形式邏輯/命題邏輯/非正式約定

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非正式約定

在命題語言中，我們對命題語言進行了非正式描述，即${\mathcal {L_{S}}}\,\!$。我們也已經給出了${\mathcal {L_{S}}}\,\!$的形式語法。我們正式的語法產生了大量的括號。這使得形式定義和其他規範更容易編寫，但它使得語言使用起來相當笨拙。此外，所有下標和上標很快就會變得不必要地乏味。最終結果是一種醜陋且難以閱讀的語言。

我們將繼續使用正式語法來指定形式主義。但是，我們將非正式地使用一種不太笨拙的變體來用於其他目的。以下轉換規則將${\mathcal {L_{S}}}\,\!$的正式公式轉換為我們的非正式變體。

轉換規則

我們按照如下方式建立正式${\mathcal {L_{S}}}\,\!$公式的非正式變體。示例是累積的。

• 正式語法要求句子字母具有上標“0”。上標在進入謂詞邏輯之前不是必需的，甚至沒有用，因此我們將在我們的非正式變體中始終省略它們。例如，我們將寫$\mathrm {P_{0}} \,\!$，而不是$\mathrm {P_{0}^{0}} \,\!$。

• 如果下標是“0”，我們將省略它。因此，我們將寫$\mathrm {P} \,\!$，而不是$\mathrm {P_{0}^{0}} \,\!$。但是，我們不能省略所有下標；我們仍然需要寫，例如，$\mathrm {P_{1}} \,\!$。

• 我們將省略最外層的括號。例如，我們將寫

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

而不是

$(\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\ .\,\!$

• 我們將讓一系列相同的二元連線詞在右側關聯。例如，我們可以將官方的

$(\mathrm {P_{0}^{0}} \land (\mathrm {Q_{0}^{0}} \land \mathrm {R_{0}^{0}} ))\,\!$

轉換為非正式的

$\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \land \mathrm {R} \ .\,\!$

然而，對於

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\land \mathrm {R^{0}} )\,\!$

我們能做的最好的就是

$(\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\land \mathrm {R} \ .\,\!$

• 我們將使用優先順序排序來儘可能省略內部括號。例如，我們將認為 $\rightarrow \,\!$ 的優先順序低於 $\lor \,\!$。這允許我們寫成

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \,\!$

而不是

$(\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow (\mathrm {Q_{0}^{0}} \lor \mathrm {R_{0}^{0}} ))\ .\,\!$

但是，我們不能從

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor \mathrm {R_{0}^{0}} )\ .\,\!$

中移除內部括號。我們這個後一個公式的非正式變體是

$(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\lor \mathrm {R} \ .\,\!$

以下是完整的優先順序排名。

優先順序和範圍

優先順序排名指示我們評估命題連線詞的順序。 $\lor \,\!$ 的優先順序高於 $\rightarrow \,\!$。 因此，在計算

$(1)\quad \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \ ,\,\!$

的真值時，我們首先評估

$(2)\quad \mathrm {Q} \lor \mathrm {R} \,\!$

的真值。 範圍是指連線詞所支配的表示式的長度。 (1) 中 $\rightarrow \,\!$ 的出現範圍比 (1) 中 $\lor \,\!$ 的出現範圍更廣。 因此，(1) 中 $\rightarrow \,\!$ 支配整個句子，而 (1) 中 $\lor \,\!$ 只支配 (1) 中 (2) 的出現。

從最高優先順序（最窄範圍）到最低優先順序（最廣範圍）的完整排名如下：

	$\lnot \,\!$		最高優先順序（最窄範圍）
	$\land \,\!$
	$\lor \,\!$
	$\rightarrow \,\!$
	$\leftrightarrow \,\!$		最低優先順序（最廣範圍）

示例

讓我們看一些示例。 首先，

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\leftrightarrow ((\mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor ((\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor (\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \land \lnot \mathrm {Q_{0}^{0}} ))))\,\!$

可以非正式地寫成

$\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \leftrightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \lor \lnot \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \lor \lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \ .\,\!$

其次，

$((\mathrm {P_{0}^{0}} \leftrightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\leftrightarrow ((\mathrm {P_{0}^{0}} \land \mathrm {Q_{0}^{0}} )\lor (\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \land \lnot \mathrm {Q_{0}^{0}} )))\,\!$

可以非正式地寫成

$(\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow \mathrm {P} \land \mathrm {Q} \lor \lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} \ .\,\!$

一些不必要的括號可能會有所幫助。在上面的兩個示例中，非正式的變體可能更容易閱讀，如

$(\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\lnot \mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\,\!$

以及

$(\mathrm {P} \leftrightarrow \mathrm {Q} )\leftrightarrow (\mathrm {P} \land \mathrm {Q} )\lor (\lnot \mathrm {P} \land \lnot \mathrm {Q} )\ .\,\!$

注意，非正式公式

$\lnot \mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} \,\!$

恢復為其正式形式，如

$(\lnot \mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\ .\,\!$

相比之下，非正式公式

$\lnot (\mathrm {P} \rightarrow \mathrm {Q} )\,\!$

恢復為其正式形式，如

$\lnot (\mathrm {P_{0}^{0}} \rightarrow \mathrm {Q_{0}^{0}} )\ .\,\!$

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