材料的電子性質/工程師的量子力學/動量、速度和位置

** 粗略草稿**

接下來，我們將討論動量、位置。之所以討論這些特別有用，是因為它為本課程的後續部分提供了基礎，在後續部分中我們將開始討論電子在材料中移動的速度；這與材料的導電性有關。首先，我們必須在量子力學中用位置和動量來定義速度。

更深入地瞭解自由粒子

回顧我們從 <CHAPTER> 中得到的自由粒子。我們已經解決了自由粒子問題，結果得到的哈密頓量是 ${\hat {H}}=H(x)$。（注意，這是針對一維粒子。這些解對於二維和三維有效，但為了本練習的目的，我們將限制在一維。）

此外，我們的波函式 ${\textstyle \Psi (x,t)=X(x)T(t)}$，其中 ${\textstyle T(t)}$ 給出系統的隨時間演化，是可分離的。您可以自己證明，將這些代入將得到一個薛定諤方程，該方程可以分離成與時間相關的部分和與位置相關的部分。此外，我們的與時間相關的部分看起來像：${\textstyle T(t)=\exp[-i\ {E \over \hbar }\ t]}$。這裡 ${\textstyle -i\ {E \over \hbar }\ t}$ 必須是無量綱的，這意味著 ${\textstyle {E \over \hbar }}$ 是頻率 (${\textstyle \omega }$)，單位為 ${\textstyle 1 \over t}$，以及 ${\textstyle E=\hbar \omega }$。

類似地，在黑體輻射中，我們使用 ${\textstyle E=nh\nu }$，或 ${\textstyle E=n(2\pi \hbar )}$，其中 ${\textstyle \hbar }$ 是約化普朗克常數。透過將它乘以頻率和角頻率之間的關係 ${\textstyle \omega \over 2\pi }$，我們得到 ${\textstyle E=\hbar \omega }$。

回到我們原始方程中與位置相關的部分，我們知道這只是另一個平面波，如<CHAPTER>中所證明。再次，我們的平面波函式為：${\textstyle X(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}}$，我們的解為：${\textstyle E={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}}$。在這種情況下，因為它是一個自由粒子，${\textstyle k}$是一個連續變數；我們根本沒有對它進行量化。

<MATH CHECK>

我們也知道動量和能量是可交換的：${\textstyle [{{\hat {p}},\ {\hat {H}}}]=0}$

事實上，我們在1D中求解了動量，這為我們提供瞭解$X(x)=Ae^{ikx}$，其中$k$仍然是一個連續值。在這種情況下，它可以是正無窮大或負無窮大。請記住，在平面波的情況下，$k$是波矢，它告訴你波的方向和波長。

最後，我們還發現，對於自由粒子，${\textstyle p=\hbar k}$，這意味著如果我們測量特定的動量值，例如，我們將得到$k$（$k'$）的特定值。一旦我們測量了這個特定值，波函式就會坍縮，我們可以將解寫成：$${\begin{aligned}\Psi (x,t)&=Ae^{ikx}e^{-i{E \over \hbar }t}\\&=Ae^{ikx}e^{i(kx-\omega t)}\end{aligned}}$$能量和動量可交換等於零意味著我們可以同時測量這兩個性質。

<MATH CHECK^^^>

速度

<FIGURE> "經典粒子運動"（描述）

假設我們有一個特定的值，我們稱之為 $k'$，這個自由粒子將具有某種正弦波，$\sin(x)$。<FIGURE> 如果我們等待一小段時間，然後再次觀察它，波浪會傳播。畢竟，這就是平面波的特性。現在假設經過這段“特定時間”後，平面波傳播了 $\Delta x$，如<FIGURE>所示，這意味著這個新的正弦波現在是 $sin(x+\epsilon )$，其中 $\epsilon >0$。本質上，如果存在某個 $f(x,t)$，它可以被改寫為 $f(x-\nu _{p}t)$。

<MATH CHECK> 正弦波傳播 (+) 或 (-)

<FIGURE> “正弦波平移”（向 +x 方向傳播）

現在，如果這個波正在傳播，那麼我們可以談論傳播速度。從波動學，我們知道速度等於角頻率除以波矢 (${\textstyle \omega \over k}$)。將分子和分母都乘以 $\hbar$，並從我們的本徵函式解中代入變數，得到：$$\nu _{p}={\omega \over k}={\hbar \omega \over \hbar k}={E \over \hbar k}={{\hbar ^{2}k^{2} \over 2m} \over hk}={\hbar k \over 2m}={p \over 2m}={v_{c}\ m \over 2m}={v_{c} \over 2}$$

<ASIDE> 筆記中沒有歸屬的額外數學公式：$${\begin{aligned}e^{i(kx-\omega t)}&=e^{ik(x-{\omega \over k})t}\\&=e^{ik(x-v_{particle}t)}\\\ \\\end{aligned}}$$<END ASIDE>

粒子與平面波

在本例中，我們求解了離域粒子的解，並找到了相速度。請注意，此方程描述了經典速度 (${\textstyle v_{c}}$) 與特定平面波傳播速度（稱為相速度 (${\textstyle \nu _{p}}$ ) 之間的關係。最重要的是，這兩個速度不相同。事實證明，真正的粒子將是局域的。

薛定諤方程波包

當談論我們感興趣的粒子時，這些粒子具有經典速度，它們不會像粒子一樣運動，它們會像波包一樣運動。<FIGURE> 這些波包內部包含許多具有不同 ${\textstyle k}$ 值的波，而波包作為一個整體以相同的群速度 $\nu _{g}$ 運動，相當於我們的經典速度。

粒子不是單個平面波。它們是平面波的疊加，並且傾向於在這些波包中聚集在一起，這些波包具有疊加所有波的群速度。此外，它們位於某種包絡函式內，該函式也以群速度運動，相當於經典速度。

疊加

<MATH CHECK> 線性波態方程中的 phi 或 psi？

想象一下平面波的疊加。在我們的第一個例子中，疊加中的狀態是離散的。它們是狀態的求和，其中 $\Psi =a_{1}\phi _{1}+a_{2}\phi _{2}+...$。這種形式使我們的波函式成為波態 ($\phi$ ) 的線性疊加。每個狀態都是薛定諤方程的特定解，其中每個係數都為我們提供了波函式在這些特定基態中的投影。（回顧我們希爾伯特空間中的特徵函式作為基底。）

此方程等於無窮級數：${\textstyle \sum _{j=i}^{\infty }a_{j}\phi _{j}}$。請注意，在大多數情況下，在處理實際問題時，能量被認為是有限的，因此無窮分佈很少見。

<VOCAB> 分散化？

或者，我們不考慮能量（它是<分散化>），而是通常談論連續分佈。例如，如果我們不討論能量，而是用動量來表達。正如我們已經看到的那樣，自由空間中的粒子可以取動量的任何值，從而為我們提供連續分佈。

$$\Psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }\underbrace {\exp \left[\ i\left[p_{x}x-E(p_{x})t\right]\ {1 \over \hbar }\right]} _{Basis\ Function}\ \phi (p_{x})\ \operatorname {d} \!p_{x}$$

在這裡，我們只是用積分代替了無限能量方程中的求和，並對所有允許的動量值進行了積分。所得方程是波包方程。這裡 ${\textstyle \phi (p_{x})}$ 是我們的係數。這與之前的求和直接類似，因為現在我們不是對所有這些係數求和，而是對它們進行積分，但這些係數是什麼呢？

<FIGURE>

此係數僅僅是 $p$ 的函式，表示在特定狀態下找到粒子的機率。可以將其視為 $P(p_{x})=|\phi (t)|^{2}$。從物理上講，它描述了<FIGURE>中所示的分佈，其中測量粒子在特定動量下的機率與我們基態係數的值相關。

現在讓我們簡化我們的方程，並假設 $\beta (p_{x})=p_{x}x-E(p_{x})t$，這將給我們

$$\psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\beta (p_{n}) \over \hbar }$$
觀察這個解，我們知道整個波函式以及係數 ${\textstyle \phi (p_{x})}$必須是良態的。係數是良態的，因為它們只是一些統計分佈，在兩端都趨於零，並且積分到一。另一方面，${\textstyle e^{i\beta (p_{n}) \over \hbar }}$將快速振盪，因此我們的波函式在整體上只有在 ${\textstyle e^{i\beta (p_{n}) \over \hbar }}$是一個由以下定義的常數時，才是良態的：

$$\left.{\partial \beta (p_{x}) \over \partial p_{x}}\right\vert _{\underbrace {p_{x}=p_{0}} _{centered\ on\ \phi _{max}}}=0$$解決這種關係看起來像：$${\begin{aligned}{\partial \beta \over \partial p_{x}}&={\partial \over \partial p_{x}}(p_{x}x-E(p_{x})\ t)\\&=x-t\ {\partial E(p_{x}) \over \partial p_{x}}=0\\x&=t\ {\partial \over \partial p_{x}}E(p_{x})\end{aligned}}$$

僅僅從最終方程中的單位來看，我們有 ${\textstyle length=time*\left({length \over time}\right)}$，這意味著 ${\textstyle {\partial \over \partial p_{x}}E(p_{x})}$ 的單位是 ${\textstyle \left({length \over time}\right)}$ 或 $velocity$ (${\textstyle \nu _{g}}$)。回到我們對能量和動量的定義，我們可以進一步轉換 ${\textstyle \nu _{g}}$:$${\begin{aligned}\nu _{g}&={\partial E(p_{x}) \over \partial p_{x}}\quad {\begin{cases}E=\hbar \omega \\p_{x}=\hbar k\end{cases}}\\&={\hbar \partial \omega (k) \over \hbar \partial k}\\&={\partial \omega (k) \over \partial k}\end{aligned}}$$
這裡，$\omega (k)$ 和 $E(k)$ 被稱為“色散關係”。它們本質上是粒子的能量/速度與波數 $k$ 之間的關係。它們很重要，研究人員花費大量時間、資金和資源來確定各種材料系統的色散關係。例如，材料的能帶結構就是一個色散關係。<CHAPTER REF> 群速度，$\nu _{g}$，是色散的範圍。當我們談論電子在晶體中運動時，我們談論的是群速度，其大小通常取決於 $k$。

<FIGURE> “標題”（描述）

動量空間表示

更仔細地觀察這些波包，讓我們從重新編寫平面波方程開始，將時間依賴性放入一般係數函式中，並設定 $t=0$ 來擺脫能量變數。這導致了 $\psi (x,t)$ 方程

$$\psi (x,t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\ \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} p_{x}\ \phi (p_{x},t)\ \exp[i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }]$$

現在讓我們對我們的方程應用傅立葉變換：${\begin{aligned}{\mathfrak {F}}[\psi (x,t)]&=\phi (p_{x},t)\\{\mathfrak {F}}^{-1}[\phi (p_{x},t)]&=\psi (x,t)\end{aligned}}$

將此變換代入上面的平面波方程得到

$$\phi (p_{x},t)={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} x\ \psi (x,t)\ \exp[-i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }]$$

如果集合$\left\{\psi _{n}(x,t)\right\}$ 彼此正交且歸一化，那麼$\left\{\phi _{n}(p_{x},t)\right\}$ 也是${\mathfrak {F}}\left\{\psi _{n}(x,t)\right\}$。我們稱之為波函式的動量空間表示，傅立葉空間具有一些特性，這使得這種表示非常有用。實際上，只存在一個波函式（它是一個狀態函式！），但這裡它被投影到動量表示上，而$\psi (x,t)$ 被投影到位置表示上。

讓我們考慮一個物理上有意義的分佈。在這種情況下，高斯動量的方程為：$$\phi (p_{x})=c\exp \left[-{(p_{x}-p_{o})^{2} \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]$$

<FIGURE> "高斯動量"（描述）

<MATH CHECK> 下面的所有內容...

為了定義$c$，讓我們使用一個眾所周知的公式：$\int _{-\infty }^{+\infty }\phi ^{*}(p_{x})\ \phi (p_{x})\ \operatorname {d} \!p_{x}=1$

$\int _{-\infty }^{+\infty }|c|^{2}\exp \left[{-1 \over (\Delta p_{x})^{2}}(p_{x}-p_{o})^{2}\right]\operatorname {d} \!p_{x}$

利用一個“眾所周知”的關係來求解$c$

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\alpha u^{2}}e^{-\beta u}\operatorname {d} \!u=\left({\pi \over \alpha }\right)^{(1/2)}\exp \left[{\beta ^{2} \over 4\alpha }\right]$

${\begin{aligned}|c|^{2}(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{1 \over 2}&=1\\c&=(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-1 \over 4}\end{aligned}}$

因此...

$\phi (p_{x})=(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-1 \over 4}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o})^{2} \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]$

將此代入$\psi (x,t)$並求解...

${\begin{aligned}\psi (x,t)&={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!p_{x}(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-{1 \over 4}}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o}) \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]\exp \left[i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }\right]\\&={1 \over {\sqrt {2\pi \hbar \Delta p_{x}{\sqrt {\pi }}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!p_{x}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o}) \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]\exp \left[i\ p_{x}\ x{1 \over \hbar }\right]\underbrace {\exp \left[i\ x{1 \over \hbar }(p_{o}-p_{o})\right]} _{p_{o}=1}\\&={\exp \left[{ix \over \hbar }p_{o}\right] \over {\sqrt {2\pi \hbar \Delta p_{x}{\sqrt {\pi }}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!p_{x}\exp \left[{-1 \over 2\Delta {p_{x}}^{2}}{(p_{x}-p_{o})^{2}}\right]\exp \left[{ix \over \hbar }{(p_{x}-p_{o})}\right]\\&={\exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right] \over k}\left({\pi 2\Delta {p_{x}}^{2} \over 2\pi \hbar \Delta p_{x}{\sqrt {\pi }}}\right)^{1 \over 2}\exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right]\exp \left[{-x^{2} \over 2\left({\hbar \over \Delta p_{x}}\right)^{2}}\right]\\&=\left({\Delta p_{x} \over \hbar {\sqrt {\pi }}}\right)^{1 \over 2}\exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right]\exp \left[{-x^{2} \over 2\left({\hbar \over \Delta p_{x}}\right)^{2}}\right]\end{aligned}}$

$\psi (x,t)$ 本身就是一個以 $x=0$ 為中心的正態分佈。

高斯函式的寬度：${\hbar \over \Delta p_{x}}$

$\Delta x\Delta p={\hbar \over \Delta p}\Delta p=\hbar$

當 $\Delta p$ 變大時，$\Delta x$ 變小，反之亦然。

極限情況下，$\Delta p\longrightarrow 0$

${\begin{aligned}\phi (p_{x})&\rightarrow p_{o}\\\psi (x)&\rightarrow \exp \left[{ixp_{o} \over \hbar }\right]\end{aligned}}$

觀察 $\psi _{in}$ 隨時間的演化...

將 $\psi (p_{x})=(\Delta {p_{x}}^{2}\pi )^{-{1 \over 4}}\exp \left[{-(p_{x}-p_{o}) \over 2(\Delta p_{x})^{2}}\right]$ 代入 $\Psi (x,t)=(2\pi \hbar )^{-{1 \over 2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[{i(p_{x}x-E(p_{x})t) \over \hbar }\right]\phi (p_{x})\ \operatorname {d} \!p_{x}$

如果你還記得，$E(p_{x})={{p_{x}}^{2} \over 2m}$ 是我們從 <&LINK> 中得到的平面波解。

求解積分得到

$\Psi (x,t)={\pi }^{-{1 \over 4}}\left[{{\Delta p_{x} \over \hbar } \over 1+{i\Delta {p_{x}}^{2}t \over m\hbar }}\right]^{1 \over 2}\exp \left[{{{ip_{o}x \over \hbar }-\left({\Delta p_{x} \over \hbar }\right)^{2}{x^{2} \over 2}}-{i\ {p_{o}}^{2}t \over 2m\hbar } \over 1+{i\Delta {p_{x}}^{2} \over m\hbar }}\right]$

繪製 $P(x,t)=\Psi ^{*}\Psi$

僅僅因為你是理論家，並不意味著你就不應該透過實驗學習。讓我們代入一些數字，看看這個波函式是如何表現的。

<FIGURE> "示例圖 1" (t=0)

<FIGURE> "示例圖 2" (t=5000)

<FIGURE> "示例圖 3" (t=10000)