週期為 p 的拋物不動點是 p 個動態外射線的著陸點。這些射線將鄰域劃分為曲線扇區。

在主心形上

Maxima CAS 程式碼

kill(all);
remvalue(all);

DoublingMap(r):=
block([d,n],
 n:ratnumer(r),
 d:ratdenom(r),
 mod(2*n,d)/d)$

GivePeriod (r):=
block([rNew, rOld, period, pMax, p],
      pMax:100,
      period:0,
       
      p:1, 
      rNew:DoublingMap(r),
      while ((p<pMax) and notequal(rNew,r)) do
        (rOld:rNew,
         rNew:DoublingMap(rOld),
         p:p+1
        ),
      if equal(rNew,r) then period:p,
      period
);

/* f(z) is used as a global function
   I do not know how to put it as a argument */

GiveOrbit(r0,OrbitLength):=
block(
 [r,Orbit],
 r:r0,
 Orbit:[r], 
 for i:1 thru OrbitLength step 1 do
        ( r:DoublingMap(r),
          Orbit:endcons(r,Orbit)),
         
 return(sort(Orbit))

)$

compile(all);

R: 4985538889/17179869183;
p: GivePeriod(R);

orbit:GiveOrbit(R, p);

/* angles around critical point */
e1:first(orbit);
e2:last(orbit);

1/p

影片展示外部動態射線在主心形內角為 1/p 的拋物不動點上的著陸

在象谷^[1]^[2]（來自引數平面）很容易找到落在根上的射線和落在拋物不動點 z 上的動態外射線。

首先選擇內部角（= 組合旋轉數） : 1/p
計算引數射線對，尾跡的角度 : $({\frac {1}{2^{p}-1}};{\frac {2}{2^{p}-1}})$
計算動態射線的 p 個外角列表 : $({\frac {1}{2^{p}-1}}...{\frac {n}{2^{p}-1}})$

主心形的內部角	引數射線	動態射線
0/1	(0/1; 1/1)	(1/1)
1/2	(1/3; 2/3)	(1/3; 2/3)
1/3	(1/7; 2/7)	(1/7; 2/7; 4/7)
1/4	(1/15; 2/15)	(1/15; 2/15; 4/15; 8/15)
1/5	(1/31; 2/31)	(1/31; 2/31; 4/31; 8/31; 16/31)
1/6	(1/63; 2/63)	(1/63; 2/63; 4/63, 8/63, 16/33; 32/63)
1/7	(1/127; 2/127)	(1/127; 2/127; 4/127, 8/127, 16/127; 32/127; 64/127)
1/p	$({\frac {1}{2^{p}-1}};{\frac {2}{2^{p}-1}})$	$({\frac {1}{2^{p}-1}}...{\frac {n}{2^{p}-1}})$

注意

內部射線 0/1 = 1/1
內部角 1/p 表示射線從週期 1 分量（父週期 = 1）到週期 p 分量（子週期 = p）
隨著子週期的增長，計算變得更難
指數增長^[3] 的 $2^{p}$ 。人們可以很容易地建立一個數值，該數值太大而無法在可用儲存空間內表示（整數溢位^[4]）。例如， $2^{34}$ 對短整型（16 位）和長整型（32 位）來說太大了。

從週期 1 到週期 ...
1/1 = 花椰菜
$1/2 = San Marco fractal [5]$

1/2 = 聖馬可分形 ^[5]
1/3 = 杜瓦迪肥兔 ^[6]
1/4
1/5
1/7
1/10
1/15
1/20
1/30

n/p

與 1/p 的情況不同，計算拋物不動點的軌道影像^[7]並不簡單。

演算法

選擇子週期 p
計算內部角（有理數）= n/p（其中 n<p 且 n/p 是 ... (待辦)）
計算尾跡的角度
切換到動態平面 : 使用引數射線對中的一個角度（具有相同角度的射線落在拋物不動點上）來計算拋物不動點的軌道影像

計算尾跡角度的的方法

組合演算法 = 德瓦內方法
步進方法
計算外角的分母 = $2^{p}-1$
找到落在根點上的引數射線，該根點位於主心形的邊界上
- 計算週期 1-p 的所有對
- 刪除落在主心形之外的對（在 < 1/3; 2/3 > 尾跡內）
- 計算不在較低週期對內的外角對（參見右側影像）
- 選擇落在根點上的第 n 對角度

子週期 5

在所有 15 個週期 5 分量中，只有 4 個分量直接連線到主心形 ^[8]

主心形的內部角	引數 c = 根點	引數射線	動態射線
1/5		(1/31; 2/31)	(1/31; 2/31; 4/31; 8/31; 16/31)
2/5	-0.504+0.568 i	(9/31,10/31)	(5/31 , 10/31 , 20/31 , 9/31 , 18/31)
3/5		(21/31,22/31)	(11/31 , 22/31 , 13/31 , 26/31 , 21/31)
4/5		(29/31,30/31)	(15/31 , 30/31 , 29/31 , 27/31 , 23/31)

子週期 7

在所有 63 個週期 7 分量中，只有 6 個分量直接連線到主心形 ^[9]

主心形的內部角	引數射線	動態射線
1/7	(1/127; 2/127)	(1/127; 2/127; 4/127; 8/127; 16/127, 32/127, 64/127)
2/7	(17/127; 18/127)	(17/127; 34/127; 68/127; 9/127; 18/127, 36/127, 72/127)
3/7	(42/127; 43/127)	(42/127, 84/127, 82/127, 37/127, 74/127, 21/127, 42/127)
4/7	(84/127; 85/127)	(84/127, 41/127, 82/127, 37/127, 74/127, 21/127, 42/127)
5/7	(109/127; 110/127)	(109/127, 91/127, 55/127, 110/127, 93/127, 59/127, 118/127)
6/7	(125/127; 126/127)	(125/127, 123/127, 119/127, 111/127, 95/127, 63/127, 126/127)

子週期 11

主心形的內部角	引數 c = 根點	引數射線	拋物不動點 z	動態射線
1/11
5/11	-0.6900598700150440+0.2760264827846140i	(681/2047, 682/2047)	-0.4797464868072486+0.1408662784207147i	(341, 597, 661, 677, 681, 682, 1194, 1322, 1354, 1362, 1364)/2047

引數平面 t=5/11
動態平面 t=5/11

使用倍增對映的 Maxima CAS 程式碼

(%i1) m(n,d):=mod(2*n,d)/d $

(%i2) m(681,2047);
                                     1362
(%o2)                                ----
                                     2047
(%i3) m(1362,2047);
                                     677
(%o3)                                ----
                                     2047
(%i4) m(677,2047);
                                     1354
(%o4)                                ----
                                     2047
(%i5) m(1354,2047);
                                     661
(%o5)                                ----
                                     2047
(%i6) m(661,2047);
                                     1322
(%o6)                                ----
                                     2047
(%i7) m(1322,2047);
                                     597
(%o7)                                ----
                                     2047
(%i8) m(597,2047);
                                     1194
(%o8)                                ----
                                     2047
(%i9) m(1194,2047);
                                     341
(%o9)                                ----
                                     2047
(%i10) m(341,2047);
                                     682
(%o10)                               ----
                                     2047
(%i11) m(682,2047);
                                     1364
(%o11)                               ----
                                     2047
(%i12) m(1364,2047);
                                     681
(%o12)                               ----
                                     2047
(%i13) m(681,2047);
                                     1362
(%o13)                               ----
                                     2047

其他版本

         
kill(all);
remvalue(all);

DoublingMap(r):=
block([d,n],
 n:ratnumer(r),
 d:ratdenom(r),
 mod(2*n,d)/d)$


GiveOrbit(r0,OrbitLength):=
block(
 [r,Orbit],
 r:r0,
 Orbit:[r], 
 for i:1 thru OrbitLength step 1 do
        ( r:DoublingMap(r),
          Orbit:endcons(r,Orbit)),
         
 return(sort(Orbit))

)$


r0: 681/2047$
 period : 11;
 
GiveOrbit(r0,period);                            
                                     
        341   597   661   677   681   681   682   1194  1322  1354  1362  1364
(%o6) [----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----]
       2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047  2047
float(%o6);
(%o7) [0.1665852467024914, 0.2916463116756229, 0.3229115779189057, 0.3307278944797264, 0.3326819736199316, 0.3326819736199316, 0.3331704934049829, 0.5832926233512458, 0.6458231558378115, 0.6614557889594529, 0.6653639472398633, 0.6663409868099658]
(%i8)

子週期 21

另請參閱 wake 10/21

Maxima 5.45.1 https://maxima.sourceforge.io
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.12
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) bash("r.mac");
(%o1)                             bash(r.mac)
(%i2) load("r.mac");
(%o0)                                r.mac
(%i1) batch("r.mac");

read and interpret /home/a/Dokumenty/maxima/rotation/r.mac
(%i2) kill(all)
(%o0)                                done
(%i1) remvalue(all)
(%o1)                                 []
(%i2) DoublingMap(r):=block([d,n],n:ratnumer(r),d:ratdenom(r),mod(2*n,d)/d)
(%i3) GiveOrbit(r0,OrbitLength):=block([r,Orbit],r:r0,Orbit:[r],
                for i thru OrbitLength do
                    (r:DoublingMap(r),Orbit:endcons(r,Orbit)),
                return(sort(Orbit)))
(%i4) r0:699049/2097151
(%i5) period:21
(%i6) GiveOrbit(r0,period)

       349525   611669   677205   693589   697685   698709   698965   699029
(%o6) [-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
       2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
       
699045   699049   699049   699050   1223338  1354410  1387178  1395370
-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151


1397418  1397930  1398058  1398090  1398098  1398100
-------, -------, -------, -------, -------, -------]
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151


(%o7)               /home/a/Dokumenty/maxima/rotation/r.mac

(%i9) float(%o6);
(%o9) [0.166666587193769, 0.2916666467984423, 0.3229166616996106, 0.3307291654249026, 0.3326822913562257, 0.3331705728390564, 
0.3332926432097641, 0.333323160802441, 0.3333307902006102, 0.3333326975501525, 0.3333326975501525, 0.3333331743875381, 0.5833332935968846, 
0.6458333233992212, 0.6614583308498053, 0.6653645827124514, 0.6663411456781129, 0.6665852864195282, 0.666646321604882, 0.6666615804012205, 
0.6666653951003051, 0.6666663487750763]
(%i10)

未對 Orbit 進行排序的結果

         699049   1398098  699045   1398090  699029   1398058  698965
(%o6)/R/ [-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
          2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
1397930  698709   1397418  697685   1395370  693589   1387178  677205
-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, -------, 
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
1354410  611669   1223338  349525   699050   1398100  699049
-------, -------, -------, -------, -------, -------, -------]
2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151  2097151
(%o7)               /home/a/Dokumenty/maxima/rotation/r.mac
float(%o6);
(%o8) [0.3333326975501525, 0.6666653951003051, 0.3333307902006102, 0.6666615804012205, 0.333323160802441, 0.666646321604882, 0.3332926432097641, 
0.6665852864195282, 0.3331705728390564, 0.6663411456781129, 0.3326822913562257, 0.6653645827124514, 0.3307291654249026, 
0.6614583308498053, 0.3229166616996106, 0.6458333233992212, 0.2916666467984423, 0.5833332935968846, 0.166666587193769, 0.3333331743875381, 
0.6666663487750763, 0.3333326975501525]

子週期 27

內部角 13/27

c = -0.739880396515927 +0.115700424748225 i
不動點 alpha z = -0.496619178870972 +0.058046457062615 i
週期 27

主心形線的 13/27-wake 由具有以下角度的引數射線包圍

44739241/134217727 或 p010101010101010101010101001
44739242/134217727 或 p010101010101010101010101010

子週期 34

參見 Arnaud Cheritat 的影像 ^[10]

wake 外部射線角度（引數平面） 以不同格式表示：^[11]

$4985538889/17179869183={\frac {4985538889_{10}}{17179869183_{10}}}=p0100101001001010010100100101001001=.(0100101001001010010100100101001001)=0.(0100101001001010010100100101001001)=0.{\overline {0100101001001010010100100101001001}}_{2}={\frac {100101001001010010100100101001001_{2}}{1111111111111111111111111111111111_{2}}}$ $4985538889/17179869183={\frac {4985538889_{10}}{17179869183_{10}}}=p0100101001001010010100100101001001=.(0100101001001010010100100101001001)=0.(0100101001001010010100100101001001)=0.{\overline {0100101001001010010100100101001001}}_{2}={\frac {100101001001010010100100101001001_{2}}{1111111111111111111111111111111111_{2}}}$

$4985538890/17179869183=p0100101001001010010100100101001010=.(0100101001001010010100100101001010)=0.(0100101001001010010100100101001010)$ $4985538890/17179869183=p0100101001001010010100100101001010=.(0100101001001010010100100101001010)=0.(0100101001001010010100100101001010)$

週期為 34 的分量有 8 589 869 055 個。

落在根點上的外部角

$e={\frac {n}{d}}$

其中分母 d 為

$d=2^{34}-1=17\ 179\ 869\ 183$

主心形的內部角	引數 c = 根點	wake 的外部角（十進位制小數）	wake 的外部角（二進位制小數）	拋物不動點 z	動態射線（軌道圖，僅分子）
1/34		(1/d; 2/d)
13/34	-0.392571548476155+0.585781365897037i	(4985538889/d ; 4985538890/d)	(p0100101001001010010100100101001001; p0100101001001010010100100101001010)	-0.3695044586103295 ; 0.3368478218232787	[4985538889,9971077778,2762286373,5524572746,11049145492,4918421801,9836843602, 2493818021,4987636042,9975272084,2770674985,5541349970,11082699940,4985530697, 9971061394,2762253605,5524507210,11049014420,4918159657,9836319314,2492769445, 4985538890,9971077780,2762286377,5524572754,11049145508,4918421833,9836843666, 2493818149,4987636298,9975272596,2770676009,5541352018,11082704036]

最寬扇區（包含臨界分量）為

 ( 2492769445/17179869183; 11082704036/17179869183 )

最後一個分量 = 包含臨界點 zcr = 0.0 的分量左側的分量。當 iPeriodChild 增加時，此分量幾乎不變，參見此影片

89

34/89

參見 Arnaud Cheritat 的影像 ^[12]

讓我們使用 Wolf Jung 的 Mandel 程式查詢一些資訊

 
t = 34/89 = 0,382022472 // internal angle = rotational number  
c = -0.390837354761211  +0.586641524321638 i // Parameter c
z = -0.368804231870311  +0.337614334047815 i // fixed point alfa

分母或外部角度（使用此程式計算）

$d=(2^{89}-1)_{10}=618970019642690137449562111_{10}=11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_{2}$ $d=(2^{89}-1)_{10}=618970019642690137449562111_{10}=11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111_{2}$

使用 Claude Heiland-Allen 的 book 程式查詢根點位置

1/3 = 0.3333
3/8 = 0,375
8/21 = 0,380952381
21/55 = 0,381818182
34/89 = 0,382022472
13/34 = 0,382352941
5/13 = 0,384615385
2/5 = 0.4
1/2 = 0.5

可以使用 Claude Heiland-Allen 的 book 程式計算落在根點上的射線的外部角度

 ./mandelbrot_external_angles 53 -3.9089629378291085e-01 5.8676031775674931e-01 89
.(01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001001)
.(01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001010)

使用 gmp 轉換為其他形式

decimal fraction =  179622968672387565806504265 / 618970019642690137449562111 
decimal canonical form =  179622968672387565806504265/618970019642690137449562111
binary fraction  = 01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001001/11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 
decimal floating point number : 0.290196557138708685358212600555

decimal fraction =  179622968672387565806504266 / 618970019642690137449562111 
decimal canonical form =  179622968672387565806504266/618970019642690137449562111
binary fraction  = 01001010010010100101001001010010010100101001001010010100100101001001010010100100101001010/11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 
decimal floating point number : 0.290196557138708685358212602171

請注意，浮點形式的外部角度之間的差異

0.290 196 557 138 708 685 358 212 602 171 
0.290 196 557 138 708 685 358 212 600 555

出現在小數點後第 27 位

0.(010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 01)
0.(010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 100 101 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 010 100 101 001 001 010 010 10)

以及小數點後第 88 位二進位制數。

落在不動點 alfa 上的射線的外部角度（軌道圖）的分子

179622968672387565806504265
179622968672387565806504265
359245937344775131613008530
99521855046860125776454949
199043710093720251552909898
398087420187440503105819796
177204820732190868762077481
354409641464381737524154962
89849263286073337598747813
179698526572146675197495626
359397053144293350394991252
99824086645896563340420393
199648173291793126680840786
399296346583586253361681572
179622673524482369273801033
359245347048964738547602066
99520674455239339645642021
199041348910478679291284042
398082697820957358582568084
177195375999224579715574057
354390751998449159431148114
89811484354208181412734117
179622968708416362825468234
359245937416832725650936468
99521855190975313852310825
199043710381950627704621650
398087420763901255409243300
177204821885112373368924489
354409643770224746737848978
89849267897759356026135845
179698535795518712052271690
359397071591037424104543380
99824123539384710759524649
199648247078769421519049298
399296494157538843038098596
179622968672387548626635081
359245937344775097253270162
99521855046860057056978213
199043710093720114113956426
398087420187440228227912852
177204820732190319006263593
354409641464380638012527186
89849263286071138575492261
179698526572142277150984522
359397053144284554301969044
99824086645878971154375977
199648173291757942308751954
399296346583515884617503908
179622673524341631785445705
359245347048683263570891410
99520674454676389692220709
199041348909352779384441418
398082697818705558768882836
177195375994720980088203561
354390751989441960176407122
89811484336193782903252133
179622968672387565806504266
359245937344775131613008532
99521855046860125776454953
199043710093720251552909906
398087420187440503105819812
177204820732190868762077513
354409641464381737524155026
89849263286073337598747941
179698526572146675197495882
359397053144293350394991764
99824086645896563340421417
199648173291793126680842834
399296346583586253361685668
179622673524482369273809225
359245347048964738547618450
99520674455239339645674789
199041348910478679291349578
398082697820957358582699156
177195375999224579715836201
354390751998449159431672402
89811484354208181413782693
179622968708416362827565386
359245937416832725655130772
99521855190975313860699433
199043710381950627721398866
398087420763901255442797732
177204821885112373436033353
354409643770224746872066706
89849267897759356294571301
179698535795518712589142602
359397071591037425178285204
99824123539384712907008297
199648247078769425814016594
399296494157538851628033188

程式碼

Wolf Jung 的 Mandel 程式: MainMenu\Rays\Orbit Portrait，輸入動態射線（或 wake 角）的第一個角度

參考資料

[1] uency : elephant valley

[2] Miqel 編寫的曼德博集合視覺指南

[3] 維基百科中的整數

[4] 維基百科中的整數溢位

[5] tmath : 聖馬可龍形

[6] 維基百科 : 杜瓦迪兔子

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[8] A Majewski 編寫的週期 p 分量根點的引數射線

[9] A Majewski 編寫的週期 p 分量根點的引數射線

[10] Arnaud Cheritat - 相簿

[11] wledgedoor 計算器：整數比率轉換

[12] Arnaud Cheritat - 相簿

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