可微流形/最大圖集、第二可數空間和單位分解

最大圖集

定義 3.1:

設 $M$ 是 $d$ 維 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，並設 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是它的圖集。我們稱集合

$A:=\left\{(U,\theta )|U\subseteq M{\text{ open }},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d},\theta {\text{ is compatible of class }}{\mathcal {C}}^{n}{\text{ to all }}\phi _{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon \}\right\}$

為 $M$ 的最大圖集。

引理 3.2：我們有 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}\subseteq A$.

證明：這是因為如果 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，那麼根據圖集的定義，它與 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 的所有元素相容，因此根據 $A$ 的定義，它包含在 $A$ 中。$\Box$

定理 3.3：最大圖集確實是一個圖集；也就是說，對於每一個點 $p\in M$，都存在 $(U,\theta )$ 使得 $p\in M$，並且它裡面的任何兩個圖都是相容的。

證明:

1.

我們首先證明，對於每一個點 $p\in M$，都存在 $(U,\theta )$ 使得 $p\in M$。

從引理 3.2 我們知道 $M$ 的圖集被包含在 $A$ 中。

現在令 $p\in M$。根據圖集的定義，我們找到一個 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 使得 $p\in O$。由於 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}\subseteq A$，我們得到 $(U,\theta )\in A$。

2.

我們證明，任何兩個圖 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$，使得 $(O,\phi ),(U,\theta )\in A$，都是相容的。

因此，令 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$ 使得 $(O,\phi ),(U,\theta )\in A$ 為“任意”的（當然我們仍然要求 $(O,\phi ),(U,\theta )\in A$）。

如果我們有$O\cap U=\emptyset$，這直接意味著相容性（回想一下，我們定義相容性，如果$U\cap O=\emptyset$ 對於兩個圖表$\phi :O\to \mathbb {R} ^{d},\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$，那麼這兩個定義上是自動相容的）。

所以在這種情況下，我們就完成了。現在我們將證明另一種情況，即$O\cap U\neq \emptyset$。

根據${\mathcal {C}}^{n}$ 類的相容性定義，我們必須證明該函式

$\phi |_{U\cap O}\circ \psi |_{U\cap O}^{-1}:\psi (U\cap O)\to \phi (U\cap O)$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\psi (U\cap O),\mathbb {R} ^{d})$ 中，並且

$\psi |_{U\cap O}\circ \phi |_{U\cap O}^{-1}:\phi (U\cap O)\to \psi (U\cap O)$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\phi (U\cap O),\mathbb {R} ^{d})$ 中。

令 $p\in O\cap U$。由於 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是 $M$ 的圖集，我們可以找到一個圖 $(\chi ,V)\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 使得 $p\in V$。根據 $A$ 的定義，$\chi$ 和 $\psi$ 是相容的，並且 $\chi$ 和 $\phi$ 是相容的。因此，函式

$\phi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \psi |_{V\cap U\cap O}^{-1}:\psi (V\cap U\cap O)\to \phi (V\cap U\cap O)$

和

$\psi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \phi |_{V\cap U\cap O}^{-1}:\psi (V\cap U\cap O)\to \phi (V\cap U\cap O)$

是 $n$ 次可微分（或者，如果 $n=0$，則連續），特別是在 $\psi (p)$，$\phi (p)$ 分別。由於 $p\in O\cap U$ 是任意的，因此

$\phi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \psi |_{V\cap U\cap O}^{-1}=(\phi |_{U\cap O}\circ \psi |_{U\cap O}^{-1})|_{\psi (V\cap U\cap O)}$

和

$\psi |_{V\cap U\cap O}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}^{-1}\circ \chi |_{V\cap U\cap O}\circ \phi |_{V\cap U\cap O}^{-1}=(\psi |_{U\cap O}\circ \phi |_{U\cap O}^{-1})|_{\phi (V\cap U\cap O)}$

（你可以透過直接計算來證明！）而且由於 $\phi ,\psi$ 是雙射的，這證明了定理。$\Box$

定理 3.4:

設 $M$ 為一個 $d$ 維流形，其圖集為 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設 $A$ 為其最大圖集。不存在一個圖集 $B$ 使得 $A\subsetneq B$（此符號表示 $A$ 包含於 $B$，但 $B$ 比 $A$ '嚴格更大'（這個不常見的表達是指在 $B$ 中至少存在一個元素不包含於 $A$ )）。

事實上，這就是將 $A$ 稱為 '最大圖集' 的原因。

證明：我們證明不存在 $M$ 的圖集 $B$ 使得 $A\subsetneq B$。

假設存在這樣一個圖集，用反證法。然後我們找到一個元素$(U,\theta )\in B\setminus A$. 但由於$B$ 是一個圖集，$\theta$ 與所有其他圖表$\phi$ 相容，對於這些圖表，$(O,\phi )\in A$. 這意味著，根據引理 3.2，它與每個$\phi _{\upsilon },\upsilon \in \Upsilon$ 相容。因此，根據$A$ 的定義，$(U,\theta )\in A$. 這與假設矛盾！$\Box$

第二可數空間

定義 3.5:

令$M$ 為一個拓撲空間，令$U_{\kappa },\kappa \in \mathrm {K}$ 為一組開集。我們稱$\{U_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 為$M$ 的拓撲的基，當且僅當每個開集$O\subseteq M$ 可以寫成$\{U_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 中元素的並集，即

$O=\bigcup _{\upsilon \in \Upsilon }U_{\upsilon }$

其中$\Upsilon \subseteq \mathrm {K}$.

定義 3.6:

令 $M$ 是一個拓撲空間。我們稱 $M$ 為第二可數，當且僅當 $M$ 的拓撲具有可數基。

區域性有限細化和單位分解

定義 3.7:

令 ${\mathcal {X}}$ 是一個拓撲空間。${\mathcal {X}}$ 的開覆蓋是 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ ${\mathcal {X}}$ 的開子集的集合，使得

$\bigcup _{\kappa \in \mathrm {K} }V_{\kappa }={\mathcal {X}}$

例子 3.8:

集合 $\{B_{\epsilon }(x)|x\in \mathbb {R} ^{d},\epsilon >0\}$ 是實數的開覆蓋。

定義 3.9:

令 $M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 的流形。我們說$M$ 允許單位分解，當且僅當對於每一個開覆蓋 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$，都存在函式 $\{\varphi _{\iota }|\iota \in \mathrm {I} \}\subset {\mathcal {C}}^{n}(M)$，使得

1. 對於所有 $\iota \in \mathrm {I}$，存在一個 $\kappa \in \mathrm {K}$ 使得 ${\text{supp }}\varphi _{\iota }\subset V_{\kappa }$，
2. 對於所有 $\iota \in \mathrm {I}$ 和 $p\in M$，$\varphi _{\iota }(p)\geq 0$ 並且
3. 對於所有 $p\in M$，$\sum _{\iota \in \mathrm {I} }\varphi _{\iota }(p)=1$。

定義 3.10:

令 ${\mathcal {X}}$ 是一個拓撲空間，令 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 ${\mathcal {X}}$ 的一個開覆蓋。$\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 的區域性有限細化 被定義為 ${\mathcal {X}}$ 的另一個開覆蓋，例如 $\{U_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \}$，使得

• 對於每個 $\upsilon \in \Upsilon$，存在一個 $\kappa \in \mathrm {K}$ 使得 $U_{\upsilon }\subseteq V_{\kappa }$，並且
• 對於每個 $x\in {\mathcal {X}}$，集合 $\{U_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \wedge x\in V_{\upsilon }\}$ 是有限的。

現在我們將證明幾個引理，它們將幫助我們證明每一個拓撲具有可數基的流形都承認單位分解。然後，我們將證明每一個拓撲具有可數基的流形都承認單位分解 :-)

引理 3.11:

令 $M$ 是一個拓撲具有可數基的流形。那麼 $M$ 具有一個可數基 $\{V_{j}|j\in \mathbb {N} \}$ 使得對於每個 $j\in \mathbb {N}$，${\overline {U_{j}}}$ 是緊緻的。

證明:

令 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 是 $M$ 的一個可數基。對於每個 $p\in M$，我們選擇一個圖 $(O,\phi )$ 使得 $p\in O$。然後我們選擇 $W_{p}:=\phi (O)\cap B_{1}(\phi (p))$。由於在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中，集合是緊緻的當且僅當有界且閉合，${\overline {W_{p}}}$ 是緊緻的。拓撲學中有一個定理，它表明一個緊緻集在同胚下的像仍然是緊緻的。因此，$\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 是 $O$ 的一個緊緻子集。

此外，如果 $\{V_{\kappa },\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 $\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 的開子集覆蓋，那麼集合 $\{V_{\kappa }\cap O,\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 $\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 的 $O$ 的開子集覆蓋。因為 $\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 在 $O$ 中是緊緻的，我們可以從後者中選出一個有限子覆蓋 $V_{\kappa _{1}}\cap O,\ldots ,V_{\kappa _{n}}\cap O$。然後，因為

$O\subseteq \bigcup _{j=1}^{n}V_{\kappa _{j}}\cap O\subseteq \subseteq \bigcup _{j=1}^{n}V_{\kappa _{j}}$

, 集合 $V_{\kappa _{1}},\ldots ,V_{\kappa _{n}}$ 是 $\{V_{\kappa },\kappa \in \mathrm {K} \}$ 的一個有限子覆蓋。因此，$\phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$ 也是 $M$ 中的緊緻子集。

由於 $\phi$ 是一個同胚，$W_{p}$ 在 $M$ 中是開集，並且從 $W_{p}\subset {\overline {W_{p}}}$ 可以得出 $\phi ^{-1}(W_{p})\subset \phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$。因此，也

${\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}\subseteq \phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$

因為 $\phi ^{-1}(W_{p})$ 的閉包，根據定義（在某些講座的定義中），等於

$\bigcap _{A\supseteq \phi ^{-1}(W_{p}) \atop A{\text{ closed }}}A$

此外，拓撲學中的另一個定理指出緊集的閉子集是緊集。因此，${\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}$ 是緊集。

由於 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 是一個基底，因此每個 $\phi ^{-1}(W_{p})$ 都可以寫成 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 中元素的並集。現在我們選擇新的基底，它由 $p\in M$ 上 $\{U_{k}|k\in \mathbb {N} \}$ 中最小索引 $m_{p}$ 的元素的並集組成，使得 $p\in U_{m_{p}}$ 且 $U_{m_{p}}\subseteq \phi ^{-1}(W_{p})$。現在 $U_{m_{p}}$ 的閉包是緊的：由 $U_{m_{p}}\subseteq \phi ^{-1}(W_{p})$ 可以得到 ${\overline {U_{m_{p}}}}\subseteq {\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}$，由於 ${\overline {\phi ^{-1}(W_{p})}}\subseteq \phi ^{-1}({\overline {W_{p}}})$，${\overline {U_{m_{p}}}}$ 作為緊集的閉子集，也是緊的。

由於我們的新的基底是可數集的子集，因此它本身也是可數的（這裡我們將有限集包含在“可數”類別中）。因此，我們獲得了具有緊閉包元素的可數基底。 $\Box$

引理 3.12:

令 $M$ 是一個具有可數基底的流形（即一個第二可數流形）。那麼對於 $M$ 的每個覆蓋，都存在一個區域性有限細化。

證明:

令 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 為 $M$ 的一個覆蓋。根據引理 3.11，我們可以選擇 $M$ 的一個可數基 $\{U_{j}|j\in \mathbb {N} \}$，使得每個 ${\overline {U_{j}}}$ 都是緊緻的。我們現在用歸納法定義一系列緊緻集合 $(A_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ 如下：我們令 $A_{1}:={\overline {U_{1}}}$。一旦我們定義了 $A_{l}$，我們定義

$A_{l+1}:={\overline {U_{1}}}\cup \cdots \cup {\overline {U_{m}}}$

, 其中 $m\in \mathbb {N}$ 是滿足以下條件的最小的自然數：

${\text{int }}A_{l}\subset {\overline {U_{1}}}\cup \cdots \cup {\overline {U_{m}}}$

它是緊緻的，因為拓撲學中有一個定理指出有限個緊緻集合的並集是緊緻的。由於之前已經提到，拓撲學中有一個定理指出緊緻集合的閉子集是緊緻的，因此由 $B_{1}:=A_{1}$ 和

$B_{l}:=A_{l}\setminus {\text{int }}A_{l-1}$

定義的集合對於 $l\geq 2$ （直觀上，閉環）都是緊緻的。此外，由 $C_{1}:={\text{int }}A_{2}$，$C_{2}:={\text{int }}A_{3}$ 和

$C_{l}:={\text{int }}A_{l+1}\setminus A_{l-2}$

對於 $l\geq 3$ （直觀上就是下一個更大的開環）是開的，並且對於所有的 $l\in \mathbb {N}$

$B_{l}\subset C_{l}$

現在，由於 $M$ 被 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 覆蓋，所以每個集合 $B_{l}$ 也被覆蓋。現在我們如下構造區域性有限細化：我們包含所有集合，這些集合是 $C_{l}$ 與 $B_{l}$ 的有限子覆蓋（由緊緻性存在）的交集，這些子覆蓋取自 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$。這是一個區域性有限細化。$\Box$

引理 3.13:

設 $M$ 為一個 $d$-維 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其圖集為 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設 $W\subseteq O$ 在 $O$ 中是開集（關於 子空間拓撲），並設 $p\in O$ 以及設 $\epsilon >0$ 使得 $B_{\epsilon }(\phi (p))\subseteq \phi (O\cap W)$。如果我們定義

$\eta :\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\eta (x)={\begin{cases}e^{1-{\frac {1}{1-\|x\|^{2}}}}&{\text{ if }}\|x\|_{2}<1\\0&{\text{ if }}\|x\|_{2}\geq 1\end{cases}}$

，以及

$h_{p,W,\phi }:M\to \mathbb {R} ,h_{p,W,\phi }(q):={\begin{cases}\eta \left({\frac {1}{\epsilon }}(\phi (p)-\phi (q))\right)&q\in O\\0&q\notin O\\\end{cases}}$,

那麼我們有 $h_{p,W,\phi }\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$.

證明:

令 $(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。那麼我們有，對於 $x\in \theta (U)$

$(h_{p,W,\phi }|_{U}\circ \theta ^{-1})(x)={\begin{cases}0&(\phi \circ \theta ^{-1})(x)\notin B_{\epsilon }(\phi (p))\\e^{1-{\frac {1}{1-\|{\frac {1}{\epsilon }}\left(\phi (p)-(\phi \circ \theta ^{-1})(x)\right)\|^{2}}}}&(\phi \circ \theta ^{-1})(x)\in B_{\epsilon }(\phi (p))\end{cases}}$

這個函式是 $n$ 次可微（或連續的，如果 $n=0$）作為 $n$ 次可微（或連續的，如果 $n=0$）函式的複合。$\Box$

定理 3.14:

令 $M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，具有可數基，即第二可數流形。那麼 $M$ 允許單位分解。

證明:

令 $\{V_{\kappa }|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 是 $M$ 的一個開覆蓋。

對於每個點 $p\in M$，我們選擇一個圖集 $(O,\phi )$，使得 $p\in O$。此外，我們在開覆蓋中任意選擇一個 $V_{\kappa _{p}}$，使得 $p\in V_{\kappa _{p}}$。根據 子空間拓撲 的定義，我們有 $V_{\kappa _{p}}\cap O$ 在 $O$ 中是開集。因此，根據引理 3.13，我們可以選擇一個 $h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，使得 $p\in \{q\in M|h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }(q)>0\}=:W_{p}$。由於 $h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }$ 是連續的，所以所有 $W_{p}$ 都是開集；這是因為它們是開集 $(0,\infty )$ 的原像。此外，由於對於每個 $p\in M$ 都存在一個 $W_{p}$，且總是 $p\in W_{p}$，所以 $W_{p}$ 構成 $M$ 的一個覆蓋。根據引理 3.12，我們可以選擇一個區域性有限的細化。這個開覆蓋，我們用 $S$ 來表示這組開集。

現在我們定義函式

$\varphi :M\to \mathbb {R} ,\varphi (q):=\sum _{W_{p}\in S}h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }(q)$

該函式屬於 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 類，是一個有限和（因為對於每個 $p$ ，只有有限多個 $W\in S$ 使得 $p\in W$ ，因為 $S$ 是 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函式的一個區域性有限子覆蓋），而 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函式的有限和仍然是 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函式（根據定理 2.22 和歸納法），而且在任何地方都不為零（因為對於每個 $p$ ，存在一個 $W_{q}\in S$ 使得 $p$ 在其中；記住有限細化是一個開覆蓋），因此根據定理 2.26，所有函式 $\varphi _{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }:={\frac {h_{p,V_{\kappa _{p}}\cap O,\phi }}{\varphi }}$ 都包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 中。這些函式是非負的，並且它們在每個點都加起來為 $1$ ，並不難證明。此外，根據構造，它們每個的支援集都包含在一個 $V_{\kappa }$ 中。因此，它們構成了所需的單位分解。$\Box$

來源

• 朗，塞爾奇 (2002). 微分流形導論. 紐約: Springer. ISBN 0-387-95477-5.