離散數學/邏輯/練習

邏輯練習 1

1

下列哪些是命題？

(a) 購買高階債券！

(b) 蘋果麥金塔是一款16位計算機。

(c) 存在最大的偶數。

(d) 我們為什麼在這裡？

(e) 8 + 7 = 13

(f) a + b = 13

2

p 是 “1024 位元組稱為 1MB”

q 是 “計算機鍵盤是資料輸入裝置的示例”。

將以下複合命題用盡可能自然的英文句子表達出來。得到的命題是真還是假？

(a) p $\scriptstyle \wedge$ q

(b) p ∨ q

(c) ¬p

3

p 是 “x < 50”；q 是 “x > 40”。

儘可能簡單地寫出

(a) ¬p

(b) ¬q

(c) p $\scriptstyle \wedge$ q

(d) p ∨ q

(e) ¬p $\scriptstyle \wedge$ q

(f) ¬p $\scriptstyle \wedge$ ¬q

以下複合命題函式中，有一個始終產生輸出 true，另一個始終輸出 false。 哪個是哪個？

4

p 是 “我喜歡數學”

q 是 “我每週至少花 6 個小時在數學上”

用盡可能簡單的英文寫出

(a) (¬p) $\scriptstyle \wedge$ q

(b) (¬p) ∨ q

(c) ¬(¬p)

(d) (¬p) ∨ (¬q)

(e) ¬(p ∨ q)

(f) (¬p) $\scriptstyle \wedge$ (¬q)

5

在本題的每個部分中，定義了一個命題 p。 以下哪些語句對應命題 ¬p？（可能存在多個正確答案。）

(a)

p 是 “有些人喜歡數學”。

(i) “有些人不喜歡數學”

(ii) “每個人都不喜歡數學”

(iii) “每個人都喜歡數學”

(在本題中，你可以假設沒有人保持中立：他們要麼喜歡，要麼不喜歡數學。)

(b)

p 是 “答案是 2 或 3”。

(i) “2 和 3 都不是答案”

(ii) “答案不是 2 或者不是 3”

(iii) “答案不是 2 並且不是 3”

(c)

p 是 “我班上的所有人都又高又瘦”。

(i) “我班上有人又矮又胖”

(ii) “我班上沒有人又高又瘦”

(iii) “我班上有人又矮又胖”

(在本題中，你可以假設每個人都可以被歸類為 要麼高 要麼矮，要麼瘦 要麼胖。)

答案

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邏輯練習 2

1

構建以下的真值表

(a) ¬p ∨ ¬q

(b) q $\scriptstyle \wedge$ (¬p ∨ q)

(c) p $\scriptstyle \wedge$ (q ∨ r)

(d) (p $\scriptstyle \wedge$ q) ∨ r

2

構建以下每個複合命題的真值表。你注意到結果有什麼規律嗎？

(a) p ∨ (¬p $\scriptstyle \wedge$ q)

(b) p ∨ q

3

重複問題 2，針對以下內容

(a) p $\scriptstyle \wedge$ (q $\scriptstyle \wedge$ p)

(b) p $\scriptstyle \wedge$ q

答案

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邏輯練習 3

1

對於每一對錶達式，構造真值表以檢視這兩個複合命題是否在邏輯上等價

(a)

(i) p ∨ (q $\scriptstyle \wedge$ ¬p)

(ii) p ∨ q

(b)

(i) (¬p $\scriptstyle \wedge$ q) ∨ (p $\scriptstyle \wedge$ ¬q)

(ii) (¬p $\scriptstyle \wedge$ ¬q) ∨ (p $\scriptstyle \wedge$ q)

2

為以下每個表示式構造真值表。嘗試在每種情況下找到一個更簡單的邏輯等價物

(a)

¬a ∨ ¬b ∨ (a $\scriptstyle \wedge$ b $\scriptstyle \wedge$ ¬c)

(b)

(a $\scriptstyle \wedge$ b) ∨ (a $\scriptstyle \wedge$ b $\scriptstyle \wedge$ ¬c $\scriptstyle \wedge$ d) ∨ (¬a $\scriptstyle \wedge$ b)

3

使用邏輯定律或真值表儘可能簡化

(a)

¬(¬a $\scriptstyle \wedge$ ¬b)

(b)

(a $\scriptstyle \wedge$ b) ∨ (a $\scriptstyle \wedge$ ¬b) ∨ (¬a $\scriptstyle \wedge$ b)

(c)

(q $\scriptstyle \wedge$ ¬p) ∨ p

4

使用真值表來證明命題p ∨ (q ∨ ¬p) 總是真 (T)，無論p 和 q 的取值如何。

5

p、q 和 r 代表當某個計算機程式執行時將為真或假的條件。假設您希望程式僅在p 或 q 為真（但不能兩者都為真）且 r 為假時執行某項特定任務。

使用p、q、r、$\scriptstyle \wedge$, ∨ 和 ¬，編寫一個語句，該語句僅在這些條件下才為真。

6

使用真值表來證明

¬((p ∨ ¬q) ∨ (r $\scriptstyle \wedge$ (p ∨ ¬q))) ≡ ¬p $\scriptstyle \wedge$ q

7

使用邏輯命題定律來證明

(z $\scriptstyle \wedge$ w) ∨ (¬z $\scriptstyle \wedge$ w) ∨ (z $\scriptstyle \wedge$ ¬w) ≡ z ∨ w

仔細說明您在每個階段使用的是哪條定律。

答案

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邏輯練習 4

1

命題p、q、r 和 s 定義如下

p 是“我將完成我的課程作業”

q 是“我將在本週工作 40 小時”

r 是“我將透過數學考試”

s 是“我喜歡數學”

用符號寫出每個句子

(a) 我不會完成我的課程作業。

(b) 我不喜歡數學，但我將完成我的課程作業。

(c) 如果我完成我的課程作業，我將透過數學考試。

(d) 我只有在本週工作 40 小時並完成我的課程作業時才會透過數學考試。

將每個表示式寫成一個合理的（即使是不真實的！）英語句子

(e) q ∨ p

(f) ¬p ⇒ ¬r

2

繪製真值表以確定以下每個命題是否總是為真

(a) p ⇒ (p ∨ q)

(b) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p)

(c) (p $\scriptstyle \wedge$ (p ⇒ q)) ⇒ q

(d) (p $\scriptstyle \wedge$ q) ⇒ p

(e) q ⇔ (¬p ∨ ¬q)

3

繪製真值表以顯示p ⇒ q、¬p ∨ q 和 ¬q ⇒ ¬p 在邏輯上都是等價的。

答案

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邏輯練習 5

定義以下謂詞

friend 是“……是我的朋友”

wealthy 是“……富有”

clever 是“……聰明”

boring 是“……無聊”

使用謂詞符號寫出以下每個命題

1 吉米是我的朋友。

2 蘇富有又聰明。

3 簡富有，但不聰明。

4 馬克和伊萊恩都是我的朋友。

5 如果彼得是我的朋友，那麼他並不無聊。

6 如果吉米富有且不無聊，那麼他就是我的朋友。

答案

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邏輯練習 6

1

使用您在練習 5 中定義的相同謂詞，對以下每個命題進行符號化。

(a) 我的一些朋友很聰明。

(b) 所有聰明的人都很無聊。

(c) 我的朋友中沒有人富有。

(d) 我的一些富有的朋友很聰明。

(e) 我所有聰明的朋友都很無聊。

(f) 所有聰明的人要麼無聊，要麼富有。

2

定義合適的命題函式，並因此符號化

(a) 所有流行歌星都過分拿錢。

(b) 一些皇家空軍飛行員是女性。

(c) 沒有任何學生擁有勞斯萊斯。

(d) 一些醫生不能寫一手好字。

答案

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邏輯練習 7

1

在以下每個命題中，定義合適的單一謂詞和合適的論域。然後對這些語句進行符號化。

(a) 一些計算機程式設計師不理解電子表格。

(b) 每個囚犯都應得到公正的審判。

(c) 有些聰明的人支援水晶宮足球俱樂部。

(d) 一些愚蠢的人不喜歡咖哩。

(e) 所有大學生都長得漂亮或很聰明。

(f) 並非所有汽車都又吵又髒。

2

在以下命題中，論域是{人}。單一謂詞定義如下

cheats 是"... 在玩牌時作弊"

punk 是“……有朋克髮型”

scout 是"... 是童子軍"

將以下命題寫成合理的英語句子

(a) ∃ x, scout(x) $\scriptstyle \wedge$ cheats(x)

(b) ∀ x, punk(x) ⇒ cheats(x)

(c) ∀ x, scout(x) ⇒ ¬(punk(x) ∨ cheats(x))

(d) ∃ x, cheats(x) $\scriptstyle \wedge$ ¬punk(x)

3

將以下內容翻譯成符號形式，使用二元謂詞，在每種情況下定義一個合適的論域。

(a) 所有牛都吃草。

(b) 哈利比某人更擅長數學。

(c) 某人喜歡滾石樂隊。

(d) 沒有人會料到西班牙宗教裁判所。

答案

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