FHSST 物理/靜電學/靜電力

靜電力

正如我們現在所知，帶電物體相互施加力。如果電荷處於靜止狀態，則它們之間的這種力稱為靜電力。靜電力一個有趣的特徵是它可以是吸引力或排斥力，與始終只有吸引力的萬有引力不同。兩個物體上的相對電荷決定了帶電物體之間是吸引力還是排斥力。如果物體帶相反的電荷，它們會相互吸引，而如果它們的電荷相似，它們會相互排斥（例如，兩個帶負電的金屬球會相互排斥，而一個帶正電的球和一個帶負電的球會相互吸引）。

正是這種力決定了電荷在導體表面的分佈。當我們在球形導體上放置電荷時，各個相同電荷之間的排斥力會導致它們均勻地分佈在球體的表面上。然而，對於形狀不規則的導體，電荷會集中在物體尖端或尖端附近。

如果尖端足夠尖銳，這種電荷的聚集實際上會導致電荷從導體上洩漏。出於這個原因，建築物通常在屋頂上安裝避雷針來消除建築物積聚的任何電荷。這可以最大限度地減少建築物被雷擊的可能性。

如果我們在絕緣體上放置電荷，則這種電荷的擴散不會發生，因為電荷不能在絕緣體中移動。

庫侖定律

查爾斯·庫侖在大約 1784 年對靜電力的行為進行了詳細研究。透過他的觀察，他能夠證明任何兩個點電荷之間的靜電力與其大小成正比，與其距離的平方成反比。因此，如果 F 是力，Q1 和 Q2 是電荷，R 是它們之間的距離，則該定律可總結為

                F=(Q1Q2)/(R^2) 
                          

其中Q₁ 是一個點狀物體上的電荷，Q₂ 是第二個物體上的電荷，r 是兩者之間的距離。請記住，這裡的 F 是根據牛頓第三運動定律，彼此施加的相互作用力，作用於兩個電荷。

兩個點狀電荷之間的靜電力的大小由庫侖定律給出

${\begin{matrix}F=k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\end{matrix}}$

(12.1)

比例常數k 稱為靜電常數。我們將使用值

${\begin{matrix}k=8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}.}}\end{matrix}}$

靜電常數的值已知到非常高的精度（小數點後 9 位）。沒有多少物理常數像k 一樣精確。

旁白：注意庫侖定律與兩個點狀粒子之間的牛頓萬有引力定律的形式多麼相似

${\begin{matrix}F_{G}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},\end{matrix}}$

其中m₁ 和m₂ 是兩個粒子的質量，r 是它們之間的距離，G 是萬有引力常數。有趣的是，庫侖定律已被證明無論距離多麼小，電荷多麼大，都是正確的：例如，它仍然適用於原子內部（距離小於 $10^{-10}{\rm {m}}$

讓我們來舉一個簡單的靜電力的例子。

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例題 59 庫侖定律 I

問題：兩個帶 +3×10⁻⁹ C 和 −5×10⁻⁹ C 電荷的點狀電荷相距 2 米。確定它們之間的力的幅度，並說明它是吸引力還是排斥力。

答案

步驟 1

首先繪製這種情況

步驟 2

一切都使用正確的單位了嗎？是的，電荷以庫侖 [C] 為單位，距離以米 [m] 為單位。

步驟 3

確定力的幅度：使用庫侖定律，我們得到

${\begin{matrix}F&=&k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}\\&=&(8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}}}){\frac {(+3\times 10^{-9}{\rm {C}})(-5\times 10^{-9}{\rm {C}})}{(2{\rm {m}})^{2}}}\\&=&-{\frac {(8.99)(3)(5)}{4}}(10^{-9}){\frac {(N\cdot m^{2}/C^{2}\!\!\!/)(C^{2})}{m^{2}}}\\&=&-3.37\times 10^{-8}{\rm {N}}\end{matrix}}$

因此，力的 *大小* 為 $3.37\times 10^{-8}{\rm {N}}$。負號是由於兩個點電荷具有相反的符號。

步驟 4

該力是吸引力還是排斥力？由於這兩個電荷帶相反的電荷，因此該力是 *吸引* 力。我們也可以從庫侖定律得出力的值為負，從而得出該結論。

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接下來，我們將透過另一個示例來演示萬有引力和靜電力之間的量級差異。

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例題 60 庫侖定律 II

問題：確定兩個相隔 1 埃的電子之間的靜電力和萬有引力（即原子內部感受到的力）答案：Å 步驟 1

首先繪製這種情況

Riaan 注意：此影像有錯誤，請重新建立

步驟 2

將所有內容轉換為 SI 單位：電子的電荷為 $-1.60\times 10^{-19}{\rm {C}}$，電子的質量為 $9.11\times 10^{-31}{\rm {kg}}$，1 埃 = $1\times 10^{-10}{\rm {m}}$

步驟 3

使用庫侖定律計算靜電力

${\begin{matrix}F_{E}&=&k{\frac {Q_{1}Q_{2}}{r^{2}}}=k{\frac {e\cdot e}{1\mathrm {\AA} ^{2}}}\\&=&(8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}){\frac {(-1.60\times 10^{-19}{\rm {C}})(-1.60\times 10^{-19}{\rm {C)}}}{(10^{-10}{\rm {m)^{2}}}}}}}\\&=&2.30\times 10^{-8}{\rm {N}}\end{matrix}}$

因此，兩個電子之間靜電力的 *大小* 為 $2.30\times 10^{-8}{\rm {N}}$。（注意，電子帶有相同的電荷，因此我們知道該力一定是排斥力。另一種觀察方法是，該力的值為正，因此是排斥力。）

步驟 4

計算萬有引力

${\begin{matrix}F_{E}&=&G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=G{\frac {m_{e}\cdot m_{e}}{(1\mathrm {\AA} )^{2}}}\\&=&(6.67\times 10^{-11}{\rm {N\cdot m^{2}/kg^{2}}}){\frac {(9.11\times 10^{-31}{\rm {C}})(9.11\times 10^{-31}{\rm {kg}})}{(10^{-10}{\rm {m}})^{2}}}\\&=&5.54\times 10^{-51}{\rm {N}}\end{matrix}}$

兩個電子之間引力的強度為 $5.54\times 10^{-51}{\rm {N}}$

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請注意，兩個電子之間的引力遠小於靜電力。因此，在確定兩個帶電物體之間的力時，通常會忽略引力。

我們上面提到，放在球形導體上的電荷會均勻地分佈在表面。因此，如果我們離帶電球體足夠遠，在靜電上，它的行為就像一個點電荷。因此，我們可以將球形導體（例如金屬球）視為點電荷，所有電荷都作用在中心。

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例題 61 庫侖定律：挑戰題

問題：在下圖中，X 是一個帶有負電荷的小球體，質量為 10 公斤。它透過絕緣繩索懸掛在屋頂上，繩索與屋頂成 60^o 角。Y 是一個帶有正電荷的小球體，其電荷量與 X 相同。Y 透過絕緣支架固定在牆上。假設系統處於平衡狀態，X 上的電荷量是多少？

答案：我們如何確定 X 上的電荷量？嗯，如果我們知道 X 和 Y 之間的力，我們可以使用庫侖定律來確定它們的電荷量，因為我們知道它們之間的距離。所以，首先，我們需要確定 X 和 Y 之間靜電力的強度。

步驟 1

所有單位都是 S.I. 單位嗎？X 和 Y 之間的距離為 $50{\rm {cm}}=0.5{\rm {m}}$，X 的質量為 10 公斤。

步驟 2

畫出作用在 X 上的力（帶方向）並標註。

步驟 3

確定靜電力的強度（F_E）。由於沒有任何東西在移動（系統處於平衡狀態），因此力的垂直分量和水平分量必須相互抵消。因此

${\begin{matrix}F_{E}=T\sin(60^{o})\qquad \qquad F_{g}=T\sin(60^{o}).\end{matrix}}$

我們唯一知道的力是重力 F_g = mg。現在我們可以從上面計算出 T 的強度

${\begin{matrix}T={\frac {F_{g}}{\sin(60^{o})}}={\frac {(10{\rm {kg}})(10{\rm {m/s^{2})}}}{\sin(60^{o})}}=1155{\rm {N}}.\end{matrix}}$

這意味著 F_E 為

${\begin{matrix}F_{E}=T\cos(60^{o})=1154{\rm {N\cdot \cos(60^{o})=577.5{\rm {N}}}}\end{matrix}}$

步驟 4

現在我們已經知道了 X 和 Y 之間靜電力的量級，我們可以使用庫侖定律來計算它們的電荷。不要忘記 X 和 Y 上電荷的量級是相同的：$|Q_{\rm {X}}|=|Q_{\rm {Y}}|$. 靜電力的量級是

${\begin{matrix}F_{E}&=&k{\frac {|Q_{\rm {X}}Q_{\rm {Y}}|}{r^{2}}}=k{\frac {Q_{\rm {X}}^{2}}{r^{2}}}\\|Q_{\rm {X}}|&=&{\sqrt {\frac {F_{E}r^{2}}{k}}}\\&=&{\sqrt {\frac {(577.5{\rm {N}})(0.5{\rm {m}})^{2}}{8.99\times 10^{9}{\rm {N\cdot m^{2}/C^{2}}}}}}\\&=&1.27\times 10^{-4}{\rm {C}}\end{matrix}}$

因此，X 上的電荷是 $-1.27\times 10^{-4}{\rm {C}}$