數學/數論/費馬小定理著名定理

陳述

如果p是素數，對於所有整數a≠0，

$a^{p-1}\equiv 1\mod {p}$

證明

費馬小定理有許多證明。

證明 1（雙射）

定義一個函式 $f(x)=ax$ (mod p)。令S={1,2,...,p-1}和T=f(S)={a,2a,...,(p-1)a}。我們斷言這兩個集合在模p下是相同的。

由於所有不等於 0 的整數在模p下都有逆，對於任何整數m，其中 1≤m<p，$f(a^{-1}m)=m$。然後$f$是滿射。

此外，如果$f(x)=f(y)$，那麼$ax\equiv ay$ 且 $a^{-1}ax\equiv x\equiv y\equiv a^{-1}ay$。然後$f$是單射，並且是S和T之間的雙射。

然後，在模p下，S中所有元素的乘積將等於T中元素的乘積，這意味著

$\prod _{k=1}^{p-1}k\equiv \prod _{k=1}^{p-1}ak{\pmod {p}}$ 且

$\prod _{k=1}^{p-1}k\equiv a^{p-1}\prod _{k=1}^{p-1}k{\pmod {p}}$.

然後

$a^{p-1}\equiv 1\mod {p}$.