離散數學/邏輯/答案
1
- (a) 不是命題。（這是一個命令，或祈使句。）
- (b) 和
- (c) 都是命題。
- (d) 不是命題；它是一個問題。
- (e) 嚴格來說是一個命題函式，但許多人會說它是一個命題。
- (f) 不是命題，因為結果可能是真或假，它取決於 a & b 的值。
2
- 注意到 p 是 假（1024 位元組稱為 1KB）而 q 是 真，我們有
- (a) “1024 位元組稱為 1MB 並且計算機鍵盤是資料輸入裝置的一個例子”。假。
- (b) “(或者) 1024 位元組稱為 1MB 或者計算機鍵盤是資料輸入裝置的一個例子”。真。
- 這裡的 Either 這個詞是可選的；它在邏輯中沒有等效符號，也不需要。
- (c) “1024 位元組不稱為 1MB”。真。
3
- (a) x ≥ 50
- (b) x ≤ 40
- (c) 40 < x < 50
- (d) x < 50 或 x > 40。這對於所有 x 的值都是真的。
- (e) x ≥ 50（注意我們不需要另外說 x > 40；只要 x ≥ 50，這必須是真的。）
- (f) x ≥ 50 並且 x ≤ 40。無論 x 的值如何，這永遠不會是真的。
- 所以 (d) 是一個 重言式 - 它總是真的；而 (f) 總是假的。
4
- (a) 我不喜歡數學，但我每週至少要花 6 個小時學習數學。
- (這聽起來比“我不喜歡數學，我每週要花至少 6 個小時學習數學”更自然。）
- (b) 我要麼不喜歡數學，要麼每週要花至少 6 個小時學習數學。
- (c) 我不喜歡數學這句話是不對的。（或者簡單地說：我喜歡數學。）
- (d) 我要麼不喜歡數學，要麼每週不花至少 6 個小時學習數學。
- (這裡不太容易得到一個聽起來自然的句子。可能包含 Either 這個詞會有所幫助，但它不是必需的。）
- (e) 我要麼喜歡數學，要麼每週要花至少 6 個小時學習數學這句話是不對的。或者，簡單地說：我既不喜歡數學，也不打算每週花至少 6 個小時學習數學。
- 或者，你可以寫出 (f) 的答案，它是……
- (f) 我不喜歡數學，我每週也不打算花至少 6 個小時學習數學。
5
- (a) (ii)
- (b) (i) 和 (iii)
- (c) (iii)
返回 邏輯練習 1
1
(a)
| p | q | ¬p | ¬q | ¬p ∨ ¬q |
| T | T | F | F | F |
| T | F | F | T | T |
| F | T | T | F | T |
| F | F | T | T | T |
(b)
| p | q | q | ¬p | ∨q |
| T | T | T | F | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | T | T |
| F | F | F | T | T |
| (3)
輸出 |
(1) | (2) |
(c)
| p | q | r | p | (q ∨ r) |
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T |
| T | F | T | T | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | F | T |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | F |
| (2)
輸出 |
(1) |
(d)
| p | q | r | (p q) | ∨ r |
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | T | T |
| T | F | T | F | T |
| T | F | F | F | F |
| F | T | T | F | T |
| F | T | F | F | F |
| F | F | T | F | T |
| F | F | F | F | F |
| (1) | (2)
輸出 |
2
- 兩個結果列都相同：T，T，T，F。
3
- 兩個結果都是 T，F，F，F
返回 邏輯練習 2
1
- (a) 是的；兩個結果列都給出 T，T，T，F
- (b) 否；第一個是 F，T，T，F；第二個是 T，F，F，T
2
- (a) F，T，T，T，T，T，T，T。
- 這是 T，F，F，F，F，F，F，F 的否定，它只有在 a、b 和 c 都為真的時候才為真。所以這個表示式等價於 ¬(a b c)
- (b) T，T，T，T，F，F，F，F，T，T，T，T，F，F，F，F。
- 這與 b 的列相同，所以這個表示式等價於 b。
3
- (a) a ∨ b
- (b) a ∨ b
- (c) q ∨ p
4
- 結果是 T，T，T，T。所以它總是真的
5
- ((p ∨ q) ¬(p q)) ¬r
6
- 在每種情況下，結果都是 F，F，F，F，T，T，F，F
7
| (z w) ∨ (¬z w) ∨ (z ¬w) | = (z w) ∨ (z ¬w) ∨ (¬z w) | 交換律 |
| = (z (w ∨ ¬w)) ∨ (¬z w) | 分配律 | |
| = (z T) ∨ (¬z w) | 補律 | |
| = z ∨ (¬z w) | 恆等律 | |
| = (z ∨ ¬z) (z ∨ w) | 分配律 | |
| = T (z ∨ w) | 補律 | |
| = (z ∨ w) T | 交換律 | |
| = z ∨ w | 恆等律 |
返回 邏輯練習 3
1
- (a) ¬p
- (b) ¬s p
- (c) p ⇒ r
- (d) r ⇒ (q p)
- (e) 我這周要工作 40 個小時，或者我會完成我的課程作業。
- (f) 如果我不完成我的課程作業，我就不會透過數學考試。
2
- 表格僅顯示每種情況下的結果列
| (a) | (b) | (c) | (d) | (e) | ||
| p | q | p ⇒ (p ∨ q) | (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) | (p (p ⇒ q)) ⇒ q | (p q) ⇒ p | q ⇔ (¬p ∨ ¬q) |
| T | T | T | T | T | T | F |
| T | F | T | T | T | T | F |
| F | T | T | F | T | T | T |
| F | F | T | T | T | T | F |
因此，結果是
- (a) 是，始終為真
- (b) 否
- (c) 是
- (d) 是
- (e) 否
3
- 每種情況下結果列為 T、F、T、T。因此，這些命題在邏輯上是等價的。
1 friend(Jimmy)
2 wealthy(Sue) clever(Sue)
3 wealthy(Jane) ¬clever(Jane)
4 friend(Mark) friend(Elaine)
5 friend(Peter) ⇒ ¬boring(Peter)
6 (wealthy(Jimmy) ¬boring(Jimmy)) ⇒ friend(Jimmy)
返回 邏輯練習 5
1
- (a) ∃ x, friend(x) clever(x)
- (b) ∀x, clever(x) ⇒ boring(x)
- (c) ∀x, friend(x) ⇒ ¬wealthy(x)
- 或：¬(∃ x, friend(x) wealthy(x))
- (d) ∃x, friend(x) wealthy(x) clever(x)
- (e) ∀x, (clever(x) friend(x)) ⇒ boring(x)
- (f) ∀x, clever(x) ⇒ (boring(x) ∨ wealthy(x))
2
- (a) popstar(x) 是“x 是流行歌星”
- overpaid(x) 是“x 薪水過高”
- ∀x, popstar(x) ⇒ overpaid(x)
- (b) pilot(x) 是“x 是皇家空軍飛行員”
- woman(x) 是“x 是女性”
- ∃x, pilot(x) woman(x)
- (c) student(x) 是“x 是學生”
- rolls(x) 是“x 擁有勞斯萊斯”
- ∀ x, student(x) ⇒ ¬rolls(x)
- 或：¬(∃ x, student(x) rolls(x))
- (d) doctor(x) 是“x 是醫生”
- write(x) 是“x 可以清楚地書寫”
- ∃ x, doctor(x) ¬write(x)
返回 邏輯練習 6
1
- (a) 論域：{人}
- programmer 是“… 是電腦程式設計師”
- spreadsheets 是“… 可以理解電子表格”
- ∃ x, programmer(x) ¬ spreadsheets(x)
- (或者如果論域是 {電腦程式設計師}，則 ∃ x, ¬spreadsheets(x))
- (b) 論域：{人}
- prisoner 是“… 是囚犯”
- fairTrial 是“… 應該得到公正審判”
- ∀ x, prisoner(x) ⇒ fairTrial(x)
- (或者如果論域是 {囚犯}，則 ∀ x, fairTrial(x))
- (c) 論域：{人}
- intelligent 是“… 是聰明的”
- palace 是“… 支援水晶宮足球俱樂部”
- ∃ x, intelligent(x) palace(x)
- (d) 論域：{人}
- stupid 是“… 是愚蠢的”
- curry 是“… 喜歡咖哩”
- ∃ x, stupid(x) ¬curry(x)
- (e) 論域：{大學生}
- goodLooking 表示 "…… 很帥"
- intelligent 是“… 是聰明的”
- ∀ x, goodLooking(x) ∨ intelligent(x)
- (f) 論域：{汽車}
- noisy 表示 "…… 吵"
- dirty 表示 "…… 髒"
- ¬(∀ x, noisy(x) dirty(x))
- 或者：∃ x, ¬noisy(x) ∨ ¬dirty(x)
2
- (a) 有些童子軍在打牌時作弊。
- (b) 所有留著朋克頭髮的人都在打牌時作弊。
- (c) 沒有童子軍留著朋克頭髮或者在打牌時作弊。
- (d) 有些在打牌時作弊的人沒有留著朋克頭髮。
3
- (a) 論域：{牛}
- eats 表示 "…… 吃 ……"
- ∀ x, eats(x, grass)
- (b) 論域：{人}
- better 表示 "…… 比 …… 更擅長數學"
- ∃ x, better(Harry, x)
- (c) 論域：{人}
- likes 表示 "…… 喜歡 ……"
- ∃ x, likes(x, the Rolling Stones)
- (d) 論域：{人}
- expects 表示 "…… 期望 ……"
- ¬(∃ x, expects(x, the Spanish Inquisition))
- 或者：∀ x, ¬expects(x, the Spanish Inquisition)
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