機械能和能量守恆

動能和勢能統稱為機械能。物體的總機械能（U）是其動能和勢能的總和。

{\begin{matrix}U&=&E_{P}&+&E_{K}\\U&=&mgh&+&{\frac {1}{2}}mv^{2}\end{matrix}}

(7.1)

現在，

在沒有摩擦的情況下

機械能守恆

${\begin{matrix}U_{initial}&=&U_{final}\\{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}+mgh_{i}&=&{\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}+mgh_{f}\end{matrix}}$

機械能守恆原理是解決物理問題的一個非常強大的工具。然而，在有摩擦的情況下，部分機械能會損失。

在有摩擦的情況下

機械能不守恆

（損失的機械能等於克服摩擦力所做的功）

$\Delta U=U_{before}-U_{after}=\mathrm {Work\ Done\ Against\ Friction}$

使用機械能守恆的例項 45

問題：一個 2kg 的金屬球懸掛在繩子上。如果它從點 A 釋放並擺動到點 B（其弧線的底部），它在點 B 處的速度是多少？

答案

步驟 1：分析問題以確定提供了哪些資訊

這些都以正確的單位表示，因此我們不必擔心單位轉換。

步驟 2：分析問題以確定要問什麼

步驟 3：確定 A 和 B 處的機械能

為了解決這個問題，我們使用機械能守恆定律，因為沒有摩擦。由於機械能守恆，

{\begin{matrix}U_{A}=U_{B}\end{matrix}}

因此，我們需要知道球在點 A（U_A）和點 B（U_B）處的機械能。點 A 處的機械能為

{\begin{matrix}U_{A}=mgh_{A}+{\frac {1}{2}}m(v_{A})^{2}\end{matrix}}

我們已經知道 m、g 和 v_A，但 h_A 是多少？注意，如果我們令 h_B = 0，則 h_A = 0.5m，因為 A 比 B 高 0.5m。在問題中，您始終可以自由選擇對應於 h = 0 的線。在本例中，最明顯的選擇是使點 B 對應於 h = 0。

現在我們有，

{\begin{matrix}U_{A}&=&(2kg)\left(10{\frac {m}{s^{2}}}\right)(0.5m)+{\frac {1}{2}}(2kg)(0)^{2}\\&=&10\ J\end{matrix}}

如前所述，U_B = U_A。因此，U_B = 10J，但根據機械能的定義

{\begin{matrix}U_{B}&=&mgh_{B}+{\frac {1}{2}}m(v_{B})^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}m(v_{B})^{2}\end{matrix}}

因為 h_B = 0。這意味著

{\begin{matrix}10J&=&{\frac {1}{2}}(2kg)(v_{B})^{2}\\(v_{B})^{2}&=&10{\frac {J}{kg}}\\v_{B}&=&{\sqrt {10}}{\frac {m}{s}}\end{matrix}}