離散數學/集合論/練習

集合論練習 1

1

以下每個集合是否為良定義集合？為每個答案給出簡短的原因。

(a) 所有字母數字字元的集合。

(b) 所有高個子的集合。

(c) 所有滿足以下條件的實數x的集合：

2x – 9 = 16.

(d) 所有滿足以下條件的整數x的集合：

2x – 9 = 16.

(e) 所有優秀網球運動員的集合。

2

U = {自然數}；A = {2, 4, 6, 8, 10}；B = {1, 3, 6, 7, 8}

判斷以下每個語句是否為真或假

(a) 2 ∈ A

(b) 11 ∈ B

(c) 4 ∉ B

(d) A ∈ U

(e) A = {偶數}

3

U = R；A = {4, √2, 2/3, -2.5, -5, 33, √9, π}

使用{…} 集合符號，寫出以下集合：

(a) A 中的自然數

(b) A 中的整數

(c) A 中的有理數

(d) A 中的無理數

4

真或假？

(a)ø = {0}

(b) x ∈ { x }

(c)ø = { ø }

(d)ø∈ {ø }

5

以下集合使用 | 符號定義。透過列出一些元素來重新寫它們。

(a) {p | p 是一座首都城市，p 在歐洲}

(b) {x | x = 2n - 5，x 和 n 是自然數}

(c) {y | 2y² = 50，y 是一個整數}

(d) {z | 3z = n²，z 和 n 是自然數}

答案

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集合論練習 2

1

在A中？	在B中？	在C中？	區域
Y	Y	Y
Y	Y	N
Y	N	Y
Y	N	N
N	Y	Y
N	Y	N
N	N	Y
N	N	N

將真值表複製到右側，並在每行的末尾寫下圖 4 韋恩圖中對應區域的編號。

2

如果U = {字母的集合}，A = {a, a, a, b, b, a, c}，B = {c, b, a, c} 並且 C = {a, b, c}，那麼關於 A、B 和 C 可以說些什麼？

3

U = {自然數}；A = {2, 4, 6, 8, 10}；B = {1, 3, 6, 7, 8}

判斷以下每個語句是否為真或假

(a) A ⊂ U

(b) B ⊆ A

(c)ø⊂ U

4

U = {a, b, c, d, e, f, g, h}；P = {c, f}；Q = {a, c, d, e, f, h}；R = {c, d, h}

(a) 畫一個韋恩圖，顯示這些集合，並將所有元素輸入到相應的區域。如果需要，重新繪製圖表以消除任何空區域。

(b) P、Q 和 R 中哪些集合是其他集合的真子集？使用 ⊂ 符號寫出您的答案。

(c) P 和 R 是不相交集合。真或假？

5

繪製韋恩圖，顯示全集 U、集合 A 和 B，以及以下每種情況下單個元素 x

(a) x ∈ A；A ⊂ B

(b) x ∈ A；A 和 B 是不相交的

(c) x ∈ A；x ∉ B；B ⊂ A

(d) x ∈ A；x ∈ B；A 不是 B 的子集；B 不是 A 的子集

答案

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集合論練習 3

1

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {1, 3, 6, 7, 8}

C = {3, 7}

(a) 在韋恩圖中說明集合 U、A、B 和 C，將所有元素標記在適當的位置。（注意：如果圖表中的任何區域不包含任何元素，請重新繪製集合迴圈以更正此問題。）

(b) 使用您的韋恩圖，列出以下每個集合中的元素

A ∩ B，A ∪ C，A′，B′，B ∩ A′，B ∩ C′，A – B，A Δ B

(c) 使用單個符號完成語句：C - B = ... .

2

真或假？

(a) |ø | = 1

(b) | { x, x } | = 2

(c) | U ∩ø | = 0

3

如果您能說出關於兩個集合 P 和 Q 的哪些資訊，則

(a) P ∩ Q′ =ø

(b) P ∪ Q = P？

問題 4

4

製作六個附帶所示韋恩圖的副本，然後陰影表示以下區域

(a) A ′ ∪ B

(b) A ∩ B ′

(c) (A ∩ B) ′

(d) A ′ ∪ B ′

(e) (A ∪ B) ′

(f) A ′ ∩ B ′

5

使用集合符號 ∩、∪ 和 ′ 僅識別以下陰影區域表示的集合

(a)	(b)
(c)	(d)

6

(a) 問題 5 中的一個陰影區域表示集合 A – B。確定是哪一個，然後使用列表 ∩、∪ 和 ′ 中的符號僅寫出 A – B 的定義。

(b) 再次使用您對問題 5 的答案之一，使用列表 ∩、∪ 和 ′ 中的符號僅寫出 A Δ B 的定義。（這裡有兩個可能性——看看您是否能找到它們！）

答案

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集合論練習 4

1

(a) 如果 A = {1, 2, 3, 4}，透過列出其元素寫出 P(A)。| P(A) | 的值是多少？

(b) 如果 | A | = 5，| P(A) | 的值是多少？

(c) 如果 | A | = 10，| P(A) | 的值是多少？

2

證明以下恆等式，仔細說明在證明的每個階段您使用了哪些集合定律。

(a) B ∪ (ø∩ A) = B

(b) (A ′ ∩ U) ′ = A

(c) (C ∪ A) ∩ (B ∪ A) = A ∪ (B ∩ C)

(d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ' ) = A

(e) (A ∩ B) ∪ (A ∪ B ' ) ′ = B

(f) A ∩ (A ∪ B) = A

答案

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集合論練習 5

1

X = {a, c} 並且 Y = {a, b, e, f}。

寫下以下元素：

(a) X × Y

(b) Y × X

(c) X ² (= X × X)

(d) 如果 A × B = B × A，您能對兩個集合 A 和 B 說些什麼？

2

國際象棋棋盤的 8 行標號為 1 到 8，其 8 列標號為 a 到 h。棋盤的每個方格都用有序對 (列字母，行號) 來描述。

(a) 馬的位置在 (d, 3)。寫下它在馬走一步後的可能位置。

(b) 如果 R = {1, 2, ..., 8}，C = {a, b, ..., h}，並且 P = {國際象棋棋盤上所有方格的座標}，使用集合符號用 R 和 C 表示 P。

(c) 車的位置在 (g, 2)。如果 T = {2} 並且 G = {g}，用 R、C、T 和 G 表示車走一步後的可能位置。

3

在某種程式語言中，所有變數名必須是 3 個字元長。第一個字元必須是 'a' 到 'z' 之間的字母；其他可以是 '0' 到 '9' 之間的字母或數字。

如果 L = {a, b, c, ... , z}，D = {0, 1, 2, ..., 9}，並且 V = {允許的變數名}，使用笛卡爾積來完成

V = {pqr | (p, q, r) ∈ ... }

4

人們認為，對於任何集合 A、B 和 C，A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)。

(注意，如果這是真的，它表明 × 是對 ∩ 的分配。)

複製並完成下面顯示的兩個笛卡爾圖——每個圖表示等式兩邊的表示式——以調查這一點。

您認為這個命題是正確的嗎？

答案

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