可微流形/切空間和餘切空間的基及微分

在本節中，我們將

• 為流形上每個點的每個圖表給出切空間和餘切空間的一個基，
• 展示如何在不同的基之間轉換表示，
• 定義從流形到實數線、從區間到流形以及從流形到另一個流形的函式的微分，
• 並證明這些微分的鏈式法則、積法則和商法則。

切空間的一些基

定義 2.1:

設$M$ 是一個$d$ 維的類${\mathcal {C}}^{n}$ 流形，其中$n\geq 1$，且具有圖冊$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，並設$p\in O$。對於每個$j\in \{1,\ldots ,d\}$ 和$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，$\varphi :O\to \mathbb {R}$

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R} ,\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )={\begin{cases}\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))&p\in O\\0&p\notin O\end{cases}}$

接下來，我們將證明這些泛函是切空間的一組基。

定理 2.2：設$M$ 是一個$d$ 維${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其中$n\geq 1$，且具有圖集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，並設$p\in O$。對於所有$j\in \{1,\ldots ,d\}$

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\in T_{p}M$

即函式$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R}$ 包含在切空間$T_{p}M$ 中。

證明:

設$\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。

1. 我們證明線性。

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi +c\vartheta )&=\left(\partial _{x_{j}}((\varphi +c\vartheta )\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1}+c\vartheta \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})+c\partial _{x_{j}}(\vartheta \circ \phi ^{-1}))\right)(\phi (p))\\&=\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )+c\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\vartheta )\end{aligned}}$

從第二行到第三行，我們使用了導數的線性性質。

2. 我們證明乘積法則。

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi \vartheta )&=\left(\partial _{x_{j}}((\varphi \vartheta )\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\left(\partial _{x_{j}}((\varphi \circ \phi ^{-1})(\vartheta \circ \phi ^{-1}))\right)(\phi (p))\\&=(\varphi \circ \phi ^{-1})(\phi (p))\left(\partial _{x_{j}}(\vartheta \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))+(\vartheta \circ \phi ^{-1})(\phi (p))\left(\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\varphi (p)\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\vartheta )+\vartheta (p)\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )\end{aligned}}$

從第二行到第三行，我們使用了導數的乘積法則。

3. 由$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$的定義可知，如果$\varphi$在$p$處未定義，則$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )=0$。$\Box$

引理 2.3：設$M$ 是一個$d$ 維${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其圖冊為$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，並設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。如果我們寫$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，則對於每個$k\in \{1,\ldots ,d\}$，我們有$\phi _{k}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。

證明:

設$(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$。由於$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是一個圖冊，$\theta$ 和$\phi$ 是相容的。由此可知，函式

$\phi |_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}$

屬於 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類。但如果我們用 $\pi _{k}$ 表示函式

$\pi _{k}:\mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ,\pi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{d})=x_{k}$

, 也稱為“投影到第 $k$ 個分量”，那麼我們有

$\phi _{k}|_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}=\pi _{k}\circ \phi |_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}$

很容易證明 $\pi _{k}$ 包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因此函式

$\pi _{k}\circ \phi |_{U\cap O}\circ \theta |_{O\cap U}^{-1}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因為它是 $n$ 次連續可微函式（如果 $n=0$，則為連續函式）的複合。$\Box$

引理 2.4：設$M$ 是一個$d$ 維的${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，其中$n\geq 1$，且其圖冊為$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，並設$p\in O$。如果我們寫$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，則有

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\phi _{k})={\begin{cases}1&j=k\\0&j\neq k\end{cases}}$

注意，根據引理 2.3，$\phi _{k}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 對所有$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 成立，這就是上述表示式有意義的原因。

證明:

我們有

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\phi _{k})&=\left(\partial _{x_{j}}(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})\right)(\phi (p))\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{j-1},x_{j}+y,x_{j+1},\ldots ,x_{d})-(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{d})}{y}}\end{aligned}}$

此外，

$(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{d})=x_{k}$

並且

$(\phi _{k}\circ \phi ^{-1})(x_{1},\ldots ,x_{j-1},x_{j}+y,x_{j+1},\ldots ,x_{d})={\begin{cases}x_{k}+y&k=j\\x_{k}&k\neq j\end{cases}}$

將此代入上述極限即可得到引理。$\Box$

定理 2.5：設 $M$ 為一個 $d$ 維的類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 流形，其中 $n\geq 1$ 且具有圖集 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 且設 $p\in O$。切向量

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\in T_{p}M,j\in \{1,\ldots ,d\}$

線性無關。

證明:

我們再次寫下 $\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$。

令 $\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}=0_{p}$。 那麼對於所有 $k\in \{1,\ldots ,d\}$ 我們有

$0=0_{p}(\phi _{k})=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\phi _{k})=a_{k}$$\Box$

引理 2.6

:

令$M$ 為一個具有圖集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 的流形，$p\in M$，$V\subseteq M$ 為開集，令$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 且 $\varphi :V\to \mathbb {R} ,\varphi (q)=c$，其中 $c\in \mathbb {R}$；即 $\varphi$ 是一個常數函式。那麼 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 且 $\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$。

證明:

1. 我們證明$\varphi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$。

根據假設，$V\subseteq M$ 是開集。這意味著${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 定義的第一部分得到了滿足。

此外，對於每個$(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 和 $x\in \theta (V\cap U)$，我們有

$\varphi \circ \theta |_{U\cap V}(x)=c$

這包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$中。

2. 我們證明$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$。

我們定義$\vartheta :V\to \mathbb {R} ,\vartheta (q)=1$。利用切向量的線性法則和乘積法則，我們得到

$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=\mathbf {V} _{p}(\vartheta \varphi )=1\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\varphi (p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta )=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\mathbf {V} _{p}(\vartheta \varphi (p))=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\mathbf {V} _{p}(\varphi )$

減去$\mathbf {V} _{p}(\varphi )$，我們得到$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$。$\Box$

定理 2.7

:

令$M$ 為一個$d$ 維的${\mathcal {C}}^{\infty }$ 類流形，其圖冊為$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，令$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，並令$p\in O$。對於每個$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 和每個$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，我們有

$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )$

證明:

令$U\subseteq M$ 為開集，並令$\varphi :U\to \mathbb {R}$ 包含於${\mathcal {C}}^{n}(M)$。

情況 1：$p\notin U$。

在這種情況下，$\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$ 以及 $\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )=0$，因為 $\varphi$ 在 $p$ 處未定義，並且 $\mathbf {V} _{p}$ 和 $\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$ 都是切向量。由此得出公式。

情況 2：$p\in U$。

在這種情況下，我們得到集合$\phi (U\cap O)$在$\mathbb {R} ^{d}$中是開集，如下所示：由於$\phi :O\to \phi (O)$根據圖的定義是同胚，集合$\phi (U\cap O)$在$\phi (O)$中是開集。根據子空間拓撲的定義，我們有$\phi (U\cap O)=V\cap \phi (O)$，其中$V$在$\mathbb {R} ^{d}$中是開集。但是$V\cap \phi (O)$在$\mathbb {R} ^{d}$中是開集，因為它是兩個開集的交集；回想一下，在圖的定義中，$\phi (O)$需要是開集。

此外，從$p\in U$和$p\in O$可以推出$p\in U\cap O$，因此$\phi (p)\in \phi (O\cap U)$。由於$\phi (O\cap U)$是開集，我們找到一個$\epsilon >0$，使得開球$B_{\epsilon }(\phi (p))$包含於$\phi (O\cap U)$。我們定義$W:=\phi ^{-1}(B_{\epsilon }(\phi (p)))$。由於$\phi$是雙射的，$W\subseteq U\cap O$，並且由於$\phi$是同胚，特別是連續的，$W$在$O$中是開集（關於$O$的子空間拓撲）。由此也推出$O$在$M$中是開集，因為如果$W$在$O$中是開集，那麼根據子空間拓撲的定義，它具有$V\cap O$的形式，其中$V\subseteq M$是開集，因此它是兩個開集的交集，所以也是開集。

我們有 $\varphi |_{W}:W\to \mathbb {R}$ 包含於 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$：$W$ 是 $M$ 的一個開子集，並且如果 $(V,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，則

$\varphi |_{W\cap V}\circ \theta |_{W\cap V}^{-1}=(\varphi |_{U\cap V}\circ \theta |_{U\cap V}^{-1})|_{\theta (W\cap V)}$,

（透過直接計算驗證！），它包含於 ${\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$，因為它是任意次連續可微函式的限制。

我們現在定義函式 $F:B_{\epsilon }(\phi (p))\to \mathbb {R}$，$F(x)=(\varphi \circ \phi ^{-1})(x)$，並且進一步對於每個 $x\in B_{\epsilon }(\phi (p))$，我們定義

$\mu _{x}(\xi ):=F(\xi x+(1-\xi )\phi (p))$

根據微積分基本定理、多維鏈式法則和積分的線性性，對於每個 $x\in B_{\epsilon }(\phi (p))$，可得

${\begin{aligned}F(x)&=\mu _{x}(1)\\&=\mu _{x}(0)+\int _{0}^{1}\mu _{x}'(\xi )d\xi \\&=F(\phi (p))+\sum _{j=1}^{d}(x_{j}-\phi (p)_{j})\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}F(\xi \phi (p)+(1-\xi )x)d\xi \end{aligned}}$

如果將 $x=\phi (q)$ 設定為 $q\in W$，則透過代入 $F$ 的定義，可以得到

$\varphi (q)=\varphi (p)+\sum _{j=1}^{d}(\phi (q)_{j}-\phi (p)_{j})\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi (p)+(1-\xi )\phi (q))d\xi$

現在我們定義函式

$f_{j}:W\to \mathbb {R} ,f_{j}(q):=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi (p)+(1-\xi )\phi (q))d\xi$

這些函式包含在 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ 中，因為它們定義在 $W$ 上，而 $W$ 是開集。此外，如果 $(V,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，則

$f_{j}|_{V\cap W}\circ \theta |_{V\cap W}^{-1}=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi |_{V\cap W}\circ \theta |_{V\cap W}^{-1}+(1-\xi )\phi |_{V\cap W}\circ \theta |_{V\cap W}^{-1})d\xi$

，根據萊布尼茨積分法則，它是任意次可微的，因為它是緊集上任意次可微函式的複合函式的積分。

此外，再次表示$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$，函式$\phi _{k}$，$k\in \{1,\ldots ,d\}$ 包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$中，根據引理 2.3。

由於$\varphi |_{W}\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$，$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})$ 已定義。我們應用切向量規則（線性性和乘積規則）以及引理 2.6（我們被允許這樣做，因為所有相關函式都包含在${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$中），並得到

${\begin{aligned}\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})&=\mathbf {V} _{p}\left(\varphi (p)+\sum _{j=1}^{d}(\phi _{j}-\phi (p)_{j})f_{j}\right)\\&=\sum _{j=1}^{d}\left(\phi _{j}(p)\mathbf {V} _{p}(f_{j})+f_{j}(p)\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})-\phi (p)_{j}\mathbf {V} _{p}(f_{j})\right)\\&=\sum _{j=1}^{d}f_{j}(p)\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\end{aligned}}$

，因為根據我們的記號，很明顯 $\phi _{j}(p)=\phi (p)_{j}$。

但是

${\begin{aligned}f_{j}(p)&=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\xi \phi (p)+(1-\xi )\phi (p))d\xi \\&=\int _{0}^{1}\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\phi (p))d\xi \\&=\partial _{x_{j}}(\varphi \circ \phi ^{-1})(\phi (p))\\&=\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )\end{aligned}}$

因此，我們成功地證明了

$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\varphi )$

但是，根據 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$上的減法定義，根據引理2.6，以及常數零函式是一個常數函式的事實

$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W}-\varphi )=\mathbf {V} _{p}(0)=0$

由於$\mathbf {V} _{p}$ 的線性，所以滿足$0=\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})-\mathbf {V} _{p}(\varphi )$，即 $\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{W})=\mathbf {V} _{p}(\varphi )$。現在，將其代入上述方程即可得到定理。$\Box$

結合定理 2.5，該定理表明

$\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$

是$T_{p}M$ 的一個基，因為基是線性無關的生成集。並且由於向量空間的維數被定義為基中元素的數量，這意味著$T_{p}M$ 的維數等於$d$。

餘切空間的一些基

定義 2.8

:

設$M$ 是一個$d$ 維的${\mathcal {C}}^{\infty }$ 類流形，且其圖冊為$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，且設$p\in O$。我們寫$\phi =(\phi _{1},\ldots ,\phi _{d})$。然後，對於$j\in \{1,\ldots ,d\}$，我們定義

$(d\phi _{j})_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} ,(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p}):=\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})$

注意$(d\phi _{j})_{p}$ 是良定義的，因為引理 2.3。

定理 2.9：設$M$ 是一個$d$ 維${\mathcal {C}}^{\infty }$ 類流形，且其圖冊為$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 且設$p\in O$。對於所有$j\in \{1,\ldots ,d\}$，$(d\phi _{j})_{p}$ 包含於$T_{p}M^{*}$。

證明:

根據定義，$d\phi _{k}$ 將$T_{p}M$ 對映到$\mathbb {R}$。因此，我們只需要證明線性。事實上，對於$\mathbf {V} _{p},\mathbf {W} _{p}\in T_{p}M$ 和$b\in \mathbb {R}$，由於$T_{p}M$ 中的加法和標量乘法是逐點定義的，我們有

${\begin{aligned}(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p}+b\mathbf {W} _{p})&=(\mathbf {V} _{p}+b\mathbf {W} _{p})(\phi _{k})\\&=\mathbf {V} _{p}(\phi _{k})+b\mathbf {W} _{p}(\phi _{k})\\&=(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p})+b(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {W} _{p})\end{aligned}}$$\Box$

引理 2.10：設 $M$ 為一個 $d$ 維的 ${\mathcal {C}}^{\infty }$ 類流形，且具有圖集 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，且設 $p\in O$。對於 $j,k\in \{1,\ldots ,d\}$，下述等式成立

$(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)={\begin{cases}1&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}$

證明:

我們有

$(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}(\phi _{j}){\overset {\text{lemma 2.4}}{=}}{\begin{cases}1&k=j\\0&k\neq j\end{cases}}$$\Box$

定理 2.11：設$M$ 是一個$d$ 維${\mathcal {C}}^{\infty }$ 類流形，且具有圖集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，且設$p\in O$。餘切向量$(d\phi _{j})_{p},j\in \{1,\ldots ,d\}$ 線性無關。

證明:

設$0=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}$，其中$0$ 表示$T_{p}M^{*}$ 的零元。然後對於所有$k\in \{1,\ldots ,d\}$

$0=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right){\overset {\text{lemma 2.10}}{=}}a_{k}$$\Box$

定理 2.12:

設$M$ 是一個$d$ 維的${\mathcal {C}}^{\infty }$ 類流形，並具有圖集$\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，設$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，並設$p\in O$。如果$\alpha _{p}\in T_{p}M^{*}$，那麼對於所有$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$

$\alpha _{p}(\mathbf {V} _{p})=\sum _{j=1}^{d}\alpha _{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p})$

證明:

設$\alpha _{p}\in T_{p}M^{*}$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$。根據定理 2.7，我們有

$\mathbf {V} _{p}=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$

因此，由於$\alpha _{p}$ 的線性性（因為$T_{p}M^{*}$ 是到$\mathbb {R}$ 的線性函式的空間）

${\begin{aligned}\alpha _{p}(\mathbf {V} _{p})&=\sum _{j=1}^{d}\mathbf {V} _{p}(\phi _{j})\alpha _{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)\\&=\sum _{j=1}^{d}\alpha _{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)(d\phi _{j})_{p}(\mathbf {V} _{p})\end{aligned}}$

由於$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 是任意的，因此定理得證。$\Box$

從定理 2.11 和 2.12 可以得出，如同上一小節一樣，

$\left\{(d\phi _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$

是$T_{p}M^{*}$ 的一個基，並且$T_{p}M^{*}$ 的維數等於$d$，如同$T_{p}M$ 的維數。

在不同的基中表達切空間和餘切空間的元素

如果$M$是一個流形，$p\in M$ 並且 $(O,\phi ),(U,\theta )$ 是 $M$ 的圖冊中的兩個圖，使得 $p\in O$ 並且 $p\in U$。然後根據前兩小節，可知

• $\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 和 $\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 是 $T_{p}M$ 的基，並且
• $\left\{(d\phi _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 和 $\left\{(d\theta _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$ 是 $T_{p}M^{*}$ 的基。

現在我們可以提出以下問題：

如果我們在$T_{p}M$中有一個元素$\mathbf {V} _{p}$，由$\mathbf {V} _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$給出，那麼我們如何用基$\left\{\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{j}}}\right)_{p}{\Bigg |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$的線性組合來表示$\mathbf {V} _{p}$？

或者，如果我們在$T_{p}M^{*}$中有一個元素$\alpha _{p}$，由$\alpha _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}$給出，那麼我們如何用基$\left\{(d\theta _{j})_{p}{\big |}j\in \{1,\ldots ,d\}\right\}$的線性組合來表示$\alpha _{p}$？

以下兩個定理回答了這些問題

定理 2.13

:

設$M$ 為一個流形，$p\in M$ 且 $(O,\phi ),(U,\theta )$ 是 $M$ 的圖冊中的兩個圖表，使得 $p\in O$ 且 $p\in U$。如果 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$ 由 $\mathbf {V} _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}$給出，那麼我們有

$\mathbf {V} _{p}=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}$

證明:

根據定理 2.7，對於 $j\in \{1,\ldots ,d\}$ 我們有

$\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}=\sum _{k=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}$

由此可得

${\begin{aligned}\mathbf {V} _{p}&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\\&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\sum _{k=1}^{d}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}\\&=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}(\theta _{k})\left({\frac {\partial }{\partial \theta _{k}}}\right)_{p}\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.14:

設$M$ 為一個流形，$p\in M$ 且 $(O,\phi ),(U,\theta )$ 是 $M$ 的圖冊中的兩個圖表，使得 $p\in O$ 且 $p\in U$。如果 $\alpha _{p}\in T_{p}M^{*}$ 由 $\alpha _{p}=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}$給出，則我們有

$\alpha _{p}=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{j}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}$

證明:

根據定理 2.12，對於 $j\in \{1,\ldots ,d\}$，我們有

$(d\phi _{j})_{p}=\sum _{k=1}^{d}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}$

因此，我們得到

${\begin{aligned}\alpha _{p}&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\\&=\sum _{j=1}^{d}a_{j}\sum _{k=1}^{d}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}\\&=\sum _{k=1}^{d}\sum _{j=1}^{d}a_{j}(d\phi _{j})_{p}\left(\left({\frac {\partial }{\partial \phi _{k}}}\right)_{p}\right)(d\theta _{k})_{p}\end{aligned}}$$\Box$

拉回和微分

在本小節中，我們將定義拉回和微分。對於微分，我們需要三個定義，分別對應以下三種類型的函式：

• 從一個流形到另一個流形的函式
• 從一個流形到 $\mathbb {R}$ 的函式
• 從區間 $I\subseteq \mathbb {R}$ 到流形的函式（即曲線）

對於第一個，即從一個流形到另一個流形的函式的微分，我們需要定義什麼是拉回。

定義 2.15

:

設$M,N$ 是兩個${\mathcal {C}}^{n}$ 類的流形，且$\psi :M\to N$ 是${\mathcal {C}}^{k}$ 類的可微對映。我們定義**關於$\psi$ 的 $\varphi$ 的**回拉**”，其中$\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(N)$ 為

$\psi ^{*}:{\mathcal {C}}^{k}(N)\to {\mathcal {C}}^{k}(M),\psi ^{*}(\varphi ):=\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(O)}$,

其中$O\subseteq N$ 是$\varphi$ 定義在其上的開集。

引理 2.16：設$M$ 是一個 $d$ 維流形，且 $N$ 是一個 $b$ 維流形，設 $k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，且 $\psi :M\to N$ 是 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類的可微對映。則 $\psi$ 是連續的。

證明:

我們證明對於任意 $p\in M$，$\psi$ 在 $p$ 的一個開鄰域上是連續的。拓撲學中有一個定理指出，由此可以推出連續性。

我們在 $M$ 的圖集中選擇一個座標鄰域 $(O,\phi )$，使得 $p\in O$，並在 $N$ 的圖集中選擇一個座標鄰域 $(U,\theta )$，使得 $\psi (p)\in U$。由於 $\psi$ 的可微性，函式

$\theta \circ \psi \circ \phi |_{\phi (O\cap \psi ^{-1}(U))}^{-1}$

包含於${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{b})$，因此是連續的。但是$\phi$和$\theta$是圖表，因此是同胚，從而函式

$\psi |_{O\cap \psi ^{-1}(U)}:O\cap \psi ^{-1}(U)\to N,\psi =\theta ^{-1}\circ \theta \circ \psi \circ \phi |_{O\cap \psi ^{-1}(U)}^{-1}\circ \phi |_{O\cap \psi ^{-1}(U)}$

是連續的，因為它是連續函式的複合。$\Box$

引理 2.17：設$M,N$是兩個流形，設$\psi :M\to N$是${\mathcal {C}}^{k}$類的可微函式，並設$\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(N)$在開集$U\subseteq N$上定義。在這種情況下，函式$\varphi \circ |_{\psi ^{-1}(U)}$包含於${\mathcal {C}}^{k}(M)$；即關於$\psi$的拉回確實對映到${\mathcal {C}}^{k}(M)$。

證明:

由於引理 2.16，$\psi$是連續的，因此$\psi ^{-1}(U)$在$M$中是開集。因此$\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(U)}$在開集上定義。

令$(O,\phi )$為$M$圖冊中的任意元素，並令$x\in \phi (O)$為任意元素。我們選擇$(V,\theta )$在$N$的圖冊中，使得$\psi (\phi ^{-1}(x))\in V$。函式

$(\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(U)}\circ \phi |_{\psi ^{-1}(U)\cap O}^{-1})|_{\phi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}=\varphi |_{\psi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}\circ \theta |_{\psi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}^{-1}\circ \theta |_{\psi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O}\circ \phi |_{\phi (\psi ^{-1}(U\cap V)\cap O)}^{-1}$

是$k$次連續可微的（如果$k=0$則為連續的）在$x$處，作為兩個$k$次連續可微的（如果$k=0$則為連續的）函式的複合。因此，函式

$\varphi \circ \psi |_{\psi ^{-1}(U)}\circ \phi |_{\psi ^{-1}(U)\cap O}^{-1}$

是$k$次連續可微的（如果$k=0$則為連續的）在每一點上，因此包含在${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$中。$\Box$

定義 2.18:

設$M,N$是兩個類${\mathcal {C}}^{n}$的流形，設$\psi :M\to N$是類${\mathcal {C}}^{n}$的可微函式，並設$p\in M$。$\psi$在$p$處的微分應定義為函式

$d\psi _{p}:T_{p}M\to T_{\psi (p)}N,d\psi _{p}(\mathbf {V} _{p}):=\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*}$

定理 2.19:

設$M,N$ 是兩個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，設 $\psi :M\to N$ 是類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微對映，且 $p\in M$。我們有 $\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*}\in T_{p}N$；也就是說，$\psi$ 在 $p$ 處的微分確實對映到 $T_{p}N$。

證明:

令$O,U\subseteq M$ 為開集，$\varphi :O\to \mathbb {R} ,\vartheta :U\to \mathbb {R} \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 且$c\in \mathbb {R}$ 為任意實數。在下文的證明中，我們將用到對於所有開子集$V\subseteq O$，有$\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{V})=\mathbf {V} _{p}(\varphi )$（這由$\mathbf {V} _{p}$ 的線性性得出）。

1. 我們證明線性性。

${\begin{aligned}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi +c\vartheta )&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi +c\vartheta ))\\&=\mathbf {V} _{p}((\varphi +c\vartheta )\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)}+c\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})+c\mathbf {V} _{p}(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi ))+c\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\vartheta ))\\&=(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi )+c(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\vartheta )\end{aligned}}$

2. 我們證明乘積法則。

${\begin{aligned}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi \vartheta )&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi \vartheta ))\\&=\mathbf {V} _{p}((\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)}))\\&=(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})(p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})+(\vartheta |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})(p)\mathbf {V} _{p}(\varphi |_{O\cap U}\circ \psi |_{\psi ^{-1}(O\cap U)})\\&=\varphi (\psi (p))\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}\vartheta )+\vartheta (\psi (p))\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}\varphi )\\&=\varphi (\psi (p))(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\vartheta )+\vartheta (\psi (p))(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi )\end{aligned}}$$\Box$

定義 2.20:

設 $M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，設 $p\in M$ 且設 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。$\varphi$ 的微分，記為 $d\varphi _{p}$，定義為函式

$d\varphi _{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} ,d\varphi _{p}(\mathbf {V} _{p}):=\mathbf {V} _{p}(\varphi )$

定義 2.21:

設 $M$ 為類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，$n\geq 1$，設 $I\subseteq \mathbb {R}$ 為一個區間，設 $y\in I$ 且設 $\gamma :I\to M$ 為類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微曲線。$\gamma$ 在 $y$ 處的微分 定義為函式

$\gamma '_{y}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R} ,\gamma '_{y}(\varphi ):={\begin{cases}(\varphi \circ \gamma )'(y)&{\text{if }}\varphi {\text{ is defined at }}\gamma (y)\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

定理 2.22：設$M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，$n\geq 1$，設 $I\subseteq \mathbb {R}$ 是一個區間，設 $y\in I$ 且設 $\gamma :I\to M$ 是一個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微曲線。則對於每個 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，$\varphi \circ \gamma$ 包含於 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$，且 $\gamma '_{y}$ 是 $M$ 在 $\gamma (y)$ 處的切向量。

證明:

1. 我們證明 $\forall \varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M):\circ \gamma \in {\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$

令$x\in I$ 是任意的，並令$U$ 為$\varphi$ 定義的集合（根據${\mathcal {C}}^{n}(M)$ 函式的定義，$U$ 是開集）。我們選擇$(O,\phi )$ 作為$M$ 的圖冊中的一個，使得$\gamma (x)\in O$。則該函式

$(\varphi \circ \gamma )|_{\gamma ^{-1}(O\cap U)\cap I}=\varphi \circ \phi ^{-1}\circ \phi \circ \gamma |_{\gamma ^{-1}(O\cap U)\cap I}$

包含於${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$，因為它是兩個$n$ 次連續可微（或連續，如果$n=0$）函式的複合。

因此，$\varphi \circ \gamma$ 在每一點都是$n$ 次連續可微（或連續，如果$n=0$），因此$n$ 次連續可微（或連續，如果$n=0$）。

2. 我們將分三個步驟證明 $\gamma '_{y}\in T_{\gamma (y)}M$。

令 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$ 且 $c\in \mathbb {R}$。

2.1 我們證明線性性。

我們有

${\begin{aligned}\gamma '_{y}(\varphi +c\vartheta )&=((\varphi +c\vartheta )\circ \gamma )'(y)\\&=(\varphi \circ \gamma +c\vartheta \circ \gamma )'(y)\\&=(\varphi \circ \gamma )'(y)+c(\vartheta \circ \gamma )'(y)\\&=\gamma '_{y}(\varphi )+c\gamma '_{y}(\vartheta )\end{aligned}}$

2.2 我們證明乘積法則。

${\begin{aligned}\gamma '_{y}(\varphi \vartheta )&=((\varphi \vartheta )\circ \gamma )'(y)\\&=((\varphi \circ \gamma )(\vartheta \circ \gamma ))'(y)\\&=(\varphi \circ \gamma )(y)(\vartheta \circ \gamma )'(y)+(\vartheta \circ \gamma )(y)(\varphi \circ \gamma )'(y)\\&=\varphi (\gamma (y))\gamma '_{y}(\vartheta )+\vartheta (\gamma (y))\gamma '_{y}(\varphi )\end{aligned}}$

2.3 由 $\gamma '_{y}$ 的定義可知，如果 $\varphi$ 在 $\gamma (y)$ 處未定義，則 $\gamma '_{y}(\varphi )$ 等於零。$\Box$

C^k(M) 上微分的線性性，乘積、商和鏈式法則

在本小節中，我們將首先證明從流形到$\mathbb {R}$的函式的線性性和乘積法則。

定理 2.23:

設$M$ 為一個流形，$k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，$\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$ 且 $c\in \mathbb {R}$。則 $\varphi +c\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$，且

$d(\varphi +c\vartheta )=d\varphi +cd\vartheta$

證明:

1. 我們證明$\varphi +c\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$。

設$U$ 為$\varphi +c\vartheta$ 定義的集合（作為兩個開集的交集而為開集），並設$(O,\phi )$ 包含在$M$ 的圖集中。函式

$(\varphi +c\vartheta )|_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}=\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}+c\vartheta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因為它是兩個${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 函式的線性組合。

2. 我們證明$d(\varphi +c\vartheta )=d\varphi +cd\vartheta$。

對於所有$p\in M$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$，我們有

$d(\varphi +c\vartheta )_{p}(\mathbf {V} _{p})=\mathbf {V} _{p}(\varphi +c\vartheta )=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+c\mathbf {V} _{p}(\vartheta )=d\varphi _{p}(\mathbf {V} _{p})+cd\vartheta _{p}(\mathbf {V} _{p})$$\Box$

註記 2.24：這也表明，對於所有$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，$d\varphi _{p}\in T_{p}M^{*}$。

定理 2.25:

令$M$ 為一個流形，$k\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$ 且 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$。則 $\varphi \vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$ 且

$d(\varphi \vartheta )=\varphi d\vartheta +\vartheta d\varphi$

證明:

1. 我們證明 $\varphi \vartheta \in {\mathcal {C}}^{k}(M)$。

令$U$ 為定義 $\varphi \vartheta$ 的（作為兩個開集交集的）開集，並令$(O,\phi )$ 包含在$M$ 的圖集中。該函式

$(\varphi \vartheta )|_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}=\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}\vartheta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}$

包含在${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因為它是兩個${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 函式的乘積。

2. 我們證明 $d(\varphi \vartheta )=\varphi d\vartheta +\vartheta d\varphi$。

對於所有$p\in M$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$，我們有

$d(\varphi \vartheta )_{p}(\mathbf {V} _{p})=\mathbf {V} _{p}(\varphi \vartheta )=\varphi (p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta )+\vartheta (p)\mathbf {V} _{p}(\varphi )=\varphi (p)d\vartheta _{p}+\vartheta (p)d\varphi _{p}$$\Box$

定理 2.26:

設$M$ 是一個$d$ 維${\mathcal {C}}^{n}$ 類的流形，並設$\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，使得$\vartheta$ 在任何點都不為零。則${\frac {\varphi }{\vartheta }}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，並且

$d\left({\frac {\varphi }{\vartheta }}\right)={\frac {\vartheta d\varphi -\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$

證明:

1. 我們證明${\frac {\varphi }{\vartheta }}\in {\mathcal {C}}^{n}(M)$

設$U$ 為${\frac {\varphi }{\vartheta }}$ 定義的集合（由於它是兩個開集的交集，因此是開集），並設$(O,\phi )$ 為$M$ 的圖冊中的一個圖，使得$O\cap U\neq \emptyset$。函式

${\frac {\varphi }{\vartheta }}{\big |}_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}={\frac {\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}}{\vartheta |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}}}$

包含於${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 中，因為它是兩個${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$ 函式的商，其中分母函式在任何地方都不為零。

2. 我們證明 $d\left({\frac {\varphi }{\vartheta }}\right)={\frac {\vartheta d\varphi -\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$

選擇 $\varphi$ 為常數函式 1，根據 1.，我們得到函式 ${\frac {1}{\vartheta }}$ 屬於 ${\mathcal {C}}^{n}(M)$。因此，由乘積法則可得

$0=d\left(\vartheta {\frac {1}{\vartheta }}\right)=\vartheta d\left({\frac {1}{\vartheta }}\right)+{\frac {1}{\vartheta }}d\vartheta$

透過等價變換，可以將其轉換為

$d\left({\frac {1}{\vartheta }}\right)=-{\frac {d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$

由此以及乘積法則，我們得到

$d\left(\varphi {\frac {1}{\vartheta }}\right)={\frac {1}{\vartheta }}d\varphi -{\frac {\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}={\frac {\vartheta d\varphi -\varphi d\vartheta }{\vartheta ^{2}}}$$\Box$

定理 2.27

:

設$M,N$ 為類${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，設$\psi :M\to N$ 為類${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微對映，並設$\varphi :N\to \mathbb {R}$ 為類${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微對映。則$\varphi \circ \psi =\psi ^{*}\varphi$ 是類${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微對映，並且對於所有$p\in M$，我們有以下等式。

$d(\psi ^{*}\varphi )=d\varphi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$

證明:

1. 我們已經知道$\varphi \circ \psi =\psi ^{*}\varphi$ 是類${\mathcal {C}}^{n}$ 的可微對映；引理 2.17 已經證明了這一點。

2. 我們證明$d(\psi ^{*}\varphi )_{p}=d\varphi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$。

設$\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$。則我們有

${\begin{aligned}(d\varphi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p})(\mathbf {V} _{p})&=d\varphi _{\psi (p)}(d\psi _{p}(\mathbf {V} _{p}))\\&=d\varphi _{\psi (p)}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi )\\&=(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})(\varphi )\\&=\mathbf {V} _{p}(\psi ^{*}(\varphi ))\\&=\mathbf {V} _{p}(\varphi \circ \psi )\\&=d(\varphi \circ \psi )_{p}(\mathbf {V} _{p})\end{aligned}}$$\Box$

現在，讓我們繼續證明從流形到流形的函式的鏈式法則。但要做到這一點，我們首先需要另一個關於拉回的定理。

定理 2.28：設 $M,N,K$ 是三個流形，並且設 $\psi :M\to N$ 和 $\chi :N\to K$ 是兩個類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 可微的函式。那麼

$(\chi \circ \psi )^{*}=\psi ^{*}\circ \chi ^{*}$

證明：設 $\varphi \in {\mathcal {C}}^{k}(K)$。然後我們有

${\begin{aligned}(\chi \circ \psi )^{*}(\varphi )&=\varphi \circ (\chi \circ \psi )\\&=(\varphi \circ \chi )\circ \psi \\&=\chi ^{*}(\varphi )\circ \psi \\&=\psi ^{*}(\chi ^{*}(\varphi ))\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.29

:

設$M,N,K$ 為類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 的流形，並設$\psi :M\to N$ 和 $\chi :N\to K$ 是兩個類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 可微函式。那麼 $\chi \circ \psi$ 是類 ${\mathcal {C}}^{n}$ 可微的，並且

$\forall p\in M:d(\chi \circ \psi )_{p}=d\chi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$

證明:

1. 我們證明 $\chi \circ \psi$ 是類 ${\mathcal {C}}^{k}$ 可微的。

設$(O,\phi )$包含在$M$的圖冊中，並設$(U,\theta )$包含在$K$的圖冊中，使得$O\cap \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))\neq \emptyset$，並設$x\in \phi ^{-1}(O)\cap \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))$為任意點。我們選擇$(V,\eta )$在$N$的圖冊中，使得$\psi (\phi (x))\in V$。

我們有$\psi (\phi (x))\in V\cap \chi ^{-1}(U)$；事實上，$\psi (\phi (x))\in V$由於$(V,\phi )$的選擇，以及$\psi (\phi (x))\in \chi ^{-1}(U)$，因為$\phi (x)\in \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))$。此外，我們選擇$W:=O\cap \psi ^{-1}(V\cap \chi ^{-1}(U))$。那麼函式

$\theta ^{-1}\circ (\chi \circ \psi )\circ \phi |_{W}^{-1}=\theta ^{-1}\circ \chi \circ \eta ^{-1}\circ \eta \circ \psi |_{W}\circ \phi |_{W}^{-1}$

包含於${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d})$中，作為兩個${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d})$函式的複合。

因此，$\theta ^{-1}\circ (\chi \circ \psi )\circ \phi |_{O\cap \psi ^{-1}(\chi ^{-1}(U))}^{-1}$在每一點上都是$n$次連續可微（如果$n=0$則為連續），因此$n$次連續可微（如果$n=0$則為連續）。

2. 我們證明$\forall p\in M:d(\chi \circ \psi )_{p}=d\chi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p}$。

對於所有$p\in M$ 和 $\mathbf {V} _{p}\in T_{p}M$，我們有

${\begin{aligned}(d\chi _{\psi (p)}\circ d\psi _{p})(\mathbf {V} _{p})&=d\chi _{\psi (p)}(d\psi _{p}(\mathbf {V} _{p}))\\&=d\chi _{\psi (p)}(\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*})\\&=\mathbf {V} _{p}\circ \psi ^{*}\circ \chi ^{*}\\&{\overset {\text{theorem 2.26}}{=}}\mathbf {V} _{p}\circ (\chi \circ \psi )^{*}\\&=d(\chi \circ \psi )_{p}(\mathbf {V} _{p})\end{aligned}}$$\Box$

定理 2.30

:

設$M$ 是一個${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，$n\geq 1$ (!) $I\subseteq \mathbb {R}$ 是一個開區間，$\gamma :I\to M$ 是$M$ 中的一條曲線，它是${\mathcal {C}}^{n}$ 類可微的，並且$\varphi \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$。那麼$\varphi \circ \gamma \in {\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$。

$(\varphi \circ \gamma )'(y)=d\varphi _{\gamma (y)}(\gamma '_{y})$

證明:

1. 此外，定理 2.22 指出$\varphi \circ \gamma$ 包含於${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$。

2. 我們證明$(\varphi \circ \gamma )'(y)=d\varphi _{\gamma (y)}(\gamma '_{y})$。

${\begin{aligned}d\varphi _{\gamma (y)}(\gamma '_{y})&=\gamma '_{y}(\varphi )\\&=(\varphi \circ \gamma )'(y)\end{aligned}}$$\Box$

切空間的直觀理解

在本節中，我們希望證明我們定義的切空間與一個空間同構，該空間的元素類似於切向量，例如函式$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$的切向量。

我們首先證明線性代數中的以下引理。

引理 2.33:

設$\mathbf {U} ,\mathbf {V} ,\mathbf {W}$ 為向量空間，且$L:\mathbf {U} \to \mathbf {V}$，$T:\mathbf {V} \to \mathbf {W}$ 和 $S:\mathbf {W} \to \mathbf {U}$ 為線性函式，使得

$L\circ S\circ T={\text{Id}}_{\mathbf {V} }$，$T\circ L\circ S={\text{Id}}_{\mathbf {W} }$ 和 $S\circ T\circ L={\text{Id}}_{\mathbf {U} }$。

則 $L$，$T$ 和 $S$ 都是向量空間同構。

證明:

我們僅證明$T$是向量空間同構；$S$和$L$也是向量空間同構將以完全相同的方式得出。

從$L\circ S\circ T={\text{Id}}_{\mathbf {V} }$和$T\circ L\circ S={\text{Id}}_{\mathbf {W} }$可以得出$L\circ S$是$T$的反函式。$\Box$

定義 2.34:

設$M$為類${\mathcal {C}}^{n}$的流形，$n\geq 1$，並設$p\in M$。則$M$在$p$處的速度空間定義為由曲線集$\{\gamma :I\to M|I=(a,b),a,b\in \mathbb {R} \}$的等價關係的等價類組成的向量空間。

$\gamma \sim _{p}\rho :\Leftrightarrow \gamma '(p)=\rho '(p)$.

來源

• Torres del Castillo, Gerardo (2012). 可微流形. 波士頓: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8271-2.