形式邏輯/謂詞邏輯/非正式約定

← 自由變數和約束變數

↑ 謂詞邏輯

模型 →

非正式約定

我們的謂詞語言，${\mathcal {L_{P}}}\,\!$，類似於${\mathcal {L_{S}}}\,\!$，很笨拙，也很難閱讀。上標和下標很讓人分心，而且括號比需要的多。和命題邏輯一樣，我們將非正式地使用簡化的變體。然而，官方語言仍然用於定義和其他形式。大多數生成非正式變體的規則，你都從命題邏輯中熟悉了。

轉換規則

我們建立官方${\mathcal {L_{P}}}\,\!$公式的非正式變體，如下所示。示例是累積的。

• 如果下標是'0'，我們將其刪除。因此，我們寫$a^{2}\,\!$而不是$a_{0}^{2}\,\!$，並且寫$\mathrm {F^{3}} \,\!$而不是$\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$。然而，我們不能從$\mathrm {F_{1}^{0}} \,\!$中刪除下標。

• 官方語法要求運算子字母和謂詞字母具有表示位置數的上標。例如，$a_{0}^{2}\,\!$是一個二元運算子字母，$\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$是一個三元謂詞字母。在大多數情況下，我們可以刪除上標，並讓上下文顯示位置數。例如，我們可以寫

$a(x,y)\,\!$

在這裡，我們從上下文觀察到運算子字母有兩個位置，因此我們可以理解$a\,\!$是$a_{0}^{2}\,\!$的非正式變體。類似地，我們從上下文觀察到謂詞字母在

$\mathrm {F} (x,y,z)\ .\,\!$

有三個位置。這使得$\mathrm {F} \,\!$，在本例中使用，是$\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$的非正式變體。這種約定假設我們的${\mathcal {L_{P}}}\,\!$在語法上是正確的。一般來說，我們將避免使用語法錯誤的表示式。我們還將盡量避免使用，例如，$\mathrm {F_{0}^{1}} \,\!$ 和 $\mathrm {F_{0}^{3}} \,\!$ 在臨近的位置。否則，它們的非正式變體會導致混淆。

• 我們將省略最外層的括號。例如，我們將寫

$\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (y)\,\!$

而不是

$(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (y_{0}))\ .\,\!$

• 我們將讓一系列相同的二元連線詞在右側關聯。例如，我們可以將官方的

$(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land (\mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0})))\,\!$

轉換為非正式的

$\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\land \mathrm {H} (x)\ .\,\!$

但是，對於

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\land \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0}))\,\!$

是

$(\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\land \mathrm {H} (x)\ .\,\!$

• 我們將使用優先順序排序，儘可能省略內部括號。例如，我們將認為$\rightarrow \,\!$ 的優先順序（範圍）低於 $\lor \,\!$。這使我們能夠寫成

$\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\lor \mathrm {H} (x)\,\!$

而不是

$(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow (\mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0})\lor \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0})))\ .\,\!$

但是，我們不能從

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor \mathrm {H_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

我們對這個後一個公式的非正式變體是

$(\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\lor \mathrm {H} (x)\ .\,\!$

優先順序和範圍

優先順序排名指示了我們評估語句連線詞和量詞短語的順序。 $\lor \,\!$ 的優先順序高於 $\rightarrow \,\!$。 因此，在評估

$(1)\quad \mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\lor \mathrm {H} (x)\ ,\,\!$

時，我們首先評估

$(2)\quad \mathrm {G} (x)\lor \mathrm {H} (x)\,\!$

。 範圍是指受連線詞支配的表示式的長度。 $\rightarrow \,\!$ 在 (1) 中的出現範圍比 $\lor \,\!$ 在 (1) 中的出現範圍更廣。 因此，$\rightarrow \,\!$ 在 (1) 中的出現支配著整個句子，而 $\lor \,\!$ 在 (1) 中的出現僅支配 (1) 中 (2) 的出現。

從最高優先順序（最窄範圍）到最低優先順序（最廣範圍）的完整排名為

	$\lnot ,\ \forall x,\ \exists x\,\!$		最高優先順序（最窄範圍）
	$\land \,\!$
	$\lor \,\!$
	$\rightarrow \,\!$
	$\leftrightarrow \,\!$		最低優先順序（最廣範圍）

量詞短語與否定符號具有相同的優先順序。

示例

以下示例是謂詞邏輯變體，與句子邏輯 非正式約定 頁面中的示例相對應。 首先，

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\leftrightarrow ((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor ((\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor (\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \lnot \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))))\,\!$

可以非正式地寫成

$\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\leftrightarrow \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\lor \lnot \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\lor \lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x)\ .\,\!$

第二，

$((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\leftrightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\leftrightarrow ((\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\lor (\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \lnot \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))))\,\!$

可以非正式地寫成

$(\mathrm {F} (x)\leftrightarrow \mathrm {G} (x))\leftrightarrow \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\lor \lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x)\ .\,\!$

一些不必要的括號可能會有幫助。在上面的兩個例子中，非正式的變體可能更容易讀懂，如下所示：

$(\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\leftrightarrow (\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\lor (\lnot \mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\lor (\lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x))\,\!$

和

$(\mathrm {F} (x)\leftrightarrow \mathrm {G} (x))\leftrightarrow (\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\lor (\lnot \mathrm {F} (x)\land \lnot \mathrm {G} (x))\ .\,\!$

請注意，非正式公式

$\lnot \mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\,\!$

$\forall x\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x)\,\!$

$\exists x\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x)\,\!$

恢復到其正式形式為

$(\lnot \mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$(\forall x_{0}\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$(\exists x_{0}\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

相比之下，非正式公式

$\lnot (\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\,\!$

$\forall x(\mathrm {F} (x)\rightarrow \mathrm {G} (x))\,\!$

$\exists x(\mathrm {F} (x)\land \mathrm {G} (x))\,\!$

被還原為其官方形式

$\lnot (\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$\forall x_{0}(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\rightarrow \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$

$\exists x_{0}(\mathrm {F_{0}^{1}} (x_{0})\land \mathrm {G_{0}^{1}} (x_{0}))\ .\,\!$