數學著名定理/π 是超越數/對稱多項式

定義 1

一個排列 是一個從一個集合到自身的雙射函式。

設$X={\bigl \{}X_{1},\ldots ,X_{n}{\bigr \}}$ 是一個有限集合。函式$\sigma :X\to X$ 被稱為一個排列當且僅當 它是一對一併且滿射。

也就是說，對於所有的$1\leq i\leq n$ 存在唯一的$1\leq j\leq n$ 使得$\sigma (X_{i})=X_{\sigma (i)}=X_{j}$.

所有$X$ 元素的排列的集合用$S_{X}$ 表示。

示例

對於$X={\bigl \{}1,2,3{\bigr \}}$ 有$3!=6$ 種不同的排列

${\begin{aligned}&\sigma _{1}={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}}\\[5pt]&\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}},\quad \sigma _{4}={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}}\\[5pt]&\sigma _{5}={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}},\quad \sigma _{6}={\begin{bmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

一般而言，如果 $|X|=n$ 那麼 $|S_{X}|=n!=1\cdot 2\cdots n$.

定義 2

令 $F({\vec {X}}{}^{n})$ 為一個多項式。我們定義

$\sigma (F):=F(X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (n)})$

性質

令 $F({\vec {X}}{}^{n}),G({\vec {X}}{}^{n})$ 為多項式。然後我們有

• $\sigma (cF)=c\,\sigma (F)$ 其中 $c\in \mathbb {R}$.
• $\sigma (F\pm G)=\sigma (F)\pm \sigma (G)$
• $\sigma (F\cdot G)=\sigma (F)\cdot \sigma (G)$
• $(\sigma _{1}\circ \sigma _{2})(F)=\sigma _{1}(\sigma _{2}(F))$

證明

• 根據定義，置換僅作用於變數索引。
• 首先，令 $F,G$ 為以下形式的單項式：

${\begin{aligned}F&=a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\\[5pt]G&=b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}\\[5pt]\sigma (F\pm G)&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\!\pm b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=a\,X_{\sigma (1)}^{a_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{a_{n}}\!\pm b\,X_{\sigma (1)}^{b_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{b_{n}}\\[5pt]&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}{\bigl )}\pm \sigma {\bigl (}b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=\sigma (F)\pm \sigma (G)\end{aligned}}$

我們可以透過歸納法 對 $F=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}},\,G=\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}$ 進行推廣，使得 $F_{i_{1}},G_{i_{2}}$ 為單項式。

• 與之前相同，令 $F,G$ 為以下形式的單項式：

${\begin{aligned}F&=a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\\[5pt]G&=b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}\\[5pt]\sigma (F\cdot G)&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}\!\cdot b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=ab\,\sigma {\bigl (}X_{1}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}+b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=ab\,X_{\sigma (1)}^{a_{1}+b_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{a_{n}+b_{n}}\\[5pt]&={\bigl (}a\,X_{\sigma (1)}^{a_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{a_{n}}{\bigr )}\cdot {\bigl (}b\,X_{\sigma (1)}^{b_{1}}\!\cdots X_{\sigma (n)}^{b_{n}}{\bigr )}\\[5pt]&=\sigma {\bigl (}a\,X_{1}^{a_{1}}\!\cdots X_{n}^{a_{n}}{\bigl )}\cdot \sigma {\bigl (}b\,X_{1}^{b_{1}}\!\cdots X_{n}^{b_{n}}{\bigl )}\\[5pt]&=\sigma (F)\cdot \sigma (G)\end{aligned}}$

再次，我們可以透過歸納法對 $F=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}},\,G=\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}$ 進行推廣，使得 $F_{i_{1}},G_{i_{2}}$ 是單項式

${\begin{aligned}\sigma (F\cdot G)&=\sigma {\bigg (}\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}}\cdot \sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}{\bigg )}\\[5pt]&=\sigma {\bigg (}\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}F_{i_{1}}G_{i_{2}}{\bigg )}\\[5pt]&=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}\sigma (F_{i_{1}}\!\cdot G_{i_{2}})\\[5pt]&=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}\sigma (F_{i_{1}})\cdot \sigma (G_{i_{2}})\\[5pt]&=\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}\sigma (F_{i_{1}})\cdot \sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}\sigma (G_{i_{2}})\\&=\sigma {\bigg (}\sum _{i_{1}\,=\,1}^{k_{1}}F_{i_{1}}{\bigg )}\cdot \sigma {\bigg (}\sum _{i_{2}\,=\,1}^{k_{2}}G_{i_{2}}{\bigg )}\\[5pt]&=\sigma (F)\cdot \sigma (G)\end{aligned}}$

• 根據定義，我們得到

${\begin{aligned}(\sigma _{1}\circ \sigma _{2})(F)&=F{\bigl (}X_{(\sigma _{1}\,\circ \,\sigma _{2})(1)},\ldots ,X_{(\sigma _{1}\,\circ \,\sigma _{2})(n)}{\bigr )}\\[5pt]&=F{\bigl (}X_{\sigma _{1}(\sigma _{2}(1))},\ldots ,X_{\sigma _{1}(\sigma _{2}(n))}{\bigr )}\\[5pt]&=\sigma _{1}{\bigl (}F(X_{\sigma _{2}(1)},\ldots ,X_{\sigma _{2}(n)}){\bigr )}\\[5pt]&=\sigma _{1}(\sigma _{2}(F))\end{aligned}}$

定義 3

令 $P({\vec {X}}{}^{n})$ 為多項式。如果

$\sigma (P)=P$

對於所有排列 $\sigma :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$。則稱之為 對稱 多項式。

示例

• 對稱多項式

${\begin{aligned}P({\color {red}x_{1}},{\color {Green}x_{2}},{\color {blue}x_{3}})&={\color {red}x_{1}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {blue}3x_{3}}\\[5pt]&={\color {red}x_{1}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {Green}3x_{2}}\\[5pt]&={\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {blue}3x_{3}}\\[5pt]&={\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {red}3x_{1}}\\[5pt]&={\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {red}3x_{1}}+{\color {Green}3x_{2}}\\[5pt]&={\color {blue}x_{3}^{2}}{\color {Green}x_{2}^{2}}{\color {red}x_{1}^{2}}+{\color {blue}3x_{3}}+{\color {Green}3x_{2}}+{\color {red}3x_{1}}\end{aligned}}$

• 一個非對稱多項式

${\begin{aligned}P({\color {red}x_{1}},{\color {Green}x_{2}},{\color {blue}x_{3}})&={\color {red}x_{1}}+{\color {Green}x_{2}}-{\color {blue}x_{3}}\\[5pt]&\neq {\color {red}x_{1}}+{\color {blue}x_{3}}-{\color {Green}x_{2}}\\[5pt]&\neq {\color {Green}x_{2}}+{\color {red}x_{1}}-{\color {blue}x_{3}}\\[5pt]&\neq {\color {Green}x_{2}}+{\color {blue}x_{3}}-{\color {red}x_{1}}\\[5pt]&\neq {\color {blue}x_{3}}+{\color {red}x_{1}}-{\color {Green}x_{2}}\\[5pt]&\neq {\color {blue}x_{3}}+{\color {Green}x_{2}}-{\color {red}x_{1}}\end{aligned}}$

性質

• 對稱多項式的和與積也是對稱多項式。
  
• 設 $F$ 是變數 $Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ 的多項式，設 $G_{1},\ldots ,G_{m}$ 是變數 $X_{1},\ldots ,X_{n}$ 的對稱多項式。

那麼 $F({\vec {G}}{}^{m}({\vec {X}}{}^{n}))$ 在變數 $X_{1},\ldots ,X_{n}$ 中也是對稱的。

證明

• 這由定義 2 中的性質和上面對稱多項式的定義得出。
• 根據定義，我們得到

${\begin{aligned}\sigma {\bigl (}F({\vec {G}}{}^{m}({\vec {X}}{}^{n})){\bigr )}&=\sigma {\bigl (}F(G_{1}({\vec {X}}{}^{n}),\ldots ,G_{m}({\vec {X}}{}^{n})){\bigr )}\\[5pt]&=F{\bigl (}\sigma (G_{1}({\vec {X}}{}^{n})),\ldots ,\sigma (G_{m}({\vec {X}}{}^{n})){\bigr )}\\[5pt]&=F{\bigl (}G_{1}({\vec {X}}{}^{n}),\ldots ,G_{m}({\vec {X}}{}^{n}){\bigr )}\\[5pt]&=F({\vec {G}}{}^{m}({\vec {X}}{}^{n}))\end{aligned}}$

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