工程分析/矩陣指數

矩陣指數

如果我們有一個矩陣A，我們可以將該矩陣提升到e的冪，如下所示

$e^{A}$

重要的是要注意，這並不一定（通常不）等於A的每個元素都提升到e的冪。 使用指數的泰勒級數展開，我們可以證明

$e^{A}=I+A+{\frac {1}{2}}A^{2}+{\frac {1}{6}}A^{3}+...=\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}A^{k}$.

換句話說，矩陣指數可以簡化為矩陣冪的和。 這來自於指數函式的泰勒級數展開和之前討論的凱萊-哈密頓定理。

然而，這個無窮和計算起來很昂貴，而且因為序列是無窮的，所以沒有一個好的截止點，我們可以停止計算項並稱答案為“良好近似”。 為了緩解這一點，我們可以轉向凱萊-哈密頓定理。 對Aⁿ求解定理，我們得到

$A^{n}=-c_{n-1}A^{n-1}-c_{n-2}A^{n-2}-\cdots -c_{1}A-c_{0}I$

將等式的兩邊乘以A，我們得到

$A^{n+1}=-c_{n-1}A^{n}-c_{n-2}A^{n-1}-\cdots -c_{1}A^{2}-c_{0}A$

我們可以將第一個方程代入第二個方程，結果將是Aⁿ⁺¹，以A的前n - 1個冪表示。 事實上，我們可以重複這個過程，這樣A^m，對於任意高冪的m，可以表示為A的前n - 1個冪的線性組合。 將此結果應用於我們的指數問題

$e^{A}=\alpha _{0}I+\alpha _{1}A+\cdots +\alpha _{n-1}A^{n-1}$

我們可以求解α項，並有一個表示指數的有限多項式。

逆矩陣

矩陣指數的逆矩陣由下式給出

$(e^{A})^{-1}=e^{-A}$

導數

矩陣指數的導數為

${\frac {d}{dx}}e^{Ax}=Ae^{Ax}=e^{Ax}A$

注意指數矩陣與矩陣A是可交換的。 這在其他函式中並不一定如此。

矩陣的和

如果指數中有一個矩陣的和，我們不能將它們分開

$e^{(A+B)x}\neq e^{Ax}e^{Bx}$

微分方程

如果我們有一個如下形式的一階微分方程

$x'(t)=Ax(t)+f(t)$

初始條件為

$x(t_{0})=c$

那麼該方程的解可以用矩陣指數表示為

$x(t)=e^{A(t-t_{0})}c+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}f(\tau )d\tau$

該方程在控制工程中經常出現。

拉普拉斯變換

出於興趣，我們將展示矩陣指數函式的拉普拉斯變換

${\mathcal {L}}[e^{At}]=(sI-A)^{-1}$

雖然本書不會再使用這個結果，但其他工程類書籍可能會用到它。