數學/代數/矩陣論著名定理

矩陣的組織

一個 m×n 矩陣 M 是一個函式 $M:A\rightarrow F$，其中 A = {1,2...m} × {1,2...n}，而 F 是正在考慮的域。

一個 m×n 矩陣（讀作 m 行 n 列矩陣），通常寫成

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

有關其他相關定義，請參閱此連結。

基本證明

1. 所有 m×n 矩陣的集合在矩陣加法下構成一個阿貝爾群。

證明：顯然，兩個 m×n 矩陣的和是另一個 m×n 矩陣。如果 A 和 B 是兩個相同階的矩陣，那麼根據它們的 (i,j) 元素，我們有 $(A+B)_{i,j}=(A_{i,j})+(B_{i,j})=(B_{i,j})+(A_{i,j})=(B+A)_{i,j}$，這證明了 A+B = B+A，即交換律。對於結合律，我們用類似的方法進行，這樣 A + (B + C) = (A + B) + C。此外，所有元素都為零的 m×n 矩陣是加法單位元。對於每個矩陣 A，矩陣 -A 的 (i,j) 元素為 $-A_{i,j}$ 是逆元。因此，相同階的矩陣在加法下構成一個阿貝爾群。

2. 標量乘法具有以下性質：

1. 左分配律：(α+β)A = αA+βA。

2. 右分配律：α(A+B) = αA+αB。

3. 結合律：(αβ)A=α(βA))。

4. 1A = A。

5. 0A= 0。

6. (-1)A = -A。

(0,1,-1,α & β 是標量；A & B 是相同階的矩陣，0 是零矩陣。)

證明：從 (1) 的左邊開始。我們將根據 (i,j) 元素進行運算。顯然 $((\alpha +\beta )A)_{i,j}=(\alpha +\beta )\cdot A_{i,j}=(\alpha A)_{i,j}+(\beta A)_{i,j}$，因此 (1) 得證。類似地，可以證明 (2)。結合律如下：$((\alpha \beta )A)_{i,j}=(\alpha \beta )\cdot A_{i,j}=\alpha (\beta A_{i,j})$。(4)、(5) 和 (6) 直接從定義得出。

3. 矩陣乘法具有以下性質：

1. 結合律：A(BC) = (AB)C。

2. 左分配律：A(B+C) = AB+AC。

3. 右分配律：(A+B)C = AC+BC。

4. IA = A = AI。

5. α(BC) = (αB)C = B(αC)。

(α 是標量；A、B & C 是矩陣，I 是單位矩陣。A、B、C & I 的階數分別為 m×n、n×p、p×r 和 m×m。)

證明：我們考慮 (i,j) 元素並僅證明 (1)。其餘證明類似。現在 $(A(BC))_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}A_{i,k}(BC)_{k,j}=\sum _{k=1}^{n}A_{i,k}{\Big (}\sum _{l=1}^{p}B_{k,l}C_{l,j}{\Big )}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{p}A_{i,k}B_{k,l}C_{l,j}$，以及 $((AB)C)_{i,j}=\sum _{l=1}^{p}(AB)_{i,l}C_{l,j}=\sum _{l=1}^{p}{\Big (}\sum _{k=1}^{n}A_{i,k}B_{k,l}{\Big )}C_{l,j}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{p}A_{i,k}B_{k,l}C_{l,j}$，因此兩邊的 (i,j) 元素相等。

4. 設 A 和 B 為 m×n 矩陣。則：

(i) $(kA)^{T}$ = $kA^{T}$

(ii) $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

(iii) $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$

證明草圖：如同之前的證明，考慮 (i,j) 元素。

5. 任何線性方程組要麼無解，要麼恰好有一個解，要麼有無窮多個解。

證明：假設線性方程組 Ax = b 有兩個不同的解 X 和 Y。然後令 Z = X - Y。顯然 Z 不為零，並且 A(X + kZ) = AX + kAZ = b + k(AX - AY) = b + k(b - b) = b，因此對於 k 的任何取值，X + kZ 都是該方程組的解。由於 k 可以取無窮多個值，因此顯然我們有無窮多個解。

6. 任何滿足 $AA^{T}=A^{T}A$ 的三角矩陣 A 是對角矩陣。

證明：假設 A 是下三角矩陣。現在 $AA^{T}$ 的第 (i,i) 個元素由 $\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k})(A_{k,i}^{T})=\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k})(A_{i,k})=\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k}^{2})=\sum _{k=1}^{i}(A_{i,k}^{2})$ 給出。同樣，$A^{T}A$ 的第 (i,i) 個元素由 $\sum _{k=1}^{n}(A_{i,k}^{T})(A_{k,i})=\sum _{k=1}^{n}(A_{k,i})(A_{k,i})=\sum _{k=1}^{n}(A_{k,i}^{2})=\sum _{k=i}^{n}(A_{k,i}^{2})$ 給出。現在由於 $AA^{T}=A^{T}A$，所以 $\sum _{k=1}^{i}(A_{i,k}^{2})=\sum _{k=i}^{n}(A_{k,i}^{2})$，並且由於可以從兩邊減去 $A_{i,i}^{2}$，我們得到 $\sum _{k=1}^{i-1}(A_{i,k}^{2})=\sum _{k=i+1}^{n}(A_{k,i}^{2})$。

現在如果 i = 1，那麼我們有$0=A_{2,1}^{2}+A_{3,1}^{2}\cdots A_{n,1}^{2}$，這給了我們$A_{2,1}=A_{3,1}\cdots A_{n,1}=0$。類似地，對於 i = 2，我們有$0=A_{2,1}^{2}=A_{3,2}^{2}+A_{4,2}^{2}\cdots A_{n,2}^{2}$，因此$A_{3,2}=A_{4,2}\cdots A_{n,2}=0$。現在很清楚，以這種方式，矩陣 A 中所有非對角線元素都可以證明為零。上三角矩陣的證明與此類似。