分形/複平面迭代/曼德勃羅集/中心

名稱 (同義詞)

曼德勃羅集的雙曲分量的中心
Mu原子的核 ^[1]

定義

中心是一個雙曲分量 H 的引數 $c_{0}\in H\,$ (或引數平面的點)，使得對應的週期軌道具有乘子= 0。"^[2]

初始域

"所有 M 的任何週期的中心都包含在 M 的內部，因此圓 C = {z ∈ C: |z − 0.75| = 2} 包圍著所有中心。"
"可以利用 M 的實對稱性，只使用具有非負虛部的起點；"^[3]

週期

中心的週期 = 臨界軌道的週期 = 雙曲分量的週期

朱利亞集

它是繪製朱利亞集最簡單的情況。

動力學平面由兩個超吸引盆組成

外部 (無窮大是一個超吸引不動點)
內部 (z=0 是超吸引週期點之一)

週期 33 中心

參見通用類別

曼德勃羅集元件的數量

方程

$N(p)=2^{p-1}-s$

其中

N(p) 是給定週期 p 的曼德勃羅集的所有元件的數量。
p 是週期
s 是其各個分量在小於週期 p 的週期每個因數的元件數量之和^[4]

所有值都是正整數。它是序列 A000740

Maxima CAS 中的程式

N(p) := block( 
[a:2^(p-1),f:0], 
for f in divisors(p) do 
   if f < p then a : a - N(f), 
return(a)
);

您可以執行它

for p:1 thru 50 step 1 do display(N(p));

N(1)=1
N(2)=1
N(3)=3
N(4)=6
N(5)=15
N(6)=27
N(7)=63
N(8)=120
N(9)=252
N(10)=495
N(11)=1023
N(12)=2010
N(13)=4095
N(14)=8127
N(15)=16365
N(16)=32640
N(17)=65535
N(18)=130788
N(19)=262143
N(20)=523770
N(21)=1048509
N(22)=2096127
N(23)=4194303
N(24)=8386440
N(25)=16777200
N(26)=33550335
N(27)=67108608
N(28)=134209530
N(29)=268435455
N(30)=536854005
N(31)=1073741823
N(32)=2147450880
N(33)=4294966269
N(34)=8589869055
N(35)=17179869105
N(36)=34359605280
N(37)=68719476735
N(38)=137438691327
N(39)=274877902845
N(40)=549755289480
N(41)=1099511627775
N(42)=2199022198821
N(43)=4398046511103
N(44)=8796090925050
N(45)=17592186027780
N(46)=35184367894527
N(47)=70368744177663
N(48)=140737479934080
N(49)=281474976710592
N(50)=562949936643600

或

sum(N(p),p,1,50);

結果

 1125899873221781

還有 c 程式

/*
gcc c.c -lm -Wall
./a.out
Root point between period 1 component and period 987 component  = c = 0.2500101310666710+0.0000000644946597
Internal angle (c) = 1/987
Internal radius (c) = 1.0000000000000000

*/

#include <stdio.h>
#include <math.h>		// M_PI; needs -lm also
#include <complex.h>






// numer of hyberolic components ( and it's centers ) of Mandelbrot set 
int GiveNumberOfCenters(int period){

	//int s = 0;
	int num = 1;
	
	int f; 
	int fMax = period-1; //sqrt(period); // https://stackoverflow.com/questions/11699324/algorithm-to-find-all-the-exact-divisors-of-a-given-integer
	
	
	
	if (period<1 ) {printf("input error: period should be positive integer \n"); return -1;}
	if (period==1) { return 1;}
		
	num = pow(2, period-1);
	
	// minus sum of number of center of all it's divisors (factors)
	for (f=1; f<= fMax; ++f){
	
		if (period % f==0)
			{num = num - GiveNumberOfCenters(f); }
	
	
	
	}
	
	
		
		
	


	return num ;

}


int ListNumberOfCenters(int period){

	int p=1;
	int pMax = period;
	int num=0;
	
	if (period ==1 || period==2) {printf (" for period %d there is only one component\n", period); return 0;}
	
	for (p=1; p<= pMax; ++p){
		num = GiveNumberOfCenters(p);
		printf (" for period %d there are %d components\n", p, num);
		}
		
	return 0;

}


int main (){

	int period = 15;
	
	
	
	 ListNumberOfCenters(period);

	return 0;

}

另請參見

計算主分子中的雙曲分量

如何計算中心？

方法

給定週期 $p\,$ $p\,$ 的所有中心
- 求解 $F_{p}(0,c)=0\,$ $F_{p}(0,c)=0\,$ 或 $G_{p}(0,c)=0\,$ $G_{p}(0,c)=0\,$ ^[5]
  - 以圖形形式顯示結果
  - 使用數值方法^[6]^[7]
    - “快速而骯髒”的演算法：檢查是否 $abs(z_{n})<eps$ ，則用顏色 n 給 c 點著色。這裡 n 是吸引軌道週期，eps 是吸引點周圍圓的半徑 = 數值計算的精度。
    - 找到多項式的所有根
      - 迭代細化牛頓法^[8]
      - Ehrlich-Aberth 迭代（Mpsolve^[9]）
    - 原子域
    - Myrberg 方法^[10]^[11]
  - 區間算術和分治策略^[12]
- “搜尋是使用網格的四叉樹細分進行的，這會在根密度更高的區域提高搜尋解析度。在一個搜尋區域內，首先以中等解析度繪製函式幅度的圖，然後使用 640 位定點數學細化區域性最小值點。由於乘以非常小的數字，根搜尋需要目標結果的兩倍精度。隨著根的新增，四叉樹進一步細分，搜尋繼續。由於對稱性，只搜尋上半平面。

在更高的週期，四叉樹深度被有意地限制，以減少執行時間，因為根的數量變得難以管理。” James Artherton

給定週期 $p\,$ $p\,$ ，給定點 $c\,$ $c\,$ 附近的一箇中心 $c_{p}\,$ $c_{p}\,$
- 求解 $F_{p}(0,c_{p})=0\,$ 的牛頓法的一些步驟

定義中心的方程組

雙曲分量的中心是一個引數平面的點 $c\,$ ，對於該點，週期性的 z 迴圈是超吸引的。它給出了一個定義週期為 $p\,$ 的雙曲分量的中心的兩個方程組

首先定義週期點 $z_{0}\,$ ，
其次使 $z_{0}\,$ 點超吸引。

${\begin{cases}F_{p}(z_{0},c)=z_{0}\\{\frac {df_{c}^{(p)}(z_{0})}{dz}}=0\end{cases}}$

有關詳細資訊，請參見定義。

“這些多項式具有整數係數。它們可以透過關於度的遞推關係獲得。令 Pd 為度數為 d 的多項式。我們有” ^[13]

  $P_{0}(z)=1$

  $P_{d+1}(z)=zP_{d}^{2}+1$

求解方程組

當臨界點 $z_{cr}=0\,$ 在此迴圈中時，可以求解第二個方程

$z_{0}=z_{cr}=0\,$

為了解決系統，將 $z_{0}\,$ 代入第一個方程。

定義中心的方程

得到方程：

$F_{p}(0,c)=0\,$

分量的中心是上述方程的根。

因為 $z=0\,$ ，我們可以從這些方程中去掉 z

對於週期 1：z^2+c=z 和 z=0 ，因此 $c=0$
對於週期 2： (z^2+c)^2 +c =z 和 z=0 ，因此 $c^{2}+c=0$
對於週期 3： ((z^2+c)^2 +c)^2 +c = z 和 z=0 ，因此 $(c^{2}+c)^{2}+c=0$

以下是計算上述函式的 Maxima 函式：

P[n]:=if n=1 then c else P[n-1]^2+c;

簡化後的定義中心方程

上述方程的根集包含週期為 p 及其因數的中心的集合。這是因為

$F_{p}(0,c)=\prod _{m|p}G_{m}(0,c)\,$

其中

$G\,$ = 格利森週期為 m 的多項式 ^[14] = $F_{p}\,$ 的不可約因式 ^[15] ^[16] ^[1]
使用迭代乘法的大寫 Pi 符號
$m|p\,$ 在這裡的意思是：對於所有 $p\,$ 的因數（從 1 到 p）。參見因數表。

例如：

$F_{1}=c=G_{1}\,$

$F_{2}=c*(c+1)=G_{1}*G_{2}\,$

$F_{3}=c*(c^{3}+2*c^{2}+c+1)=G_{1}*G_{3}\,$

$F_{4}=c*(c+1)*(c^{6}+3*c^{5}+3*c^{4}+3*c^{3}+2*c^{2}+1)=G_{1}*G_{2}*G_{4}\,$

因此，可以使用以下方法找到不可約多項式

$G_{p}(0,c)={\frac {F_{p}(0,c)}{\prod _{m|p,m<p}G_{m}(0,c)}}\,$

這是用於計算 $G\,$ 的 Maxima 函式

GiveG[p]:=
block(
[f:divisors(p),
t:1], /* t is temporary variable = product of Gn for (divisors of p) other than p */
f:delete(p,f), /* delete p from list of divisors */
if p=1
then return(Fn(p,0,c)),
for i in f do t:t*GiveG[i],
g: Fn(p,0,c)/t,
return(ratsimp(g))
)$

以下是週期為 1 到 10 的 $F\,$ 和 $G\,$ 的階數表，以及計算這些函式的係數所需的精度（只要使用未展開的形式 $(\ldots (c^{2}+c)^{2}+c\ldots )^{2}+c$ 進行運算，根就可以用更低的精度來計算）。

週期 $p\,$	$\deg(F_{p}(0,c))\,$	$\deg(G_{p}(0,c))\,$	$fpprec\,$
1	1	1	16
2	2	1	16
3	4	3	16
4	8	6	16
5	16	15	16
6	32	27	16
7	64	63	32
8	128	120	64
9	256	252	128
10	512	495	300
11	1024	1023	600

這裡

fpprec 是 bigfloat 數值的算術運算中有效的小數位數^[17]

以下是最大系數表。

週期 $p\,$	$log10(gc_{p})\,$	$gc_{p}\,$
1	0	1
2	0	1
3	1	2
4	1	3
5	3	116
6	4	5892
7	11	17999433372
8	21	106250977507865123996
9	44	16793767022807396063419059642469257036652437
10	86	86283684091087378792197424215901018542592662739248420412325877158692469321558575676264
11	179	307954157519416310480198744646044941023074672212201592336666825190665221680585174032224052483643672228833833882969097257874618885560816937172481027939807172551469349507844122611544

精度可以估算為大於最大系數 $log_{2}(gc)\,$ 的二進位制形式的大小

 $fpprec>log_{2}(gc)\,$

週期 $p\,$	$\deg(G_{p}(0,c))\,$	$\log _{2}(gc_{p})\,$	$fpprec\,$
1	1	1	16
2	1	1	16
3	3	2	16
4	6	2	16
5	15	7	16
6	27	13	16
7	63	34	32
8	120	67	64
9	252	144	128
10	495	286	300
11	1023	596	600

以下是 Maxima 程式碼，用於計算 $gc\,$

period_Max:11;
/* ----------------- definitions -------------------------------*/
/* basic function  = monic and centered complex quadratic polynomial 
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_quadratic_polynomial
*/
f(z,c):=z*z+c $
/* iterated function */
fn(n, z, c) :=
 if n=1 	then f(z,c)
 else f(fn(n-1, z, c),c) $
/* roots of Fn are periodic point of  fn function */
Fn(n,z,c):=fn(n, z, c)-z $
/* gives irreducible divisors of polynomial Fn[p,z=0,c] */
GiveG[p]:=
block(
[f:divisors(p),t:1],
g,
f:delete(p,f),
if p=1 
then return(Fn(p,0,c)),
for i in f do t:t*GiveG[i],
g: Fn(p,0,c)/t,  
return(ratsimp(g))
 )$
/* degree of function */
GiveDegree(_function,_var):=hipow(expand(_function),_var);  
log10(x) := log(x)/log(10);
/* ------------------------------*/
file_output_append:true; /* to append new string to file */
grind:true;  
for period:1 thru period_Max step 1 do
(
g[period]:GiveG[period], /* function g */
d[period]:GiveDegree(g[period],c), /* degree of function g */
cf[period]:makelist(coeff(g[period],c,d[period]-i),i,0,d[period]), /* list of coefficients */
cf_max[period]:apply(max, cf[period]), /* max coefficient */
disp(cf_max[period]," ",ceiling(log10(cf_max[period]))),
s:concat("period:",string(period),"  cf_max:",cf_max[period]),
stringout("max_coeff.txt",s)/* save output to file as Maxima expressions */
);

另請參見

math.stackexchange 問題：不可約因子 - 曼德布洛特多項式

尋找中心的圖形方法

所有這些方法都顯示了週期為 n 及其因子的中心。

顏色與 zn 的大小成正比

顏色與 zn 的大小成正比^[18]
引數平面掃描點 c，使得臨界點的軌道消失 ^[19]
YouTube 影片：曼德布洛特振盪 ^[20]

顏色顯示 zn 落在哪個象限

這是曼德布洛特集合外部的徑向第 n 重分解（與 LSM/M 的第 n 重分解進行比較）

使用 4 種顏色，因為有 4 個象限

re(z_n) > 0 且 im(z_n) > 0（第一象限）
re(z_n) < 0 且 im(z_n) > 0（第二象限）
re(z_n) < 0 且 im(z_n) < 0（第三象限）
re(z_n) > 0 且 im(z_n) < 0（第四象限）。

“... 當四種顏色在某個地方相遇時，你就有了 q_n(c) 的零點，即週期為 n 的因子的中心。此外，淺色或深色表示 c 是否在 M 中。”（Wolf Jung）

以下是用 C 程式碼計算點 c = cx + cy * i 的 8 位顏色的片段

/* initial value of orbit = critical point Z= 0 */
                       Zx=0.0;
                       Zy=0.0;
                       Zx2=Zx*Zx;
                       Zy2=Zy*Zy;
                       /* the same number of iterations for all points !!! */
                       for (Iteration=0;Iteration<IterationMax; Iteration++)
                       {
                           Zy=2*Zx*Zy + Cy;
                           Zx=Zx2-Zy2 +Cx;
                           Zx2=Zx*Zx;
                           Zy2=Zy*Zy;
                       };
                       /* compute  pixel color (8 bit = 1 byte) */
                       if ((Zx>0) && (Zy>0)) color[0]=0;   /* 1-st quadrant */
                       if ((Zx<0) && (Zy>0)) color[0]=10; /* 2-nd quadrant */
                       if ((Zx<0) && (Zy<0)) color[0]=20; /* 3-rd quadrant */
                       if ((Zx>0) && (Zy<0)) color[0]=30; /* 4-th quadrant */

還可以從 Wolf Jung 的程式 Mandel 原始碼的 mndlbrot.cpp 檔案中的 mndlbrot 類中的 quadrantqn 函式中找到 cpp 程式碼 ^[21]

與標準迴圈的不同之處是

沒有溢位測試（例如，對於 abs(zn) 的最大值）。這意味著每個點都有相同的迭代次數。對於較大的 n，可能會發生溢位。此外，不能使用測試 Iteration==IterationMax
迭代限制相對較小（例如，從 IterationMax = 8 開始）

另請參閱 Sage 中的程式碼 ^[22]

使用高斯波函式法 ^[23]

牛頓法

牛頓法尋找一個根

中心列表

James Artherton 發現的週期為 1-20 的中心（總和 = 1 045 239）。使用自定義軟體，採用 320 位定點數學（大約 92 位十進位制數）和網格的四叉樹細分來提高根密度較高的區域的搜尋解析度。這可以適應天線尖端的非常精細的解析度。 ^[24]
Robert P Munafo 發現的最大島嶼 ^[25] ^[26]
透過追蹤外部射線找到的所有周期不超過 16 的島嶼的資料庫（週期、島嶼性、帶角度的內部地址、下外部角度分子、分母、上分子、分母、方向、大小、中心實部、虛部） ^[27]
Jay R. Hill 計算的元件的真實中心 ^[28]
中心列表的集合 ^[29]
島嶼
madore.org/~david math/mandpoints.dat

列表

c = 0.339410819995598 -0.050668285162643 i 週期 = 11，扭曲的小曼德布洛特
c = 0.325589509550660 -0.038047880934756 i 週期 = 12，扭曲的小曼德布洛特
c = 0.314559489984000 -0.029273969079000 i 週期 = 13，扭曲的小曼德布洛特
c = 0.272149607027528 +0.005401159465460 i 週期 = 22，扭曲的小曼德布洛特 ^[30]

85 0.355534 -0.337292
134 -1.7492046334590113301 -2.8684660234660531403e-04 
268 -1.7492046334594190961 -2.8684660260955536656e-04 
272 3.060959246472445584e-01 2.374276727158354376e-02 
204 3.06095924633099439e-01 2.3742767284688944e-02 
204 3.06095924629285095e-01 2.37427672645622342e-02 
136 3.06095924643046857e-01 2.374276727237906e-02 
68 3.06095924629536442e-01 2.37427672749394494e-02 
134 -1.7492046334590114 -2.8684660234659111e-04 
267 -1.1822493706369402373694114253571e-01 6.497492977188836930425943612155e-01
268 -1.182402951560276787014475129283e-01 6.4949165134945441813936036487738e-01
18 -0.814158841137593 0.189802029306573 
32 0.2925755 -0.0149977
52 -0.22817920780250860271129306628202459167994 1.11515676722969926888221122588497247465766

程式

MPSolve

mandelbrot-solver

這是一個適用於 Ubuntu 的軟體包。一個基於 MPSolve 的曼德布洛特多項式求解器。一個多項式求根器，可以確定具有保證的包含半徑的任意精度近似值。它支援利用多項式結構，如稀疏性，並允許多項式隱式定義或以某些非標準基底定義。該二進位制檔案（作為 MPSolve 軟體包中自定義多項式實現的示例提供）利用了此多項式族體的特殊結構來開發一個高效的求解器，該求解器表現出實驗性的 O(n^2) 複雜度。

此軟體包包含 mpsolve 對曼德布洛特多項式的專門化。

示例

mandelbrot-solver
Usage: mandelbrot-solver n [starting_file]

Parameters: 
 - n is the level of the Mandelbrot polynomial to solve

 - starting_file is an optional file with the approximations that shall be 
                 use as starting points.
a@zelman:~$ mandelbrot-solver 2
 (-1.22561166876654e-01,  7.44861766619744e-01)
 (-1.75487766624669e+00,  0.00000000000000e+00)
 (-1.22561166876654e-01, -7.44861766619744e-01)
a@zelman:~$ mandelbrot-solver 1
 (-1.00000000000000e+00,  0.00000000000000e+00)
a@zelman:~$ mandelbrot-solver 3
 ( 2.82271390766914e-01,  5.30060617578525e-01)
 (-1.56520166833755e-01,  1.03224710892283e+00)
 (-1.94079980652948e+00,  1.26679600613393e-16)
 (-1.00000000000000e+00,  0.00000000000000e+00)
 (-1.31070264133683e+00, -7.22823506473338e-18)
 (-1.56520166833755e-01, -1.03224710892283e+00)
 ( 2.82271390766914e-01, -5.30060617578525e-01)

似乎

 level = period -1

然後結果就是中心。

註釋

^ 人們推測這些多項式（用於中心）是不可約的，但這尚未得到證明 - Wolf Jung

參考文獻

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