微分流形/什麼是流形？

在本節中，我們將介紹流形的重要概念。

圖表、圖表的相容性、圖集和流形

在本小節中，我們將定義流形以及定義它所需的所有內容。它對於一個定義來說有點冗長，但流形在數學中是一個如此重要的概念，因此它絕對值得我們花時間去了解。

定義 1.1:

設 $M$ 是一個拓撲空間，設 $d\in \mathbb {N}$ 是一個自然數，設 $O\subseteq M$ 是開集。我們稱函式 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d}$ 為圖表，當且僅當 $\phi :O\to \phi (O)$ 是一個同胚，且 $\phi (O)$ 在 $\mathbb {R} ^{d}$ 中是開集。

定義 1.2:

設 $M$ 是一個拓撲空間，設 $d\in \mathbb {N}$ 是一個自然數，設 $O,U\subseteq M$ 是開集，設 $\phi :O\to \mathbb {R} ^{d}$ 和 $\theta :U\to \mathbb {R} ^{d}$ 是兩個圖表，設 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。我們稱這兩個圖表類${\mathcal {C}}^{n}$相容，當且僅當

$U\cap O=\emptyset$

或

兩個對映

$\theta |_{U\cap O}\circ {\phi |_{U\cap O}}^{-1}:\phi (U\cap O)\to \theta (U\cap O)$

以及

$\phi |_{U\cap O}\circ {\theta |_{U\cap O}}^{-1}:\theta (U\cap O)\to \phi (U\cap O)$

都包含在 ${\mathcal {C}}^{n}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{d})$ 中。

定義 1.3:

設 $M$ 是一個拓撲空間，設 $d\in \mathbb {N}$，設 $n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$，設 $\{O_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \}$，其中 $\Upsilon$ 是一個集合，是 $M$ 的一組開子集，設 $\{\phi _{\upsilon }:O_{\upsilon }\to \mathbb {R} ^{d}|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是相應的圖表集。我們稱集合 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 為 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類 $M$ 的圖集，當且僅當

• 對於所有$p\in M$，存在一個$(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 使得$p\in O$，並且
• 對於所有$(O,\phi ),(U,\theta )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，圖$\phi$和$\theta$是${\mathcal {C}}^{n}$類的相容圖。

定義 1.4:

令$M$是一個拓撲空間，令$d\in \mathbb {N}$，並且令$n\in \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$。連同一個$\{O_{\upsilon }|\upsilon \in \Upsilon \}$ 的$M$ ${\mathcal {C}}^{n}$類的圖集，我們稱$M$為一個**$d$維${\mathcal {C}}^{n}$類的**流形**。

流形上的可微函式

在本節中，我們將定義可微對映，它從一個流形對映到另一個流形或兩者兼而有之。

定義 1.5:

設 $M$ 是一個 $d$ 維流形，類別為 ${\mathcal {C}}^{n}$，設 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是它的一個圖冊，設 $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，設 $U\subseteq M$ 是開集。我們稱函式 $\varphi :U\to \mathbb {R}$ 是 類別 ${\mathcal {C}}^{k}$ 可微，當且僅當對於所有 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，函式

$\varphi |_{O\cap U}\circ \phi |_{O\cap U}^{-1}:\phi (O)\to \mathbb {R}$

屬於 ${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$.

我們用 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 表示所有從 $M$ 的任何開子集到 $\mathbb {R}$ 的 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類實值可微函式的集合。此外，我們用 ${\mathcal {C}}^{0}(M)$ 表示所有從 $M$ 的任何開子集到 $\mathbb {R}$ 的連續函式的集合（記住，$M$ 和 $\mathbb {R}$ 都是拓撲空間，這就是為什麼連續性是為從其中一個到另一個的函式定義的）。

在這個集合 ${\mathcal {C}}^{k}(M)$ 上，我們定義加法和乘法如下：設 $U,O\subseteq M$ 為開集，且 $\varphi :O\to \mathbb {R}$，$\vartheta :U\to \mathbb {R}$ 是兩個 ${\mathcal {C}}^{k}$ 類的可微函式。我們定義

$\varphi +\vartheta :O\cap U\to \mathbb {R} ,(\varphi +\vartheta )(p)=\varphi (p)+\vartheta (p)$

$\varphi -\vartheta :O\cap U\to \mathbb {R} ,(\varphi -\vartheta )(p)=\varphi (p)-\vartheta (p)$

$\varphi \cdot \vartheta :O\cap U\to \mathbb {R} ,(\varphi \cdot \vartheta )(p)=\varphi (p)\cdot \vartheta (p)$

並且，如果 $\vartheta$ 從不為零，

${\frac {\varphi }{\vartheta }}:O\cap U\to \mathbb {R} ,\left({\frac {\varphi }{\vartheta }}\right)(p)={\frac {\varphi (p)}{\vartheta (p)}}$

我們將在下文中使用 $\varphi \vartheta$ 來表示 $\varphi \cdot \vartheta$，省略掉乘號。這在變數相乘時也是很常見的（例如 $xy$ 代表 $x\cdot y$，當 $x,y\in \mathbb {R}$).

定義 1.6:

設 $M$ 是一個 $d$ 維的 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，設 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 是它的一個圖集，設 $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$ 且設 $I\subseteq \mathbb {R}$。我們稱一個函式 $\gamma :I\to M$ 為一個 **${\mathcal {C}}^{k}$ 類可微曲線** 當且僅當對於所有 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 函式

$\phi \circ \gamma |_{\gamma ^{-1}(O)}:\gamma ^{-1}(O)\to \mathbb {R} ^{d}$

包含於 ${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{d})$.

定義 1.7:

設 $M,N$ 分別是維數為 $d,b\in \mathbb {N}$ 的流形，設 $k\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$，設 $\{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$，$\{(U_{\kappa },\theta _{\kappa })|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 分別是 $M$ 和 $N$ 的圖冊。我們稱函式 $\psi :M\to N$ 為 **${\mathcal {C}}^{k}$ 類可微函式**，當且僅當對於所有 $(O,\phi )\in \{(O_{\upsilon },\phi _{\upsilon })|\upsilon \in \Upsilon \}$ 和所有 $(U,\theta )\in \{(U_{\kappa },\theta _{\kappa })|\kappa \in \mathrm {K} \}$ 滿足

$O\cap \psi ^{-1}(U)=\emptyset$

或者函式

$\theta \circ \psi \circ \phi ^{-1}|_{\phi (O\cap \psi ^{-1}(U))}:\phi (O\cap \psi ^{-1}(U))\to \mathbb {R} ^{b}$

包含在 ${\mathcal {C}}^{k}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} ^{b})$.

切向量、切空間和切叢

從經典意義上來說，切線是指與幾何物體在一點處相交的直線。在本節中，我們定義了流形上的切線，稱為流形的切向量，其定義有些奇怪。

定義 1.8:

令 $M$ 是一個 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，且令 $p\in M$。在 $p$ 處的切向量是一個函式 $\mathbf {V} _{p}:{\mathcal {C}}^{n}(M)\to \mathbb {R}$，使得對於所有 $c\in \mathbb {R}$ 和 $\varphi ,\vartheta \in {\mathcal {C}}^{n}(M)$，以下三條規則成立：

1. $\mathbf {V} _{p}(\varphi +c\vartheta )=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+c\mathbf {V} _{p}(\vartheta )$，只要 $\varphi$ 和 $\vartheta$ 都在 $p$ 處定義 （線性）
2. $\mathbf {V} _{p}(\varphi \vartheta )=\varphi (p)\mathbf {V} _{p}(\vartheta )+\vartheta (p)\mathbf {V} _{p}(\varphi )$ 當且僅當 $\varphi$ 和 $\vartheta$ 在 $p$ 處都有定義 (乘積法則)
3. 如果 $\varphi$ 在 $p$ 處沒有定義（即 $\varphi$ 是一個從 $O$ 到 $\mathbb {R}$ 的函式，使得 $p\notin O$), 那麼 $\mathbf {V} _{p}(\varphi )=0$.

定義 1.9:

令 $M$ 為一個流形，令 $p\in M$。在 $p$ 處的 $M$ 的切空間，記為 $T_{p}M$，被定義為在 $p$ 處所有切向量組成的向量空間，並且標量-向量乘法為

$(c\mathbf {V} _{p})(\varphi ):=c\mathbf {V} _{p}(\varphi )$,

向量加法

$(\mathbf {V} _{p}+\mathbf {W} _{p})(\varphi ):=\mathbf {V} _{p}(\varphi )+\mathbf {W} _{p}(\varphi )$

以及零元素

$\mathbf {0} _{p}(\varphi ):=0$.

定義 1.10:

設 $M$ 是一個流形。 $M$ 的**切叢**，記為 $TM$，定義如下

$TM:=\bigcup _{p\in M}T_{p}M$

餘切向量、餘切空間和餘切叢

定義 1.11:

設 $M$ 是一個 ${\mathcal {C}}^{n}$ 類流形，設 $p\in M$。從 $T_{p}M$ 到 $\mathbb {R}$ 的線性函式稱為**在 $p$ 處的餘切向量**。在 $p$ 處的餘切向量的一種標準符號是 $\alpha _{p}$。

定義 1.12:

令 $M$ 為一個流形，令 $p\in M$。$M$ 在 $p$ 的餘切空間，我們將它記為 $T_{p}M^{*}$，被定義為在 $p$ 的所有餘切向量的向量空間，具有標量-向量乘法

$(c\alpha _{p})(v_{p}):=c\alpha _{p}(v_{p})$,

向量加法

$(\alpha _{p}+\beta _{p})(v_{p}):=\alpha _{p}(v_{p})+\beta _{p}(v_{p})$

以及零元素

$0_{p}(v_{p}):=0$.

定義 1.13:

令 $M$ 為一個流形。$M$ 的餘切叢，記為 $TM^{*}$，定義如下

$TM^{*}:=\bigcup _{p\in M}T_{p}M^{*}$

張量和張量積

定義 1.14:

令 $V$ 為一個向量空間，$V^{*}$ 為它的 對偶空間，令 $k,m\in \mathbb {N} _{0}$。我們稱一個 多線性函式

$T:\overbrace {V^{*}\times \cdots \times V^{*}} ^{k{\text{ times}}}\times \overbrace {V\times \cdots \times V} ^{m{\text{ times}}}\to \mathbb {R}$

一個 **$(k,m)$ 張量**。

定義 1.15: 令 $V$ 是一個向量空間，令 $V^{*}$ 是其對偶空間，令 $k,m,j,l\in \mathbb {N} _{0}$，令 $T$ 是一個 $(k,m)$ 張量，令 $S$ 是一個 $(j,l)$ 張量。**$T$ 和 $S$ 的張量積**，記為 $T\otimes S$，定義為 $(k+j,m+l)$ 張量，由以下給出

${\begin{aligned}T\otimes S&:~\overbrace {V^{*}\times \cdots \times V^{*}} ^{k+j{\text{ times}}}\times \overbrace {V\times \cdots \times V} ^{m+l{\text{ times}}}\to \mathbb {R} ,\\(T\otimes S)(\mathbf {v} _{1}^{*},\ldots ,\mathbf {v} _{k+j}^{*},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m+l})&=T(\mathbf {v} _{1}^{*},\ldots ,\mathbf {v} _{k}^{*},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m})~\cdot \\&~~~~S(\mathbf {v} _{k+1}^{*},\ldots ,\mathbf {v} _{k+j}^{*},\mathbf {v} _{m+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m+l})\end{aligned}}$

我們將關於 $V$ 的所有張量的集合記為 $T(V)$.

來源

• Torres del Castillo, Gerardo (2012). Differentiable Manifolds. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-8271-2.
• Lang, Serge (2002). Introduction to Differentiable Manifolds. New York: Springer. ISBN 0-387-95477-5.
• Rudolph, Gerd; Schmidt, Matthias (2013). Differential Geometry and Mathematical Physics. Netherlands: Springer. ISBN 978-94-007-5345-7.