數學/代數/線性變換中的著名定理

特徵空間引理

線性變換A的所有對應於特徵值λ的特徵向量在L中構成一個子空間L^(λ)。

希洛夫（1969）的證明

事實上，如果Ax₁ = λx₁，並且Ax₂ = λx₂，那麼

A(αx₁ + βx₂) = αAx₁ + βAx₂ = αλx₁ + βλx₂ = λ (αx₁ + βx₂)

由此，引理中的結論得證。

特徵向量線性無關的引理

線性變換A的特徵向量x₁, x₂, ... , x_n，其相應的特徵值λ₁, λ₂, ... , λ_n兩兩不同，是線性無關的。

希洛夫（1969）的證明

該結論透過對數字n進行歸納法證明。顯然，對於n = 1，該引理成立。假設該引理對於線性變換A的所有n – 1個特徵值成立；現在需要證明它對於線性變換A的所有n個特徵向量成立。假設線性變換A的n個特徵向量的線性組合為0

α₁x₁ + α₂x₂ + ... + α_nx_n = 0。

對該恆等式應用變換A，得到

α₁λ₁x₁ + α₂λ₂x₂ + ... + α_nλ_nx_n = 0。

將第一個方程乘以λ_n，然後從第二個方程中減去，得到

α₁(λ₁ – λ_n)x₁ + α₂(λ₂ – λ_n)x₂ + ... + α_{n – 1}(λ_{n – 1} – λ_n)x_{n – 1} = 0,

根據歸納法，所有係數必須為零。不同的特徵值具有非零的差值，因此對於i < n，每個α_i = 0；第一個方程簡化為

α_nx_n = 0

這意味著α_n也為0。因此，所有係數α_i均為0。因此，向量x₁, x₂, ..., x_n是線性無關的。