材料的電子性質/工程師的量子力學/簡併

簡併通常在電子學和量子力學中提到，指的是具有相同能級的電子。在這種情況下，由於能量是特徵值，因此最終會得到兩個具有不同特徵函式但共享相同特徵值的電子。如果兩個或多個特徵函式具有相同的特徵值，我們稱量子態為“簡併”，例如電子，但為什麼會發生這種情況呢？嗯，有三種不同的方式；對稱性，交換和偶然。

對稱性導致的簡併

這是與軌道雜化相關的簡併形式。假設球形勢，原子在 x，y 和 z 方向上的行為相同，這通常適用於孤立的原子。

<FIGURE> "二維盒子中的粒子"（描述）

想象一個粒子在一個盒子中，再次在所有側面具有無限勢，但這次在二維中，給我們哈密頓方程：$${\hat {H}}={{{\hat {p}}_{x}}^{2} \over 2m}+{{{\hat {p}}_{y}}^{2} \over 2m}+V(x)+V(y)$$

這個問題很容易分解為組成部分：${\hat {H}}={\hat {H}}_{x}+{\hat {H}}_{y}$

將薛定諤方程代入並進行數學運算發現：$${\begin{aligned}\phi _{n_{1}n_{2}}&=\beta \sin \left({n_{x}\pi \over L_{x}}x\right)\sin \left({n_{y}\pi \over L_{y}}y\right)\\E_{n_{1}n_{2}}&={\hbar ^{2} \over 2m}\left({n_{x}\pi \over L_{x}}\right)^{2}+{\hbar ^{2} \over 2m}\left({n_{y}\pi \over L_{y}}\right)^{2}\end{aligned}}$$

看一下這些與時間無關的特徵函式，當 $L_{x}=L_{y}$，然後我們發現 $E_{\alpha \beta }=E_{\beta \alpha }$ 但 $\phi _{\alpha \beta }\neq \phi _{\beta \alpha }$ 當 $\alpha \neq \beta$。這些是具有相同能量或特徵值的不同的平面波特徵函式，這完成了對稱性導致的簡併的定義。

<MATH> 以下數學沒有歸屬 :(

當 ${\hat {H}}={\hat {H}}(x)+{\hat {H}}(y)$ 時，本徵值問題的解是可分離的。因此：$${\begin{aligned}\phi (x,y)&=\phi (x)\ \phi (y)\\{\hat {H}}\ \phi (x,y)&=\varepsilon \ \phi (x,y)\\H(x)\ \phi (x,y)+H(y)\ \phi (x,y)&=H(x)\ \phi (x)\ \phi (y)+H(y)\ \phi (x)\ \phi (y)\\&=\phi (y)\ \underbrace {H(x)\ \phi (y)} _{\varepsilon _{x}\ \phi (x)}\ +\ \phi (x)\ \underbrace {H(y)\ \phi _{y}} _{\varepsilon _{y}\phi _{y}}\\&=\phi (y)\ \varepsilon _{x}\ \phi (x)+\phi _{(}x)\ \varepsilon _{y}\ \phi (y)\\&=(\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y})\phi (x)\phi (y)\\&=\varepsilon \ \phi (x,y)\end{aligned}}$$

偶然簡併

有時，兩個本徵函式恰好具有相同的能量本徵值，使它們“偶然”簡併。偶然簡併僅指當兩個平面波，$\phi$，偶然地共享相同的本徵值，而不是由於對稱性或交換導致。

交換導致的簡併

<FIGURE> “一維箱中的兩個粒子”（描述）

現在讓我們看看一個有一維箱且具有兩個不相互作用的粒子。這個箱子再次會在箱子外部具有無限的勢，如 <FIGURE> 所示。由於這些粒子不相互作用，它們的勢永遠不會相互影響。

這種情況下的可分離哈密頓量將如下所示：$$H=H_{1}+H_{2}=\underbrace {T_{1}+V_{1}(x)} _{Particle\ 1}+\underbrace {T_{2}+V_{2}(x)} _{Particle\ 2}$$

每個粒子的哈密頓量解為：$${\begin{aligned}\phi _{n}(x)&={\sqrt {2 \over L}}\sin \left({n\pi x \over L}\right)\\E_{n}(x)&={\hbar ^{2} \over 2m}\left({n\pi \over L}\right)^{2}\end{aligned}}$$

將這些方程與我們的雙粒子哈密頓量結合起來，我們得到：$${\begin{aligned}\phi _{n_{1}n_{2}}(x_{1},x_{2})&={2 \over L}\sin \left({n_{1}\pi x_{1} \over L}\right)\sin \left({n_{2}\pi x_{2} \over L}\right)\\E_{n_{1}n_{2}}&={\hbar ^{2} \over 2m_{1}}\left({n_{1}\pi \over L}\right)^{2}+{\hbar ^{2} \over 2m_{2}}\left({n_{2}\pi \over L}\right)^{2}\end{aligned}}$$<這是否是一個特徵值？？？>

使用這種符號，${\textstyle n_{1}}$指的是量子數為${\textstyle n_{1}}$的粒子一，而${\textstyle n_{2}}$指的是量子數為${\textstyle n_{2}}$的粒子二。類似地，${\textstyle x_{1}}$和${\textstyle m_{1}}$指的是位於位置${\textstyle x_{1}}$或質量為${\textstyle m_{1}}$的粒子一，而${\textstyle x_{2}}$和${\textstyle m_{2}}$指的是位於位置${\textstyle x_{2}}$或質量為${\textstyle m_{1}}$的粒子二。明確地說，這些粒子可以處於不同的位置，具有不同的質量，但當這兩個粒子最終具有相同的關於位置或質量的特徵值時，即${\textstyle m_{1}=m_{2}}$或${\textstyle x_{1}=x_{2}}$，由於交換會產生簡併性。

<FIGURE> “標題” （經典力學快照）

這與決定論的喪失有關。在經典影像中，如果我們對系統進行快照，然後等待一秒鐘，再進行另一個快照，我們可以判斷出哪個是哪個粒子，因為系統是決定性的。<FIGURE> 量子力學並非如此。在量子世界中存在不確定性，這意味著我無法真正告訴你“盒子裡有兩個粒子位於這裡，在${\textstyle x_{1}}$，以及在${\textstyle x_{2}}$。” 即使已知波函式以這些點為中心，但實際上，那只是粒子可能存在的機率分佈的中心。<FIGURE>

<FIGURE> “標題” （請注意，這些實際上是機率分佈，而不是位置。）

將我們的經典方法應用於這種情況，即使我們可以透過某種能力觀察盒子並定義每個粒子，但將目光移開再移回來意味著我們無法再分辨哪個是哪個粒子，因為波函式是重疊的。在任何時候，粒子一和粒子二都處於粒子的疊加態。

回到我們的方程式，這意味著 ${\textstyle \phi _{n_{1}m_{2}}}$ 和 ${\textstyle \phi _{n_{2}m_{1}}}$ 具有完全相同的能量，無論你是否交換 $n_{1}$ 和 $n_{2}$。這就是交換導致簡併的原因。我們失去了那種決定性的世界觀，這使得如果粒子具有相同的特徵值，就無法確定地將它們區分開來，就好像它們一開始就有不同的質量一樣，我們將能夠無論如何將它們區分開來。

從數學的角度來說，${\textstyle E=\left({\hbar \pi \over L}\right)^{2}{1 \over 2m}({n_{1}}^{2}+{n_{2}}^{2})}$，交換n的值就等同於交換粒子。

交換的意義

與對稱性簡併和偶然簡併相比，交換簡併具有幾個意義深遠的含義，應該加以考慮。假設我們有一個包含 $N$ 個非相互作用的相同粒子的系統。我們知道波函式定義了一個交換算符，它對我們的波函式 ($\psi$) 進行運算以交換兩個粒子的變數。

這些q中的每一個都代表一組變數和量子數，它們代表一個給定的粒子。這些變數的書寫順序進一步對應於每個粒子，精確地代表了它們和這些粒子所處的狀態。給定這個表示式，我們可以識別出一個交換算符 (${\textstyle {\hat {P}}_{ij}}$)。這個交換算符將兩個粒子交換，本質上是將一個粒子的 $q$ 與另一個粒子的 $q$ 進行交換。將交換算符應用於波函式看起來像

$$P_{ij}\ \psi (q_{1},\dots ,\ q_{i},\dots ,\ q_{j},\dots ,\ q_{n})=\psi (q_{1},\dots ,\ q_{i},\dots ,\ q_{j},\dots ,\ q_{n})$$

交換算符並沒有改變太多，因為它只是在系統中已經存在的引數之間進行移動。此外，交換算符不會改變系統的能量，這意味著我們的交換算符和哈密頓算符是對易的，其中 $[P_{ij},\ H]=0$。雖然這已經被我們粒子之間無相互作用的性質所暗示，但這進一步證明我們可以獨立地求解這些元素中的每一個，因此波函式 ($\psi$) 是 $P_{ij}$ 和 $H$ 的本徵函式。

因此，當這個算符，即交換算符，作用於某個波函式時，我們知道它必須返回一個特徵值 ($P_{ij}\ \psi =\xi \ \psi$)。希爾伯特空間中所有良好的算符都將遵守這種關係。

正如道理所言，對同一個波函式兩次應用同一個交換算符將導致原始波函式。該算符交換所有粒子引數，然後將它們交換回來。

的值是多少？交換 兩次返回到初始狀態。 $${\begin{aligned}P_{ij}(P_{ij}\ \psi )&=P_{ij}\ \xi \ \psi \\&=\xi ^{2}\ \psi =1\ \psi \\\xi ^{2}&=1\ \psi \\\xi &=\pm \ 1\end{aligned}}$$在這種情況下，我們給這些特徵值命名，當 $\xi =+1$ 時，我們說波函式是“交換對稱的”，當 $\xi =-1$ 時，我們說波函式是“交換反對稱的”。還值得注意的是，即使交換算符的每個版本都與哈密頓量對易，它們並不一定彼此對易。並非普遍情況下，對於任何交換，兩者都是等價的。這一點很重要，因為它限制了我們表達波函式的方式。

讓我們定義另一個算符，${\hat {P}}$，作為置換算符，它是一系列交換算符，${\hat {P}}_{ij}$，這些算符重新排列波函式中的變數 ($\psi$)。這給了我們：$$P\psi (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{n})=\psi (q_{1}',\ q_{2}',\ \dots ,\ q_{n}')$$

當 $P$ 運算時，它返回一個新的波函式，其中包含變數 $q$，但順序不同。如果 ${\hat {P}}$ 包含偶數次的交換，我們稱之為偶排列，如果包含奇數次的交換，我們稱之為奇排列。值得注意的是，存在 $N!$ 個排列，這些排列算符不會互相交換，就像交換算符不會互相交換一樣。

不幸的是，這沒有意義。一般來說， ${\hat {P}}$ 算符的不同排列不會交換，因為 $[P_{ij},P_{lm}]\neq 0$。這意味著波函式可能是哈密頓量的本徵態，以及某個排列 ${\hat {P}}_{1}$ 的本徵態，但可能不是另一個排列 ${\hat {P}}_{2}$ 的本徵態。這意味著我們波函式的性質現在受到限制。這意味著我們必須以一種完全對稱或完全反對稱的方式表達我們的波函式。這是兩種特殊的波函式，它們與哈密頓量和所有 $N!$ 個可能的 ${\hat {P}}$ 交換。

$${\begin{aligned}P_{ij}\ \psi _{S}&=\psi _{S}\\P_{ij}\ \psi _{A}&={\begin{cases}\psi _{A}\ &for\ even\ P\\-\psi _{S}\ &for\ odd\ P\end{cases}}\end{aligned}}$$
在對稱波函式的情況下，排列算符作用於對稱波函式等於對稱波函式，對於所有排列。類似地，在反對稱算符作用於反對稱波函式的情況下，對於偶排列算符等於反對稱波函式，對於奇排列算符等於負波函式。這也作為我們對稱和反對稱算符的定義。

零定律

從我們對世界的瞭解， $\psi _{S}$ 和 $\psi _{A}$ 足以描述所有相同粒子的系統。完全對稱的粒子被稱為玻色子，服從玻色-愛因斯坦統計（光子、聲子、庫珀對），而完全反對稱的粒子被稱為費米子，服從費米-狄拉克統計（電子、中微子、夸克）。這被稱為“零定律”，因為我們實際上無法證明它是一個事實，它只是一個所有已知粒子都遵循的模式，並且恰好透過對易子和算符之間的關係得出了結果。

這意味著，當我們寫出我們的解時，我們必須確保我們的解要麼完全對稱，要麼完全反對稱。例如，如果我們寫出在一個一維盒子中兩個非相互作用粒子的解，而這個解既不完全對稱也不完全反對稱，那麼我們需要將解的不同變體加在一起，以實現完全對稱或完全反對稱。這可能看起來像

$${\begin{aligned}&\ \ \left[{\begin{aligned}\psi _{S}&=\phi (x_{1}x_{2})+\phi (x_{2}x_{1})\\\psi _{A}&=\phi (x_{1}x_{2})-\phi (x_{2}x_{1})\end{aligned}}\right]\\\\&P_{12}\psi _{A}=P_{12}(\phi (x_{1}x_{2})-\phi (x_{2}x_{1}))\\&\qquad \ \ \ =\phi (x_{2}x_{1})-\phi (x_{1}x_{2})\\&\qquad \ \ \ =-\phi _{A}\end{aligned}}$$正如你所看到的，對波函式 ($\phi$) 進行操作會返回負波函式。你也可以對對稱波函式做同樣的事情。如果我告訴你這些粒子是費米子或玻色子，那麼你就可以立即知道它們位於哪個 $\psi _{S}$ 或 $\psi _{A}$ 中。也就是說，這些粒子應該是不可相互作用的，因此哈密頓量不能“看到”彼此，但它們會發生糾纏。$${\begin{aligned}\psi _{A}&=\phi (x_{1}x_{2})-\phi (x_{2}x_{1})\\&=\phi (x_{1})\phi (x_{2})-\phi (x_{2})\phi (x_{1})\end{aligned}}$$

這些不是單個粒子態的簡單乘積。在量子力學中，我們說這些態被稱為“糾纏態”，即使粒子不相互作用，它們的波函式也是糾纏的。這意味著對一個粒子的測量會對另一個粒子產生影響。透過觀察 $\psi _{A,S}$，你可以看到存在疊加。

表達波函式

假設 $n_{1}=2$ 且 $n_{2}=3$。哪個粒子具有能量 $E_{2}$？我們不知道。每個粒子都是處於 $E_{2}$ 和 $E_{3}$ 狀態的疊加。（多體物理學很酷，但也極其複雜。）

我們如何表達任何系統的對稱或反對稱波函式？對稱波函式很簡單，它只是交換的總和 ($\phi (\gamma _{i})$）。另一方面，反對稱波函式稍微複雜一些。為了表達反對稱波函式，我們使用斯萊特行列式

假設 $H=h_{1}+h_{2}+\dots +h_{n}$，所以 $\Phi =\phi _{1}(x_{1})\ \phi _{2}(x_{2})\ \phi _{3}(x_{3})\dots \phi _{n}(x_{n})$。

$$h_{j}\ \phi _{j}(x_{j})=E_{j}\phi _{j}(x_{j})$$$$\psi _{A}(x_{1}\ x_{2}\ x_{3}\dots \ x_{n})={1 \over {\sqrt {N!}}}\left|{\begin{array}{lcl}\phi _{1}(x_{1})&\phi _{2}(x_{1})&\phi _{3}(x_{1})&\cdots &\phi _{n}(x_{1})\\\phi _{1}(x_{2})&\phi _{2}(x_{2})&\phi _{3}(x_{2})&\cdots &\phi _{n}(x_{2})\\\quad \ \vdots &\vdots &\quad \vdots &\ &\quad \vdots \\\phi _{1}(x_{n})&\phi _{2}(x_{n})&\phi _{3}(x_{n})&\cdots &\phi _{n}(x_{n})\end{array}}\right|$$

這是一個 N x N 行列式。例如，觀察一個包含三個費米子的系統：$$\psi _{A}(q_{1}\ q_{2}\ q_{3})={1 \over {\sqrt {6}}}[\phi (q_{1}\ q_{2}\ q_{3})-\phi (q_{2}\ q_{1}\ q_{3})+\phi (q_{2}\ q_{3}\ q_{1})-\phi (q_{3}\ q_{2}\ q_{1})+\phi (q_{3}\ q_{1}\ q_{2})-\phi (q_{1}\ q_{3}\ q_{2})]$$

對稱波函式將具有相同的行列式，但所有項都加在一起進行求和。

泡利不相容原理

在上例中，每個粒子都處於一個獨特的態$q_{1},q_{2},q_{3}$。如果$q_{1}=q_{2}$ 會怎麼樣？那麼所有的項都會抵消，波函式將等於零。這就是泡利不相容原理的核心所在，即費米子必須具有獨特的量子數，因為如果它們共享量子數，那麼它們的反對稱波函式就會消失。這源於電子是不可區分的粒子這一事實。

<CITATION> “遠距離物質量子位元之間的量子隱形傳態”