phi ^{-1}(V),\phi |_{\phi ^{-1}(V)})\in A$。根據引理 4.3，$(\phi ^{-1}(V),\Phi \circ \phi |_{\phi ^{-1}(V)})\in A$。但對於 $q$ 滿足 $f_{1}(q)=\ldots =f_{m}(q)=0$ 也成立

$\Phi \circ \phi |_{\phi ^{-1}(V)}(q)=(\phi _{1}(q),\ldots ,\phi _{d-m}(q),f_{1}(q),\ldots ,f_{m}(q))=(\phi _{1}(q),\ldots ,\phi _{d-m}(q),0,\ldots ,0)$

因此，$\left\{q\in M|f_{1}(q)=\ldots =f_{m}(q)=0\right\}$ 是一個維度為 $d-m$ 的子流形。$\Box$

來源

• Torres del Castillo, Gerardo (2012). Differentiable Manifolds. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8271-2.