根點的拋物線擾動是一種將該根擾動到某些其他附近的根的方法

描述

"Near a non-degenerate 1-parabolic point z0, the orbits are attracted towards z0 on one side and repelled away on the other side. The parabolic basin of z0 is an open set containing z0 on the boundary and occupies most of  area near z0. So the local dynamics is relatively simple. However, once perturbed, it becomes the source of rich and delicate bifurcation phenomena. The points in the basin of unperturbed map can now escape through
the “gate” between the bifurcated fixed points, thus new recurrent orbits may be created. These “new” orbits depend extremely sensitively on the perturbation, and this causes a drastic change
of dynamics or the discontinuity of Julia sets. Also the perturbation into certain direction, such as z0 turning into irrationally indifferent fixed point (i.e. |λ| = 1 but λ is not a root of unity),
can create highly recurrent behavior, which leads into delicate questions, e.g. the linearizability problem or Cremer Julia sets which are not locally connected."^[1]

擾動

取一個具有有理內部引數 $t={\frac {p}{q}}$ 的根點。它有 2 個相等的簡單連分數展開（表示）

 $x=t=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}-1,1]$

其中

內部引數 $t$ 是真分數： $t<1$ 因此第一項 $a_{0}$ 等於零： $a_{0}=0$
當 $b_{n}=1$ 對於所有 $n$ 時，該表示式被稱為簡單連分數

對於小於展開長度的任何 n（使用 2 個相等展開中的一個）

 $x_{n}=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}]$

是 x 的第 n 個收斂。收斂按如下順序排列

 $0<x_{2}<x_{4}<\ldots <x_{2m}<x<x_{2m+1}<\ldots <x_{3}<x_{1}\leq 1$

一階

型別 1 和 2 = 在雙曲分量（父分量）上^[2]
型別 3 和 4 = 在衛星（子分量）上

主心形上的型別 1

取 t 的第一個（規範）cf 展開（長度為奇數）
新增一個分母 a（自然數）

 $x=t=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1}]$ 

 $x_{n}=t'(a)=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a]$

注意

展開長度 $x_{n}$ 是偶數：n = 2*m 其中 m 是正自然數
旋轉數略小於 t： $t'(a)<t$
$t'(a)\nearrow t\quad as\quad a\to +\infty$

示例

胖的巴塞羅那朱利亞集

$x=t={\frac {1}{2}}=[2]=0.5$ 且 c = -0.75
$x_{2}=t'(a)=[2,a]$
$x_{2}=t'(5)=[2,5]={\frac {5}{11}}=0.4545454545454545$ 和 c = -0.690059870015044 +0.276026482784614 i。尾跡 5/11 的根點
$x_{2}=t'(10)=[2,10]={\frac {10}{21}}=0.4761904761904761$ 和 c = -0.733308614559099 +0.148209926690813 i
$x_{2}=t'(100)=[2,100]={\frac {100}{201}}=0.4975124378109453$ 和 c = -0.749816792870443 +0.015628223336210 i
$x_{2}=t'(1000)=[2,1000]={\frac {1000}{2001}}=0.4997501249375312$ 和 c = -0.749998151299478 +0.001570009708645 i

$t={\frac {1}{2}}$
$t'(5)=[2,5]={\frac {5}{11}}$

胖杜瓦迪兔子

$x=t={\frac {1}{3}}=[3]=0.33333...$ 和 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
$x_{2}=t'(a)=[3,a]$
$x_{2}=t'(5)=[3,5]={\frac {5}{16}}=0.3125$ 和 c = -0.014565020885908 +0.638716461552280 i
$x_{2}=t'(10)=[3,10]={\frac {10}{31}}=0.3225806451612903$ 和 c = -0.067170580141901 +0.646596204019795 i
$x_{2}=t'(100)=[3,100]={\frac {100}{301}}=0.3322259136212624$ 和 c = -0.118980261815329 +0.649487648552261 i
$x_{2}=t'(1000)=[3,1000]={\frac {1000}{3001}}=0.3332222592469177$ 和 c = -0.124395662683559 +0.649518736524089 i

$x=t={\frac {1}{3}}=[3]$

如何在 Maxima CAS 中計算 t（這裡應該新增 a0 項）

(%i3) c:[0,3,5];
                            
(%i7) c5:cfdisrep(c);
                                       1
(%o7)                                -----
                                         1
                                     3 + -
                                         5
(%i8) ratsimp(c5);
                                      5
(%o8)                                 --
                                      16
(%i9) float(c5);
(%o9)                               0.3125
(%i10)

主心形上的型別 2

取第二個連分數展開（偶數長度）
新增一個分母 a（自然數）

 $x=t=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},1]$ 

 $x_{k}=t''(a)=[a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},1,a]$

注意

展開的長度是奇數：k = n+1 = 2*m+1 其中 m 是一個正自然數
旋轉次數 $t''$ 略大於 t： $t<t''(a)$
$t''(a)\nearrow t\quad as\quad a\to +\infty$

示例

胖的巴塞羅那朱利亞集

$x=t={\frac {1}{2}}=[1,1]=0.5$ 且 c = -0.75
$x_{3}=t''(a)=[1,1,a]$
$x_{3}=t''(5)=[1,1,5]={\frac {6}{11}}=0.5454545454545454$ 且 c = -0.690059870015044 -0.276026482784614 i
$x_{3}=t''(10)=[1,1,10]={\frac {11}{21}}=0.5238095238095238$ 且 c = -0.733308614559099 -0.148209926690813 i
$x_{3}=t''(100)=[1,1,100]={\frac {101}{201}}=0.5024875621890548$ 且 c = -0.749816792870443 -0.015628223336210 i
$x_{3}=t''(1000)=[1,1,1000]={\frac {1001}{2001}}=0.5002498750624688$ 且 c = -0.749998151299478 -0.001570009708645 i

Maxima CAS 程式碼（這裡應該新增 a0 項）

(%i4) x3:[0,2,1,5];
(%o4)                            [0, 2, 1, 5]
(%i5) cf:cfdisrep(x3);
                                       1
(%o5)                              ---------
                                         1
                                   2 + -----
                                           1
                                       1 + -
                                           5
(%i6) ratsimp(cf);
                                      6
(%o6)                                 --
                                      17
(%i7)

胖杜瓦迪兔子

$x=t={\frac {1}{3}}=[2,1]=0.33333...$ 且 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
$x_{3}=t''(a)=[2,1,a]$
$x_{3}=t''(5)=[2,1,5]={\frac {6}{17}}=$ 且 c = -0.232901570671607 +0.639465024433325 i
$x_{3}=t''(10)=[2,1,10]={\frac {11}{32}}=$ 且 c = -0.182114258418529 +0.646704689279094 i
$x_{3}=t''(100)=[2,1,100]={\frac {101}{302}}=$ 以及 c = -0.131011849556424 +0.649487772656967 i
$x_{3}=t''(1000)=[2,1,1000]={\frac {1001}{3002}}=$ 以及 c = -0.125604257709865 +0.649518736649880 i

型別 3 在週期 2 衛星分量上

胖的巴塞羅那朱利亞集

在主心形上 $x=t={\frac {1}{2}}=0.5$ 以及 c = -0.75
在週期 2 分量上（內部射線 1/2）
- $t'''(a)={\frac {1}{a}}$ 是週期 2 和週期 2*a 之間的根點
- $t'''(5)={\frac {1}{5}}=0.2$ 以及 c = -0.922745751406263 +0.237764129073788 i
- $t'''(10)={\frac {1}{10}}=0.1$ 以及 c = -0.797745751406263 +0.146946313073118 i
- $t'''(100)={\frac {1}{100}}=0.01$ 以及 c = -0.750493317892932 +0.015697629882328 i
- $t'''(1000)={\frac {1}{1000}}=0.001$ 以及 c = -0.750004934785966 +0.001570785991390 i

型別 3 在杜瓦迪兔子衛星上（週期 3 分量）

胖杜瓦迪兔子

在主心形上： $t={\frac {1}{3}}=[2,1]=0.33333...$ 以及 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
在週期 3 分量上，根點在內部角 = 1/3
- $t'''(a)={\frac {1}{a}}$ 是週期 3 和週期 3*a 之間的根點
- $t'''(5)={\frac {1}{5}}=0.2$ 以及 c = -0.035468843775407 +0.713230932890222*I
- $t'''(10)={\frac {1}{10}}=0.1$ 以及 c = -0.069357410041421 +0.667567542415601*I
- $t'''(100)={\frac {1}{100}}=0.01$ 以及 c = -0.118968172732931 +0.649711213179649*I
- $t'''(1000)={\frac {1}{1000}}=0.001$ 以及 c = -0.124395505045425 +0.649520981010889 i

週期 2 衛星分量上的 4 類

胖的巴塞羅那朱利亞集

在主心形上 $x=t={\frac {1}{2}}=0.5$ 以及 c = -0.75
在週期 2 分量上（內部射線 1/2）
- $t''''(a)=-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{a}}={\frac {a-1}{a}}$ 其中 c 是週期 2 和週期 2*a 之間的根點
- $t''''(5)=-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{5}}$ 以及 c = -0.922745751406263 -0.237764129073788 i
- $t''''(10)=-{\frac {1}{10}}={\frac {9}{10}}$ 以及 c = -0.797745751406263 -0.146946313073118 i
- $t''''(100)=-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$ 以及 c = -0.750493317892932 -0.015697629882328 i
- $t''''(1000)=-{\frac {1}{1000}}={\frac {999}{1000}}$ 以及 c = -0.750004934785966 -0.001570785991390 i

杜瓦兔衛星上的 4 類

胖杜瓦迪兔子

在主心形上: $t={\frac {1}{3}}=0.33333...$ 以及 c = -0.125000000000000 +0.649519052838329 i
在週期 3 分量上，根點在內部角 = 1/3
- $t''''(a)=-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{a}}={\frac {a-1}{a}}$ 其中 c 是週期 3 和週期 3*a 之間的根點
- $t''''(5)=-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{5}}$ 以及 c = -0.216358795928715 +0.719846780290728 i
- $t''''(10)=-{\frac {1}{10}}={\frac {9}{10}}$ 以及 c = -0.182180023389255 +0.668744570272412 i
- $t''''(100)=-{\frac {1}{100}}={\frac {99}{100}}$ 以及 c = -0.131051918394844 +0.649712528934645 i
- $t''''(1000)=-{\frac {1}{1000}}={\frac {999}{1000}}$ 以及 c = -0.125604696369978 +0.649520982328093 i

比較

參考文獻

z -> z 2 + c 的非共形擾動：1:3 共振，非線性 17 (2004) 765 - 789 作者 Henk Bruin 和 Martijn van Noort

↑ 拋物線不動點的重整化及其由井上裕之和宍倉光広的擾動。2006 年 5 月 5 日
↑ 丹·埃裡克·克拉魯普·索倫森：複雜動力系統：射線和非區域性連通性。博士論文 1994，數學研究所丹麥技術大學

[1] 拋物線不動點的重整化及其由井上裕之和宍倉光広的擾動。2006 年 5 月 5 日

[2] 丹·埃裡克·克拉魯普·索倫森：複雜動力系統：射線和非區域性連通性。博士論文 1994，數學研究所丹麥技術大學

[1]

[2]