電子學/RCL

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RLC 串聯電路

RLC 串聯電路由一個電阻器、一個電感器和一個電容器串聯連線而成

根據基爾霍夫電壓定律，該電路的微分方程為

$L{\frac {dI}{dt}}+IR+{\frac {1}{C}}\int Idt=V(t)$

或者

$L{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+R{\frac {dI}{dt}}+{\frac {I}{C}}={\frac {dV}{dt}}$

得出

$s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}=0$

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

其中

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$ 且 $\beta ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

需要考慮三種情況，每種情況都導致不同的電路行為，$\alpha ^{2}=\beta ^{2},\alpha ^{2}>\beta ^{2},or\alpha ^{2}<\beta ^{2}$。

$\alpha ^{2}=\beta ^{2}$ .

${\frac {R}{2L}}$ = ${\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$R=2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

上述方程式只有一個實根

s = -α = ${\frac {R}{2L}}$

$I=Ae^{(-{\frac {R}{2L}})t}$

$\alpha ^{2}>\beta ^{2}$ ,

${\frac {R}{2L}}$ > ${\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$R>2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

上述方程式有兩個實根

$s=-\alpha$ ± ${\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}$

$I=e^{(}-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t+e^{-}(\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t$

$I=e^{(}-\alpha )e({\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t-e^{-}({\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})t$

$\alpha ^{2}<\beta ^{2}$ .

$R<2{\sqrt {\frac {L}{C}}}$

上述方程式有兩個復根

$s=-\alpha$ + j${\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}$

$s=-\alpha$ - j${\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}}$

$I=e^{j}(-\alpha +{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}})t+e^{j}(-\alpha +{\sqrt {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}})t$

電路分析

R = 0

如果 R = 0，則 RLC 電路將簡化為 LC 串聯電路。LC 電路在諧振時會產生駐波；在諧振時，條件會以穩定的功能方式快速傳遞。

$Z_{L}=Z_{C}$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

R = 0 Z_L = Z_C

如果 R = 0 並且上面的電路在諧振狀態下工作，則電路的總阻抗為 Z = R，電流為 V / R。

在諧振時

$Z_{L}+Z_{C}=0$ 或 $Z_{L}=Z_{C}$

$\omega L={\frac {1}{\omega C}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

$Z=Z_{R}+Z_{L}+Z_{C}=R+0=R$

$I={\frac {V}{R}}$

在頻率處

I = 0。電容器開啟電路。I = 0

I = 0。電感器開啟電路。I = 0

繪製上面三個 I 值的三個 I，我們得到了一個 I - 0 圖。在諧振頻率 $\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ 處，電流值達到最大值 $I={\frac {V}{R}}$。如果電流值為一半，則電路具有穩定電流 $I={\frac {V}{2R}}$ 不會隨著頻率在 É1 - É2 的頻寬範圍內變化。當電流超過 $I={\frac {V}{2R}}$ 時，電路在窄頻寬範圍內具有穩定電流。當電流低於 $I={\frac {V}{2R}}$ 時，電路在寬頻寬範圍內具有穩定電流。

因此，該電路能夠選擇頻寬，使得電路在諧振狀態下具有穩定的電流，因此該電路可以用作諧振調諧選擇頻寬濾波器。

進一步閱讀

1. 時域分析 RCL 電路
2. 頻域分析 RCL 電路