FHSST 物理/力/牛頓運動定律

牛頓運動定律

我們當前的運動定律是由艾薩克·牛頓爵士發現的。據說牛頓爵士在被一個掉落的蘋果砸到頭部後開始思考運動和萬有引力的本質。

牛頓發現了描述運動的 3 個定律

第一定律

牛頓第一定律基本上說，要使物體運動或停止運動，必須對物體施加力。該陳述的第一部分絕對有道理。我讓某個東西運動的唯一方法是讓某個東西推它。該陳述的第二部分可能並不那麼容易被直接接受為事實。我們都見過物體在沒有人推它們的情況下減速。那麼我們怎麼能說停止物體運動的唯一方法是施加力呢？答案是我們並不總是看到力。大多數情況下，我們看不到的力是摩擦力。

摩擦力是兩個物體相互滑動時產生的阻礙運動的力。要理解什麼是摩擦力，想想砂紙。如果你試圖摩擦兩塊砂紙，你會發現很難讓它們滑動。在一定程度上，所有物體之間都存在著這種現象。這種摩擦力是使物體減速或停止運動的原因。

第二定律

定義：動量的變化率與施加的力成正比，且方向與力相同。

該定律可以用以下基本形式表示（選擇合適的測量系統使得比例常數為 1）

${\vec {F}}={\frac {d(m{\vec {v}})}{dt}}$

質量和速度的乘積，即 $m{\vec {v}}$ 稱為動量。因此，作用在粒子上的合力等於粒子動量隨時間的變化率。一般情況下，所考慮物體的質量是恆定的，因此可以從導數中提取出來

${\begin{aligned}{\vec {F}}&=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\\{\vec {F}}&=m{\vec {a}}\end{aligned}}$

對於恆定質量，$${\vec {F}}=m{\vec {a}}$$

力等於質量乘以加速度。牛頓第二運動定律的這個版本假設物體的質量不隨時間變化，因此它不是該定律的通用數學形式。因此，例如，該方程不能應用於火箭的運動，因為火箭會隨著時間的推移而損失質量（損失的質量從火箭後部噴出）。

加速度的方向與合力的方向相同是有道理的。如果你推開某個東西，它不會朝你移動，當然除非還有另一個力作用在物體上朝你移動！

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例項 16 牛頓第二定律

問題：質量為 10 kg 的物體以 2 m·s⁻² 的加速度運動。作用在物體上的合力的大小是多少？

答案

步驟 1

我們已知

• 物體的質量
• 物體的加速度

所有單位都正確。

步驟 2 

我們要求作用在物體上的力的幅值。牛頓第二定律告訴我們物體的加速度和力之間的關係。由於我們只需要幅值，因此我們不需要擔心向量的方向

${\begin{matrix}F_{Net}&=&ma\\&=&10\ {\mbox{kg}}\times 2{\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\\&=&20\ {\mbox{N}}\end{matrix}}$

因此，作用在箱子上的合力必須為 20 牛頓。

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示例 17 牛頓第二定律 2

問題：一個質量為 100 毫克的物體放置在無摩擦的水平面上，在正方向 x 方向上施加一個 12 牛頓的力。物體的加速度是多少？

答案

步驟 1 

我們已知

• 物體的質量
• 施加的力

但質量單位不正確。

步驟 2 

讓我們先將質量轉換為正確單位

${\begin{matrix}100{\mbox{ mg}}&=&100\times 10^{-3}{\mbox{ g}}=0.1{\mbox{ g}}\\1000{\mbox{ g}}&=&1\ {\mbox{kg}}\\1&=&1kg\times {\frac {1}{1000g}}\\&=&{\frac {1kg}{1000g}}\\0.1g&=&0.1g\times 1\\&=&0.1g\times {\frac {1kg}{1000g}}\\&=&0.0001\ kg\\\end{matrix}}$

步驟 3 

我們知道合力會導致加速度。由於沒有摩擦，因此施加的力就是物體上的合力（參考之前關於在桌面上推動物體的例子）。根據牛頓第二定律，物體將在該力的方向上加速。

步驟 4 

要確定加速度的大小

${\begin{matrix}F_{Res}&=&ma\\12{\mbox{ N}}&=&(0.0001{\mbox{ kg}})a\\a&=&{\frac {12{\mbox{ N}}}{0.0001{\mbox{kg}}}}\\&=&120000{\frac {\mbox{N}}{\mbox{kg}}}\\&=&120000{\frac {{\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}}{{\mbox{s}}^{2}\cdot {\mbox{kg}}}}\\&=&120000{\frac {\mbox{m}}{{\mbox{s}}^{2}}}\\&=&1.2\times 10^{5}\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\end{matrix}}$

根據牛頓第二定律，加速度的方向與合力的方向相同。最終結果是，物體在正方向 x 方向上以 $1.2\times 10^{5}\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}$ 的加速度加速。

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重量與質量

你一定聽過人們說我的體重是 60 公斤。這實際上是正確的，儘管物理學家往往難以理解這一點，因為用公斤衡量的是質量。這與力學中使用的“重量”一詞的含義不同，在力學中，重量是指地球對具有質量的物體的重力。

${\begin{matrix}F_{weight}=mg\end{matrix}}$

因此，重量是用牛頓來衡量的。

如果將此方程式與牛頓第二定律進行比較，你會發現它們看起來完全相同，只是將a替換為g。因此，當重量是作用在物體上的唯一力時（即當$F_{weight}$

F_weight是作用在物體上的合力）物體具有加速度g。這樣的物體被稱為自由落體。g的值對於所有物體都是相同的（即它與物體的質量無關）。

${\begin{matrix}g=9.8{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\approx 10{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}g=9.8{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\approx 10{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\end{matrix}}$

(4.3)

你將在第 ??? 章中學習如何從地球的質量和半徑計算這個值。實際上，g的值在地球表面的不同地點略有不同。

我們經常混淆重量和質量的原因是，秤測量你的重量（以牛頓為單位），然後使用上面的方程式顯示你的質量。

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例題 18 計算合力然後計算加速度

問題：一個放在無摩擦平面的木塊（質量為 20 公斤）在正 x 方向上受到 45 牛頓力的作用。此外，在負 x 方向上施加了 25 牛頓力。作用在木塊上的合力是多少，木塊的加速度是多少？

答案

步驟 1 

我們已知

• 物體的質量
• 力 F₁ = 45 牛頓，在正 x 方向上。
• 力 F₂ = 25 牛頓，在負 x 方向上。

所有單位都正確。

步驟 2 

我們要確定木塊會發生什麼。我們知道合力會導致加速度。我們需要確定作用在木塊上的合力。

步驟 3 

由於 F₁ 和 F₂ 沿同一直線作用，我們可以應用向量章節中討論的向量加法的代數方法來確定合力。選擇正 x 方向作為我們的正方向。

正 x 方向是正方向。

${\begin{matrix}F_{Res}&=&(+45\ {\mbox{N}})+(-25{\mbox{ N}})\\&=&+20\ {\mbox{N}}\\&=&20{\mbox{N}}\ in\ the\ positive\ x-direction\end{matrix}}$

其中，我們在最後一步記得用文字包含合力的方向。根據牛頓第二定律，木塊將在合力的方向上加速。

步驟 4 

接下來，我們確定加速度的大小。

${\begin{matrix}F_{Res}&=&ma\\20{\mbox{N}}&=&(20{\mbox{kg}})a\\a&=&{\frac {20{\mbox{N}}}{20{\mbox{kg}}}}\\&=&1{\frac {\mbox{N}}{\mbox{kg}}}\\&=&1{\frac {{\mbox{kg}}\cdot {\mbox{m}}}{{\mbox{s}}^{2}\cdot {\mbox{kg}}}}\\&=&1\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}\\\end{matrix}}$

最終結果是木塊在正 x 方向（與合力相同的方向）上以$1\ {\mbox{ m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}$ 的速度加速。

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例題 19 傾斜平面上的木塊

問題：一個木塊（質量為 10 公斤）從一個斜面上釋放。如果角度 θ 為 25 度，木塊與斜面之間的摩擦係數為 0.25，木塊的加速度是多少？

解決方案

步驟 1：方塊的加速度將平行於斜面，因此我們將問題分成兩部分 - 垂直於斜面的力（由於垂直於斜面沒有加速度，因此必須抵消）和平行於斜面的力。

步驟 2：我們知道在垂直於斜面方向上沒有加速度，換句話說$a_{\perp }=0$。因此我們知道

${\begin{matrix}\\\sum {F_{\perp }}&=&0\\N-W_{\perp }&=&0\\N-m\ g\ {\cos \theta }&=&0\\N&=&m\ g\ {\cos \theta }\\&=&(10\ kg)(9.8\ {m \over {s^{2}}})\ {\cos 25^{\circ }}\\&=&88.82\ N\end{matrix}}$

步驟 3：將平行於斜面的力求和得到

${\begin{matrix}\\\sum {F_{\|}}&=&m\ g\ {\sin \theta }-\mu \ N\\ma_{\|}&=&m\ g\ {\sin \theta }-\mu \ N\\(10kg)a_{\|}&=&(10kg)(9.8\ {m \over s^{2}})\sin 25^{\circ }-(0.25)\ (88.82\ N)\\a_{\|}&=&(9.8\ {m \over s^{2}})\ \sin 25^{\circ }-(0.25)\ {{88.82\ N} \over {10\ kg}}\\&=&5.5\ {m \over {s^{2}}}\end{matrix}}$

最終結果是方塊以$5.5\ m\cdot s^{-2}$的加速度沿著斜面向下加速。

第三定律

定義：對於一個物體施加在另一個物體上的每一個力（作用力），總會有一個大小相等、方向相反的力，另一個物體施加回第一個物體（反作用力）。

該定律是線性動量守恆原理的直接結果。

牛頓第三定律很容易理解，但應用起來卻相當困難。需要認識到的是，作用力和反作用力永遠不會作用在同一個物體上，因此不能對同一個合力做出貢獻。

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例題 20 識別作用-反作用力對

問題：考慮在一個粗糙的桌面上推一個箱子。

1. 畫一個力圖，指示所有作用在箱子上的力。
2. 確定作用在箱子上的每個力的反作用力。

答案

1. 下圖顯示了作用在箱子上的所有力

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需要認識到一個與牛頓第三定律有關的重要問題。想象一下從懸崖上扔一塊石頭。它落下是因為地球對其施加了一個力（見第 ?? 章），而且似乎沒有其他力在作用。那麼牛頓第三定律錯了嗎？不，石頭重量的反作用力是石頭施加在地球上的力。下一章將詳細說明這一點。

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例題 21 牛頓第三定律

問題：一塊質量為 0.5 kg 的石頭以 10 m·s⁻² 的加速度朝地球墜落。

1. 地球對石頭的作用力是多少？
2. 石頭對地球的作用力是多少？
3. 已知地球的質量為 5.97 × 10²⁷ kg，它的加速度是多少？

答案

1. 步驟 1：我們知道

• • 石頭的質量
  • 石頭的加速度（g）

1. 根據牛頓第三定律，石頭必須對地球施加一個大小相等、方向相反的力。因此，石頭以 5 N 的力朝石頭施加在地球上。
2. 我們有

• • 作用在地球上的力
  • 地球的質量

File:Fhsst forces13.png

牛頓首次在《自然哲學的數學原理》（1687 年）中發表了這些定律，並用它們證明了許多關於物理物體運動的結果。直到 1916 年， 牛頓定律才被愛因斯坦的相對論所取代。

檔案：Fhsst forces15.png

接下來的兩個例項相當冗長且複雜，但理解它們非常重要，因為它們說明了牛頓定律的重要性。

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例項 22 火箭

問題： 火箭如何在太空中加速？

答案

• 氣體在火箭內部爆炸。
• 這種爆炸的氣體在火箭的兩側施加力（如下方火箭內部爆炸室的圖片所示）。

檔案：Fhsst forces17.png

請注意，此圖片中顯示的力是代表性的。爆炸時，會產生各個方向的力。

• 由於情況的對稱性，所有施加在火箭上的力都被相反側的力抵消，除了開啟的一側的力。作用在上表面的這個力是不平衡的。
• 因此，這是作用在火箭上的合力，它使火箭向前加速。

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系統和外力

系統和外力的概念在物理學中非常重要。系統是任何物體的集合。如果在一個這樣的系統周圍畫一個想象的盒子，那麼外力是由盒子外面的人或物體施加的力。例如，想象一輛汽車拉著一輛拖車。

系統概念極其重要。考慮一個例子，一個人頭戴重物（盒子），站在平臺上。

現在計算一下力 

(i) 盒子向下壓人 (ii) 人向上推盒子（對盒子重量的反應）(iii) 盒子被地球向下拉 (iv) 地球被盒子向上拉 (v) 人向下壓地板 (vi) 地板向上推人 (vii) 人被地球向下拉，以及 (viii) 地球被向上拉。

很混亂。哪些是內力，哪些是外力？這裡識別系統就派上用場了。我們可以選擇盒子或人作為分析力的系統，我們甚至可以將盒子和人一起視為一個系統。選擇系統時，唯一需要注意的條件是系統的各個部分應該具有相同的加速度。如果兩個部分具有不同的加速度，則每個部分都應該被視為一個獨立的系統。