數學著名定理/π 是超越數/基本對稱多項式

設有一個 n 次多項式，$n\geq 1$

$P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\in \mathbb {C} [z]$

根據代數基本定理，它有 $n$ 個復根（包含重根）。然後我們可以寫成

$P(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots (z-z_{n})$

眾所周知，韋達定理 聯絡了多項式的係數和根

${\begin{cases}z_{1}+z_{2}+\cdots +z_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}+\cdots +z_{1}z_{n})+(z_{2}z_{3}+z_{2}z_{4}+\cdots +z_{2}z_{n})+\cdots +z_{n-1}z_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\(z_{1}z_{2}z_{3}+\cdots +z_{1}z_{2}z_{n})+(z_{1}z_{3}z_{4}+\cdots +z_{1}z_{3}z_{n})+\cdots +(z_{2}z_{3}z_{4}+\cdots +z_{2}z_{n-1}z_{n})+\cdots +z_{n-2}z_{n-1}z_{n}=-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}\\\vdots \\z_{1}\cdots z_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}$

我們可以看到，這些和是對稱多項式，被稱為基本對稱多項式。

定義

變數$X_{1},\ldots ,X_{n}$上的基本對稱多項式定義如下

${\begin{aligned}E_{1}({\vec {X}}{}^{n})&=\sum _{1\leq i\leq n}X_{i}\\[5pt]E_{2}({\vec {X}}{}^{n})&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\!\!\!\!X_{i_{1}}X_{i_{2}}\\&\,\,\,\vdots \\[5pt]E_{k}({\vec {X}}{}^{n})&=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}\!\!\!\!\!\!X_{i_{1}}\!\cdots X_{i_{k}}\\&\,\,\,\vdots \\[5pt]E_{n}({\vec {X}}{}^{n})&=X_{1}\!\cdots X_{n}\end{aligned}}$

←對稱多項式

基本對稱多項式

對稱多項式的基本定理→