英語語法對於“狗叫”規定它由一個複數名詞後接一個不及物動片語成。英語語義對於“狗叫”規定了它的意義，即狗叫。
在命題語言中，我們對
給出了一個非正式描述。我們也給出了形式語法。然而，此時我們的語言只是一個玩具，一組我們可以像串珠一樣串在一起的符號。我們確實有關於這些符號如何排序的規則。但是，在此時這些規則可能就像美學規則一樣。良構公式和不良構表示式之間的區別，與漂亮項鍊和醜陋項鍊之間的區別並沒有太大區別。為了使我們的語言有意義，能夠用於說些什麼，我們需要一個形式語義。
任何給定的形式語言都可以與任意多個競爭語義規則集配對。我們這裡定義的語義是現代邏輯中常用的語義。然而，也有人提出了其他語義規則集。 的其他語義規則集包括（但絕不限於）直覺主義邏輯、相關邏輯、非單調邏輯和多值邏輯。
諸如這樣的形式語言的形式語義分為兩部分。
- 指定解釋的規則。解釋將語義值分配給形式語法的非邏輯符號。形式語言的語義將指定哪些範圍的值可以分配給哪些類別的非邏輯符號。 只有一類非邏輯符號，所以這裡的規則特別簡單。命題語言的解釋是賦值，即對命題字母進行真值賦值。在謂詞邏輯中，我們將遇到除賦值之外還包含其他元素的解釋。
- 將語義值分配給語言中較大的表示式的規則。對於命題邏輯，這些規則根據分配給較小公式的真值，將真值分配給較大的公式。對於更復雜的語法（例如謂詞邏輯），值的分配方式更為複雜。
擴充套件賦值根據賦值，將真值分配給（或類似的命題語言）的分子公式。對命題字母的賦值透過一組規則擴充套件到涵蓋所有公式。
我們可以給出（部分）賦值 
如下
(請記住，我們透過省略上標來縮寫句子字母。)
通常，我們只對少數句子字母的真值感興趣。分配給其他句子字母的真值可以是隨機的。
鑑於此賦值，我們說
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{0}} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebced4e093fec5549c19e71009bbfe61150bcb32)
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{1}} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3abfe7bf710089ee4a80f78e285d70c5e2ac288)
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{2}} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421c4ef2a1afc19e7f41c997a4c24a8d16ae5df1)
![{\displaystyle {\mathfrak {v}}[\mathrm {P_{3}} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d825606df7242317bd0a3a3ded2cde67c2c0e41b)
事實上，我們可以將賦值定義為一個函式，該函式以句子字母為引數，以真值為值（因此得名“真值”。請注意， 對於句子字母沒有固定的解釋或賦值。相反，我們為臨時使用指定解釋。
擴充套件解釋在給定解釋的情況下生成更長句子的真值。對於命題邏輯，解釋是賦值，因此擴充套件解釋是擴充套件賦值。我們定義賦值 的擴充套件 
如下所示。
對於所有句子字母 
和 
來自 
![{\displaystyle {\mbox{i.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mathfrak {v}}[\varphi ].\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5501c945370a112d0e38c8d7c98fbd1957a0b2fd)
![{\displaystyle {\mbox{ii.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[\lnot \varphi ]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{False}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise (i.e., if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{True).}}\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d273839318730f629b864f7ee2b347b77a3d6d18)
![{\displaystyle {\mbox{iii.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \land \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ]={\mbox{True}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beee36cb5bd2db11eba8ff28102b09ab55455d54)
![{\displaystyle {\mbox{iv.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \lor \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{True}}\ {\mbox{or}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ]={\mbox{True}}\ {\mbox{(or both)}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f77ad1978590950a29bfe27fb9eb4961336aba1e)
![{\displaystyle {\mbox{v.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \rightarrow \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\mbox{False}}\ \ {\mbox{or}}\ \ {\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ]={\mbox{True}}\ \ {\mbox{(or both)}};\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58609bb31fc2cf95154d2548c4186fc7b32222a83)
![{\displaystyle {\mbox{vi.}}\quad {\overline {\mathfrak {v}}}[(\varphi \leftrightarrow \psi )]\ =\ {\begin{cases}{\mbox{True}}&{\mbox{if}}\ {\overline {\mathfrak {v}}}[\varphi ]={\overline {\mathfrak {v}}}[\psi ];\\{\mbox{False}}&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c7992cb4fd370092b7de8c79b88af3968e0ec08)
我們將確定這個示例句子在兩種賦值下的真值。
首先，考慮以下賦值
(2) 根據條款 (i)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cdb69761b884faa72b30db3cff8fc4a327856f)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0efa7a915fac7ef962d0f2f6ccb28929c35307)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {R} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec51568f30e8f378d378aff08b4e904288acc51c)
(3) 根據 (1) 和條款 (iii)，
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{True}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11cae0180cab0f6442791354b034e77a9fb6aebb)
(4) 根據(1)和條款(iv),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} ]\ =\ {\mbox{True}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a210367b901f58d46e5dc0bfa02614aed0e4a5cf)
(5) 根據(4)和條款(v),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )]\ =\ {\mbox{False}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c3679ea35b0aaa6a8d6f46967b89f9d120ef0b)
(6) 根據(3)、(5)和條款(v),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )]\ =\ {\mbox{False}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254c7028855c2601b10b61357fa0c82fb832fae6)
因此(1)在我們的解釋中是錯誤的。
接下來，嘗試以下賦值
(7) 根據條款(i)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{False}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb1a4a71fc929b4b5978178306540fac36eefe8)
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {R} ]\ =\ {\mbox{True}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1abbcf46ce1162c387f473031daa2f15c5f4be6)
(8) 根據(7)和條款(iii),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} ]\ =\ {\mbox{False}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7537741c53cf4db9db28ae3f3938c7dae033f2e)
(9) 根據(7)和條款(iv),
(10) 根據(9)和條款(v),
(11) 根據(8)、(10)和條款(v),
![{\displaystyle {\overline {\mathfrak {v}}}[\mathrm {P} \land \mathrm {Q} \rightarrow \lnot (\mathrm {Q} \lor \mathrm {R} )]\ =\ {\mbox{True}}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0856841a0bf2fec31c009819a0109c99900644)
因此，在第二種解釋中，（1）為真。注意，這次我們做的工作比必要的要多一些。根據條款 (v)，(8) 足以證明 (1) 為真。
