分佈理論/基本運算

命題（連續變化的分佈族對具有緊緻本質支撐的可積函式的積分是分佈）:

令 $\Omega$ 是一個拓撲空間，以及一個區域性有限測度 $\mu :{\mathcal {F}}\to [0,\infty ]$ ，其中 ${\mathcal {F}}$ 是一個 $\sigma$ -代數在 $\Omega$ 上包含了在 $\Omega$ 上的 Borel $\sigma$ -代數。進一步假設 $f\in L^{1}(\Omega ,\mu )$ 具有緊緻的本質支撐，並且

x\mapsto T_{x}

，對於每個

x\in \Omega

，我們有

T_{x}\in {\mathcal {D}}'(U)

（分別為

T_{x}\in {\mathcal {S}}'({\mathcal {R}}^{n})

）

是連續變化的，從某種意義上說，對於每個 $\varphi \in {\mathcal {D}}(U)$ （分別為 ${\mathcal {S}}({\mathcal {R}}^{n})$ ）函式 $x\mapsto T_{x}(\varphi )$ 是連續的。那麼

T:\varphi \mapsto \int _{\Omega }f(w)T_{w}(\varphi )dw\in {\mathcal {D}}'(U)

（分別為

\varphi \mapsto \int _{\Omega }f(w)T_{w}(\varphi )dw\in {\mathcal {S}}'(U)

）。

Proof: Define $A:=\operatorname {esssupp} f$ , and let $\varphi \in {\mathcal {D}}(U)$ (resp. $\in {\mathcal {S}}({\mathcal {R}}^{n})$ ) be arbitrary. Let $x\in A$ and $\epsilon >0$ . Since $\mu$ is locally finite, pick a neighbourhood $U_{x}$ of $x$ such that $\mu (U_{x})<\infty$ . Since $x\mapsto T_{x}(\varphi )$ is continuous, by shrinking $U_{x}$ if necessary, we may assume that for $y\in U$ we have $|T_{x}(\varphi )-T_{y}(\varphi )|\leq \epsilon /\mu (U_{x})$ . Since $A$ is compact, we may choose $x_{1},\ldots ,x_{n}\in A$ so that $A=U_{x_{1}}\cup \cdots \cup U_{x_{n}}$ . Now for each arbitrary finite open cover $V_{1},\ldots ,V_{m}$ of $A$ and $x_{j}\in V_{j}$ for $j\in [m]$ define the distribution