FHSST 物理/靜電學/電勢

電勢

場中的功和能量傳遞

當帶電粒子在電場中移動時，會做功，能量也會傳遞。這與質量在萬有引力場中（如任何大質量物體產生的）移動時的情況完全類似。

場做的功

萬有引力情況

一個距離地面高度為 h 的質量具有重力勢能，因為如果釋放，它將在萬有引力場的作用下落下。一旦釋放，在沒有摩擦的情況下，只有重力作用在質量上，質量會在力的方向（朝向地球中心）加速。

這樣，場就會做功。當質量落下距離 h（從點 A 到 B）時，所做的功是，

${\begin{matrix}W&=&Fs\\&=&mgh\end{matrix}}$

在落下過程中，質量會損失重力勢能，並獲得動能。

能量守恆！

場做的功等於傳遞的能量，

${\begin{matrix}W=\mathrm {Gain\ in\ } E_{k}=\mathrm {Loss\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(a\ falling\ mass)} \end{matrix}}$

靜電情況

電場中的電荷具有電勢能，因為如果釋放，它將在電場的作用下移動。當釋放時，在沒有摩擦的情況下，只有電場力作用在電荷上，電荷將在力的方向上加速（對於正電荷，力與加速度方向與電場方向相同，而負電荷則在與電場方向相反的方向上經歷力與加速度）。考慮將一個正電荷 +Q 放置在帶相反電荷的平行板之間的均勻電場中。

正電荷會被正極板排斥，被負極板吸引（即它會在電場線的方向上移動）。這樣，場就會做功。在電場中移動電荷距離 s 時，所做的功是，

${\begin{matrix}W&=&Fs\\&=&QEs\qquad \mathrm {since\ } E={F \over Q}.\end{matrix}}$

在移動過程中，電荷會損失電勢能，並獲得動能。場做的功等於傳遞的能量，

${\begin{matrix}W&=&\mathrm {Gain\ in\ } E_{k}=\mathrm {Loss\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(charge\ moving\ under\ the\ influence\ of\ an\ electric\ field)} \end{matrix}}$

我們所做的功

萬有引力情況

為了將圖 12.1 中的質量 *m* 返回到其原始位置（即從 B 提升到 A 的距離 *h*），我們必須施加一個力 *mg* 來平衡重力。起重機所做的功為 *mgh*。在這個過程中，質量獲得了重力勢能，

${\begin{matrix}mgh&=&\mathrm {Gain\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(lifting\ a\ mass)} \end{matrix}}$

靜電情況

為了將圖 12.2 中的電荷返回到其原始位置（即從 B 返回到 A），我們必須對電荷施加一個力 *QE* 來平衡電場對其施加的力。我們所做的功為 *QEs*。在這個過程中，電荷獲得了電勢能，

${\begin{matrix}QEs&=&\mathrm {Gain\ in\ } E_{p}\qquad \mathrm {(charge\ moved\ against\ an\ electric\ field)} \end{matrix}}$

總之，**當物體在場的力的作用下運動時，場做功，勢能轉化為動能。勢能損失，動能增加。當物體逆著場力運動時，我們必須做功，物體獲得勢能。**

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例題 62 場中做的功和能量轉換

**問題：**一個 +5nC 的電荷在大小為 $2\times 10^{12}\mathrm {N.C^{-1}}$ 的均勻電場中，被移動了 4 cm 的距離，從 A 到 B。

(a) 計算將電荷從 A 移動到 B 所做的功。(b) 現在釋放電荷，使其返回到 A。計算電荷在 A 的動能。

**答案：** (a) 步驟 1 

我們已知電荷、場強和電荷必須移動的距離的值。所有值都使用正確的單位。

步驟 2 

由於電荷為正，因此我們必須做功才能將電荷從 A 移動到 B（因為這是逆著場力）。此功由以下公式給出，

${\begin{matrix}W&=&QEs\\&=&(5\times 10^{-9})(2\times 10^{12})(0.04)\\&=&400\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

(b)

步驟 3 

釋放後，電荷在電場的作用下移動並返回到 A 點。此時，電場做功，所做的功等於動能的增加量，

${\begin{matrix}\mathrm {Gain\ in\ } E_{k}&=&QEs\\&=&(5\times 10^{-9})(2\times 10^{12})(0.04)\\&=&400\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

由於電荷最初靜止，所以動能的增加量即為最終的動能，

${\begin{matrix}E_{k}^{\mathrm {at\ A} }&=&400\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

電勢差

考慮一個正的試驗電荷 + Q 放在另一個正點電荷的電場中的 A 點。

試驗電荷在另一個電荷的電場作用下向 B 點移動。在此過程中，試驗電荷損失了電勢能，獲得了動能。因此，在 A 點，試驗電荷的電勢能比在 B 點的電勢能高——A 點的電勢比 B 點高。電荷在電場中某一點的電勢能定義為將該電荷從無窮遠處移動到該點的功。

兩點之間的電勢差定義為將單位正試驗電荷從低電勢點移動到高電勢點所需的功。如果將電荷 Q 從一個點移動到另一個點需要做 W 功，那麼這兩點之間的電勢差由下式給出：

${\begin{matrix}V&=&{W \over Q}\qquad \mathrm {unit:J.C^{-1}\ or\ V\ (the\ volt)} \end{matrix}}$

從這個公式可以得出，如果將一個庫侖的電荷從一個點移動到另一個點需要做一焦耳的功，那麼這兩個點之間的電勢差為一伏。

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例題 63 電勢差

問題：如圖所示，將一個帶正電的物體 Q 放在圖中所示的位置。兩點 A 和 B 之間的電勢差為$4\times 10^{-4}\ \mathrm {V}$

(a) 計算一個 +2nC 的電荷從 A 點移動到 B 點時電勢能的變化。(b) 哪一點，A 點還是 B 點，電勢更高？解釋。(c) 如果將這個電荷換成另一個 -2nC 的電荷，它的能量變化會受到怎樣的影響？

答案：(a) 正電荷從 A 點移動到 B 點時，它的電勢能降低，因為它是在物體 Q 產生的電場方向上移動的。這種電勢能的損失等於電場做的功，

${\begin{matrix}\mathrm {Loss\ in\ Electrical\ Potential\ Energy} &=&W\\&=&VQ\qquad \mathrm {(Since\ } V={W \over Q})\\&=&(4\times 10^{-4})(2\times 10^{-9})\\&=&8\times 10^{-13}\ \mathrm {J} \end{matrix}}$

(b) 由於從B點移動正電荷到A點需要做功，因此A點的電勢高於B點。(c) 如果電荷被負電荷取代，則在從A點移動到B點的過程中，電荷的電勢能會增加（在這種情況下，我們必須對電荷做功）。

例如，考慮兩個帶相反電荷的平行板之間的電場，它們相距d，並保持電壓差V。

這個電場是均勻的，因此放置在板之間的任何位置的電荷都會受到相同的力。考慮一個正電荷Q，它被放置在負極板表面的O點。為了將其移動到正極板，我們必須施加一個力QE。將電荷從負極板移動到正極板所做的功為：

${\begin{matrix}W&=&Fs\\&=&QEd,\end{matrix}}$

但從電勢的定義來看：

${\begin{matrix}W&=&VQ.\end{matrix}}$

將這兩個關於做功的表示式相等：

${\begin{matrix}QEd&=&VQ,\end{matrix}}$

因此，重新排列：

${\begin{matrix}E&=&{V \over d}.\qquad \end{matrix}}$

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例題 64 平行板

題目：兩塊帶電平行板相距180 mm。它們之間的電壓差為$3600\ \mathrm {V}$，如圖所示。

(a) 如果一個質量可忽略不計的小油滴，帶電荷$+6.8\times 10^{-9}\ \mathrm {C}$，被放置在板之間的X點，計算作用在液滴上的靜電力的方向和大小。

(b) 如果液滴現在被移動到Y點，作用在它上面的力會比(a)中更大、更小還是相同？

答案：(a)

步驟 1 

首先找到板之間的電場強度：

${\begin{matrix}E&=&{V \over d}\\&=&{3600 \over 0.180}\\&=&20000\ \mathrm {N.C^{-1}\ from\ the\ positive\ to\ the\ negative\ plate} \end{matrix}}$

步驟 2 

現在，作用在X點電荷上的力為：

${\begin{matrix}F&=&QE\\&=&(6.8\times 10^{-9})(20000)\\&=&1.36\times 10^{-4}\ \mathrm {down} \end{matrix}}$

(b)

圖 12.3：懸浮在帶相反電荷的平行板之間的油滴。

檔案：Fhsst electrost29.png

步驟 3 

相同。由於電場強度均勻，作用在電荷上的力在板之間的所有點都相同。

密立根油滴實驗

羅伯特·密立根透過研究帶電油滴在帶相反電荷的平行板之間運動來測量電子的電荷。

考慮圖 12.3 中平行板之間的一個這樣的負滴。由於這個滴是負的，所以電場對滴施加一個向上的力。除了這個向上的力之外，重力對滴施加一個向下的力。密立根透過改變施加在板上的電勢差來調整板之間的電場強度。透過這種方式，密立根能夠使油滴靜止。*編輯*密立根的實驗是讓油滴以恆定速率下降。在這個恆定速率下，地球對油滴的力和電場對油滴的力相等 *編輯結束*

${\begin{matrix}F_{\mathrm {up} }&=&F_{\mathrm {down} }\\QE&=&mg\end{matrix}}$

由於 $E={V \over d}$

${\begin{matrix}Q{V \over d}&=&mg,\\\end{matrix}}$

因此，

${\begin{matrix}Q&=&{mgd \over V}\end{matrix}}$

密立根發現所有油滴的電荷都是 $1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C}$ 的倍數。由於物體透過獲得或失去電子而帶電，所以電子的電荷必須是 $-1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C}$。電子電荷的大小用 e 表示，

${\begin{matrix}e&=&1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} \end{matrix}}$

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例題 65 電荷

問題：一個金屬球帶 $+3.2\times 10^{-8}\ \mathrm {C}$ 的電荷。它必須失去多少個電子才能達到這個電荷？

答案：由於球是正的，所以它在充電過程中失去了電子（當物體失去負電荷時，它會留下正電荷）。事實上，它失去了，

${\begin{matrix}{3.2\times 10^{-8} \over 1.6\times 10^{-19}}&=&2\times 10^{11}\ \mathrm {electrons} \end{matrix}}$

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例題 66 密立根油滴實驗

問題：在一個類似密立根的實驗中，一個帶正電的油滴被放置在兩塊水平板之間，兩塊板相距 20 毫米，如圖所示。

兩塊板間的電勢差為 4000V。該油滴的質量為 $1.2\times 10^{-14}$，電荷量為 $8\times 10^{-19}$。（a）畫出兩板之間電場線的圖案。（b）計算

1. 兩板之間的電場強度。
2. 作用在油滴上的重力的量級。
3. 作用在油滴上的庫侖力的量級。

（c）透過顯微鏡觀察油滴。觀察到的油滴會做什麼？解釋一下。（d）在不進行進一步計算的情況下，給出兩種可以使油滴保持固定位置的方法。

答案：(a)

（b）1.

${\begin{matrix}E&=&{V \over d}\\&=&{4000 \over 0.02}\\&=&2\times 10^{5}\ \mathrm {V.m^{-1}\ up} \\\end{matrix}}$

2.

${\begin{matrix}F_{\mathrm {grav} }&=&mg\\&=&(1.2\times 10^{-14})(10)\\&=&1.2\times 10^{-13}\mathrm {N} \end{matrix}}$

3.

${\begin{matrix}F_{\mathrm {Coulomb} }&=&QE\\&=&(8\times 10^{-19})(s\times 10^{5})\\&=&1.6\times 10^{-13}\mathrm {N} \end{matrix}}$

（c）由於 $F_{up}>F_{down}$，油滴向上加速。

（d）可以透過減小兩板之間的電場強度來減小庫侖力。由於 $E={V \over d}$，可以透過增加 d 或減小 V 來實現。