數學/數論著名定理
< 數學著名定理
數論是純粹數學的一個分支，它處理整數和一般數字的性質，以及從其研究中產生的各種問題。
請參見《數論》一書，以獲取詳細的介紹。
在初等數論中，整數是在不使用其他數學領域的技巧的情況下進行研究的。這裡屬於可除性問題、使用歐幾里得演算法計算最大公約數、整數分解為素數、完美數的研究以及同餘式。該領域的一些重要發現是費馬小定理、尤拉定理、中國剩餘定理和二次互反律。諸如莫比烏斯函式、尤拉φ函式、整數序列、階乘和斐波那契數等乘法函式的性質也屬於這一領域。
數論中的許多問題可以用初等數論術語來表達，但它們可能需要非常深入的思考和初等數論範圍之外的新方法來解決。
| 主題名稱 | 子主題 |
| 可除性 | 基本結果、除法演算法、最大公約數、歐幾里得演算法、最小公倍數、素數、算術基本定理、二項式定理 |
| 同餘式 | 基本結果、費馬小定理、尤拉定理、威爾遜定理、同餘式的解、中國剩餘定理 |
| 二次互反 | 基本結果、高斯引理、二次互反律 |
| 數論函式 | 最大整數函式、德·波利尼亞克公式、算術函式、莫比烏斯反演公式 |
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代數數論是數論的一個分支，其中數的概念擴充套件到代數數，它是具有有理係數的多項式的根。代數數域是任何有理數的有限（因此是代數）域擴充套件。這些域包含類似於整數的元素，即所謂的代數整數。在這種情況下，整數的熟悉特徵（例如唯一分解）可能不成立。所用機制的優點——伽羅瓦理論、群上同調、類域論、群表示和 L 函式——在於它允許人們為這新類別的數字部分恢復這種秩序。
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解析數論是數論的一個分支，它使用數學分析的方法來證明數論中的定理。它的主要證明包括狄利克雷關於算術級數定理的證明，該定理表明算術級數 a + nb（其中 a 和 b 互素）中存在無窮多個素數。基於黎曼ζ函式對素數定理的證明是另一個重要的證明。
該主題的概述與 1930 年代該主題的鼎盛時期相似。乘法數論處理素數的分佈，應用狄利克雷級數作為生成函式。
參見 離散數學/解析數論。