分形/多重布洛特集

多項式函式的朱利亞集

• 
  z^2+z^3+c 分形中的大象區
• 根

"由於 博特切爾定理，多項式的動力學比一般有理對映的動力學更容易理解。

z(1 + z)^d

對映 $z(1+z)^{d}$ 有 d 個花瓣。"雖然 z = 0 處的拋物點只有一個花瓣，但對映 f 也在區域性度數為 d 的地方有一個前拋物臨界點 b = −1。因此 f 在 b 處有 d 個花瓣。"

例如，“f (z) = z(1 + z) 3 的填充朱利亞集在 z = −1 處有三個花瓣。”（Curtis T McMullen）

mz(1+z^(k*n))

"條件

 $z^{kn}\in R$

描述了一組穿過原點的直線。注意對映 g

 $g(z)=z(1+z^{kn})$

使這些直線保持不變。那麼

 $z\to \lambda *z(1+z^{kn})$

是 g 與週期旋轉的複合。”

 $z\to \lambda z$

z^n+ z + c

例子

• f(z) = z^3 + z + 0.6*I
• f(z) = z^6+A*z +c ; 度數為 6，A=(-34603008+0*i)*2^-25，c=(-262144+0i)*2^-25 來自另一個引數空間切片，顯示了 marcm200 的 5 個吸引週期-2 迴圈
• "倫敦塔" 週期-3 迴圈和週期-18 迴圈，z^5+A*z+c c=(638976+7536640*i) * 2^-25 A=(37094161+719769*i) * 2^-25 來自 marcm200

z^n + c^p

Z = Zⁿ + c^p

L = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² + C²
  L = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z² + C³
  L = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z²+C⁶ - 1
  L = (2 - 1)* 6 = 6
• 
  Z = Z³ + C²
  L = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z³ + C³
  L = (3 - 1)* 3 = 6
• 
  Z = Z⁴ + C⁴
  L = (4 - 1)* 4 = 12

z^n + c = 多重布洛特集

• 
  $f(z):=z^{5}-1$

  "the mulitbrot family, ... they all have a single critical point, namely the origin"   Mark McClure 

多重布洛特集

L = m - 1

與它的逆引數平面比較：Z^n + 1/c

如何計算 z 的冪

$Z^{2}=(x+iy)^{2}$ $\mathrm {Real} =x^{2}-y^{2}$  $\mathrm {Imag} =2xy$

$Z^{3}=(x+iy)^{3}$ $\mathrm {Real} =x^{3}-3y^{2}x$  $\mathrm {Imag} =3x^{2}y-y^{3}$

$Z^{4}=(x+iy)^{4}$ $\mathrm {Real} =x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}$  $\mathrm {Imag} =4x^{3}y-4xy^{3}$

$Z^{5}=(x+iy)^{5}$ $\mathrm {Real} =x^{5}-10x^{3}y^{2}+5xy^{4}$  $\mathrm {Imag} =5x^{4}y-10x^{2}y^{3}+y^{5}$

$Z^{6}=(x+iy)^{6}$ $\mathrm {Real} =x^{6}-15x^{4}y^{2}+15x^{2}y^{4}-y^{6}$  $\mathrm {Imag} =6x^{5}y-20x^{3}y^{3}+6xy^{5}$

$Z^{7}=(x+iy)^{7}$ $\mathrm {Real} =x^{7}-21x^{5}y^{2}+35x^{3}y^{4}-7xy^{6}$  $\mathrm {Imag} =7x^{6}y-35x^{4}y^{3}+21x^{2}y^{5}-y^{7}$

Fortran 原始碼

! Fortran program by P.M.J. Trevelyan
! http://philiptrevelyan.co.uk/
     PROGRAM FRACTAL
      IMPLICIT NONE
      INTEGER I,J,ITERATION,N,M
      PARAMETER(N=2000,M=50)
      REAL*8 U,V,X,Y,P,Q
      OPEN(99,FILE='Fractal_quad.dat')
 25   FORMAT(2F9.5,I3)
      DO 10, I=1,N
      DO 20, J=1,N
C Define first point z(n)=U+iV and k=X+iY
      U=0.D0
      V=0.D0
      X=I*3.2D0/(N-1.D0)-2.1D0
      Y=J*2.8D0/(N-1.D0)-1.4D0
      DO 30, ITERATION=1,M
C Calculate z(n+1) = z(n)**2 + k where z(n+1)=P+iQ
      P=U**2-V**2+X 
      Q=2.D0*U*V+Y
      U=P
      V=Q
C If |z|>2 stop iterating
      If (U**2+V**2.GT.4.D0) GOTO 100
 30       CONTINUE
 100      WRITE(99,25) X,Y,ITERATION
 20     CONTINUE
 10   CONTINUE
      STOP
      END

正整數冪的引數平面

• 
  z² + c
• 
  z³ + c
• 
  z⁴ + c
• 
  z⁵ + c
• 
  z⁶ + c

負冪

當 d 為負數時，該集合包圍但不包含原點。在集合和原點之間的等高線之間存在有趣的複數行為，在一個具有 (1 − d)-重旋轉對稱性的星形區域內。這些集合似乎具有圓形周長，但是這僅僅是逃逸時間演算法允許的固定最大半徑的人為現象，而不是實際上在所有方向上延伸到無窮大的集合的極限。

• 
  z⁻² + c
• 
  z⁻³ + c
• 
  z⁻⁴ + c
• 
  z⁻⁵ + c
• 
  z⁻⁶ + c

z^2+c

參見 復二次多項式

z^3 + c

$z_{n+1}=z_{n}^{3}+c$

它可以計算為 :

$X_{n+1}=X_{n}^{3}-3X_{n}Y_{n}^{2}+C_{x}$

$Y_{n+1}=3X_{n}^{2}Y_{n}-Y_{n}^{3}+C_{y}$

示例

• c= -0.040000000000000036 + I * -0.78

• 
  引數平面和曼德勃羅集
• 
  動態平面和Julia集，其中$f(z)=z^{3}+c$，其中c =  ?
• 
  複平面上函式 $z^{3}-1$ 的零點
• 
  複平面上函式 $z^{3}-1$ 的複色圖
• 
• 
  c = -0.4730679 -0.5625i

z^5 + c

• 
  引數平面和曼德勃羅集
• 
  複平面上函式 $z^{5}-1$ 的零點
• 
  複平面上函式 $z^{5}-1$ 的複色圖
• 

z^10 + c

• 
  使用 z = z^10 + c 且 c = -0.925 + 0.19i 的Julia集分形

zⁿ + 1/c

它是 z^n + c 的 反轉引數平面。

頂點數 : V = (n - 1)

• 
  Z = Z² + 1/C
• 
  Z = Z³ + 1/C
• 
  Z = Z⁴ + 1/C
• 
  Z = Z⁵ + 1/C
• 
  Z = Z⁶ + 1/C
• 
  Z = Z⁷ + 1/C

z^n + m*z^(-d)

麥克穆倫對映 

$z^{n}+{\frac {m}{z^{d}}}$

其中 : n 和 d 大於等於 1

"這些對映被稱為`麥克穆倫對映'，因為麥克穆倫 首次研究了這些對映，並指出當 (n: d) = (2: 3) 且 m 很小時，Julia 集是一個圓形的康托爾集。"

z^n + m*z

描述

z^2+m*z

參見 復二次多項式

z^3+m*z

動態平面

• 
• 

z^3 + z

它可以使用Maxima CAS找到 

(%i2) z:zx+zy*%i;
(%o2) %i*zy+zx
(%i6) realpart(z+z^3);
(%o6) -3*zx*zy^2+zx^3+zx
(%i7) imagpart(z+z^3);
(%o7) -zy^3+3*zx^2*zy+zy

尋找根及其重數 

$z^{3}+z=z$

$z^{3}=0$

所以根 z=0 的重數為 3。

(%i1) z1:z^3+z;
(%o1) z^3+z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [3]

這意味著在不動點 z=0 附近有一個 2 個花瓣的花。

比較圖表 

• 作者：亞歷山德羅·羅莎
• 作者：澤維爾·巴夫和亞當·L·艾普斯坦

z^4 + mz

如何計算迭代

(%i1) z:zx+zy*%i;
(%o1) %i*zy+zx
(%i2) m:mx+my*%i;
(%o2) %i*my+mx
(%i3) z1:z^4+m*z;
(%o3) (%i*zy+zx)^4+(%i*my+mx)*(%i*zy+zx)
(%i4) realpart(z1);
(%o4) zy^4-6*zx^2*zy^2-my*zy+zx^4+mx*zx
(%i5) imagpart(z1);
(%o5) -4*zx*zy^3+4*zx^3*zy+mx*zy+my*zx

參見 f(z) = c(z^4-4z)。它是沃爾夫·榮格的程式 Mandel 中的家族 4.1（參見主選單 / 新建 / 4. 四次多項式 / 4.1）

這裡 c = -m/4 並且曼德布羅特集合旋轉了 180 度。

引數平面

f(z) = z^4 + m*z 的引數平面和曼德布羅特集合

週期 1 分量

Maxima CAS 程式碼

(%i1) f:z^4+m*z;
(%o1) z^4+m*z
(%i2) e1:f=z;
(%o2) z^4+m*z=z
(%i3) d:diff(f,z,1);
(%o3) 4*z^3+m
(%i4) e2:d=w;
(%o4) 4*z^3+m=w
(%i5) s:eliminate ([e1,e2], [z]);
(%o5) [-(m-w)*(w+3*m-4)^3]
(%i6) s:solve([s[1]], [m]);
(%o6) [m=-(w-4)/3,m=w]

這意味著有兩個週期 1 分量

• 一個半徑 = 1 且中心 = 0 (m=w)
• 第二個半徑為 1/3 且中心為 4/3 (m=-(w-4)/3)

動態平面

z^4+z

f(z) = z^4 + z 的朱利亞集合

尋找根及其重數 

$z^{4}+z=z$

$z^{4}=0$

所以根 z=0 的重數為 4。

(%i1) z1:z^4+z;
(%o1) z^4+z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [4]

這意味著在固定點 z=0 周圍有 3 個花瓣

如何計算迭代

(%i17) z:x+y*%i;
(%o17) %i*y+x
(%i18) realpart(z+z^4);
(%o18) y^4-6*x^2*y^2+x^4+x
(%i19) imagpart(z+z^4);
(%o19) -4*x*y^3+4*x^3*y+y

z^4-iz

f(z)=z^4-iz 的臨界軌道

首先計算內部角 = 3/4 的乘子

(%i1) m:exp(2*%pi*%i*3/4);
(%o1) -%i

然後找到如何計算迭代

(%i1) z:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) z1:z^4-%i*z;
(%o2) (%i*y+x)^4-%i*(%i*y+x)
(%i3) realpart(z1);
(%o3) y^4-6*x^2*y^2+y+x^4
(%i4) imagpart(z1);
(%o4) -4*x*y^3+4*x^3*y-x

這是一個具有 12 個花瓣花的拋物線朱利亞集合

臨界點

(%i12) s:GiveListOfCriticalPoints(f(z))
(%o12) [0.31498026247372*%i-0.54556181798586,-0.62996052494744*%i,0.31498026247372*%i+0.54556181798586]
(%i13) multiplicities
(%o13) [1,1,1]
(%i14) length(s)
(%o14) 3

以轉數為引數

[0.41666666666667,0.75,0.083333333333334] = [5/12 , 9/12, 1/12]

吸引向量

固定點 -i 的乘子是單位根的四次方根 (q=4)，因此我們檢查第四次迭代

(%i1) z1:z^4-%i*z;
(%o1) z^4-%i*z
(%i2) z2:z1^4-%i*z1;
(%o2) (z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z)
(%i3) z3:z2^4-%i*z2;
(%o3) ((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))^4-%i*((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))
(%i4) z4:z3^4-%i*z3;
(%o4) (((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))^4-%i*((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z)))^4-%i*(((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z))^4-%i*((z^4-%i*z)^4-%i*(z^4-%i*z)))
(%i6) taylor(z4,z,0,20);
(%o6)/T/ z+(-76*%i-84)*z^13+(-36*%i+720)*z^16+(1812*%i-2556)*z^19+...

z 之後的下一項是

(-76*%i-84)*z^13

所以這裡

• k=13 且 n=m*q = k-1 = 12
• a = -76*%i-84

吸引向量滿足

$nav^{n}=-1$

所以這裡

$-12(76i+84)v^{12}=-1$

$v^{12}={\frac {1}{912i+1008}}$

可以在 Maxima CAS 中解決

(%i14) s:map('float,s);
(%o14) [1.007236559448514*%i+1.521106958434882,1.632845927320289*%i+0.81369898815363,
1.820935547602145*%i-0.11173896888541,1.521106958434882*%i-1.007236559448514,
0.81369898815363*%i-1.632845927320289,
-0.11173896888541*%i-1.820935547602145,-1.007236559448514*%i-1.521106958434882,
-1.632845927320289*%i-0.81369898815363,0.11173896888541-1.820935547602145*%i,
1.007236559448514-1.521106958434882*%i,
1.632845927320289-0.81369898815363*%i,0.11173896888541*%i+1.820935547602145]

以轉數為引數

[0.093087406197659,0.17642073953099,0.25975407286433,0.34308740619766,0.42642073953099,0.50975407286433,
0.59308740619766,0.67642073953099,0.75975407286433,0.84308740619766,0.92642073953099,0.009754072864326]

不同於臨界點的引數。因此，臨界軌道形成扭曲的 12 臂星

找到固定點

(%i1) f:z^4-%i*z;
(%o1) z^4-%i*z
(%i2) s:solve(f=z);
(%o2) [z=((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i-1))/2,z=-((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i+1))/2,z=(%i+1)^(1/3),z=0]
(%i4) multiplicities;
(%o4) [1,1,1,1]
(%i3) s:map(rhs,s);
(%o3) [((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i-1))/2,-((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i+1))/2,(%i+1)^(1/3),0]
(%i5) s:map('float,s);
(%o5) [0.5*(%i+1.0)^(1/3)*(1.732050807568877*%i-1.0),-0.5*(%i+1.0)^(1/3)*(1.732050807568877*%i+1.0),(%i+1.0)^(1/3),0.0]
(%i6) s:map(rectform,s);
(%o6) [0.7937005259841*%i-0.7937005259841,-1.084215081491351*%i-0.29051455550725,0.29051455550725*%i+1.084215081491351,0.0]

計算固定點的乘子

(%i7) d:diff(f,z,1);
(%o7) 4*z^3-%i

檢查固定點的穩定性

(%i9) for z in s do disp(abs(ev(d)));
4.999999999999998
5.0
4.999999999999999
1
(%o9) done

點 z=0 是一個拋物線點。

z^4 -z

f(z) = z^4 - z 的臨界點、軌道

f(z) = z^4 - z 的朱利亞集合

f(z) = z^4 - z 的朱利亞集合，具有不同數量的星形分支（動畫） - 排斥花瓣

它是家族多項式的特例

$f_{\lambda }(z)=z^{4}+\lambda z$

這裡

$\lambda =-1=e^{\pi i}$

所以內部角 $\theta$ 是

$\theta ={\frac {p}{q}}={\frac {1}{2}}$

(%i2) m:exp(2*%pi*%i/2);
(%o2) -1

因為

$|\lambda |=1$

它是一個拋物線朱利亞集合。點 $\lambda =-1=e^{\pi i}$ 位於兩個週期一元件（根點）之間。

週期點

點 z=0 是七重根

$k=m*q+1=3*2+1=7$

對於方程

$f_{\lambda }^{2}(z)=z$

可以使用 Maxima CAS 的數值方法和符號方法進行驗證。

(%i1) z1:z^4-z;
(%o1) z^4-z
(%i2) z2:z1^4-z1;
(%o2) (z^4-z)^4-z^4+z
(%i3) eq2:z2-z=0;
(%o3) (z^4-z)^4-z^4=0
(%i4) allroots(eq2);
(%o4) [z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=0.0,z=1.259921049894873,
z=0.7937005259841*%i-0.7937005259841,z=-0.7937005259841*%i-0.7937005259841,
z=1.084215081491351*%i-0.29051455550725,z=-1.084215081491351*%i-0.29051455550725,
z=0.29051455550725*%i+1.084215081491351,
z=1.084215081491351-0.29051455550725*%i,z=1.091123635971722*%i-0.62996052494744,
z=-1.091123635971722*%i-0.62996052494744]
(%i5) expand(eq2);
(%o5) z^16-4*z^13+6*z^10-4*z^7=0
(%i6) factor(eq2);
(%o6) z^7*(z^3-2)*(z^6-2*z^3+2)=0

(%i1) z1:z^4-z;
(%o1) z^4-z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=(2^(1/3)*sqrt(3)*%i-2^(1/3))/2,z=-(2^(1/3)*sqrt(3)*%i+2^(1/3))/2,z=2^(1/3),z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [1,1,1,1]
(%i4) z2:z1^4-z1;
(%o4) (z^4-z)^4-z^4+z
(%i5) solve(z2=z);
(%o5) [z=(2^(1/3)*sqrt(3)*%i-2^(1/3))/2,z=-(2^(1/3)*sqrt(3)*%i+2^(1/3))/2,z=2^(1/3),z=((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i-1))/2,z=-((%i+1)^(1/3)*(sqrt(3)*%i+1))/2,z=(%i+1)^(1/3),z=(sqrt(3)*(1-%i)^(1/3)*%i-(1-%i)^(1/3))/2,z=-(sqrt(3)*(1-%i)^(1/3)*%i+(1-%i)^(1/3))/2,z=(1-%i)^(1/3),z=0]
(%i6) multiplicities;
(%o6) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,7]

花瓣數 = 6

$m*q=3*2=6$

吸引向量 內角分母 $\theta ={\frac {p}{q}}={\frac {1}{2}}$ 是 $q=2$，所以需要檢查函式的第二次迭代。

(%i5) z1:z^4-z;
(%o5) z^4-z
(%i6) z2:z1^4-z1;
(%o6) (z^4-z)^4-z^4+z
(%i8) expand(z2);
(%o8) z^16-4*z^13+6*z^10-4*z^7+z

z 後面的下一個項是 -4z^7。然後

• k = 7，n=m*q = k-1 = 6
• a = -4

吸引向量滿足

$nav^{n}=-1$

所以這裡

$-24v^{6}=-1$

$v^{6}={\frac {1}{24}}$

可以使用 Maxima CAS 來解決。

(%i10) s:solve(z^6=1/24);
(%o10) [z=(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=-1/(sqrt(2)*3^(1/6)),z=-(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=-(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),z=1/(sqrt(2)*3^(1/6))]
(%i11) s:map(rhs,s);
(%o11) [(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),-1/(sqrt(2)*3^(1/6)),-(sqrt(3)*%i+1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),-(sqrt(3)*%i-1)/(2^(3/2)*3^(1/6)),1/(sqrt(2)*3^(1/6))]
(%i12) s:map('float,s);
(%o12) [0.29439796075012*(1.732050807568877*%i+1.0),0.29439796075012*(1.732050807568877*%i-1.0),-0.58879592150024,-0.29439796075012*(1.732050807568877*%i+1.0),-0.29439796075012*(1.732050807568877*%i-1.0),0.58879592150024]
(%i13) s:map(rectform,s);
(%o13) [0.50991222566388*%i+0.29439796075012,0.50991222566388*%i-0.29439796075012,-0.58879592150024,-0.50991222566388*%i-0.29439796075012,0.29439796075012-0.50991222566388*%i,0.58879592150024]
(%i14) s:map(carg_t,s);
(%o14) [0.5235987755983/%pi,1.047197551196598/%pi,1/2,1-1.047197551196598/%pi,1-0.5235987755983/%pi,0]
(%i15) s:map('float,s);
(%o15) [0.16666666666667,0.33333333333333,0.5,0.66666666666667,0.83333333333333,0.0]

所以臨界點位於吸引向量上。因此，臨界軌道在迭代下會直線趨向原點。

如何計算 $f_{\lambda }(z)$

(%i2) z:x+y*%i;
(%o2) %i*y+x
(%i3) realpart(z^4-z);
(%o3) y^4-6*x^2*y^2+x^4-x
(%i4) imagpart(z^4-z);
(%o4) -4*x*y^3+4*x^3*y-y

臨界點

s:GiveListOfCriticalPoints(f(z))
(%o8) [0.54556181798586*%i-0.31498026247372,-0.54556181798586*%i-0.31498026247372,0.62996052494744]

這些點依次具有以下引數：1/3, 2/3, 0

z^5 + m*z

動態平面

z^5 + z

Julia 集合 z+z^5。影像和原始碼

尋找根及其重數 

$z^{5}+z=z$

$z^{5}=0$

所以根 z=0 的重數為 5。這意味著存在一個具有 4 個花瓣的 花

around fixed point z=0.

如何計算

(%i23)  z:x+y*%i;
(%o23) %i*y+x
(%i24) realpart(z+z^5);
(%o24) 5*x*y^4-10*x^3*y^2+x^5+x
(%i25) imagpart(z+z^5);
(%o25) y^5-10*x^2*y^3+5*x^4*y+y

在 c 程式中，必須使用臨時變數，這樣它可以

tempx = 5*x*y*y*y*y-10*x*x*x*y*y + x*x*x*x*x + x ; // temporary variable
y = y*y*y*y*y -10*x*x*y*y*y + 5*x*x*x*x*y + y ;
x=tempx;

它可以進行 最佳化

"... 逃逸時間演算法將花費無限的時間來生成這種型別的影像，因為動力學在那裡非常緩慢。如果你想要 1/100 的解析度，那麼透過迭代 f(z)=z+z^5 來將點 z0=0.01 移動到 z=2，大約需要 2*10^8 次迭代。"( 馬克·麥克盧爾

"這幅圖顯示了 f(z) = z + z^5 的 Julia 集合，它在 z = 0 處有一個無差異的不動點。(f(0) = 0 且 f '(0) = 1。)

4 條線

Re z = 0 and Im z = 0 and Re z = Im z and Re z = -Im z 

在 f 的迭代下是不變的。

在 Im z = 0 上：f(x) = x + x^5

在 Re z = 0 上：f(ix) = ix + (ix)^5 = ix + i^5 x^5 = i(x+x^5)

在 Re z = Im z 上，f(z) = r e^(i pi/4) + r^5 e^(i 5 pi/4) = e^ (i pi/4)(r - r^5)

在 Re z = -Im z 上，f(z) = = r e^(i 3pi/4) + r^5 e^(i 15 pi/4) = e^ (i 3pi/4)(r - r^5)

使用一維分析，很容易證明 f(x) = x + x^5 在 x = 0 處有一個排斥不動點，而 f(x) = x - x^5 在 x = 0 處有一個吸引不動點。因此，沿著四條不變線，0 在前兩條線上是吸引的，而在後兩條線上是排斥的。從 0 排斥出的點以藍色陰影顯示，而吸引到 0 的點以棕色陰影顯示。0 有四個吸引花瓣，它們以棕色陰影顯示。(一個簡單連通區域 C 是一個無差異不動點 p 的花瓣，如果 p 包含在 C 的邊界中，並且對於 C 中的每個 z，

F^n(z) -> p (參見 Devaney - 1987)"

6 次方

z^6+A*z+c

c=(-6145144-20171676*i) * 2^-25 = (-6145144 - 20171676 i)/2^25 = -0.1831395626068115234375 - 0.60116279125213623046875 i

臨界點

• 使用 WolframAlfa

• 
  Julia 集合 fc(z)= z^6+A*z+c，其中 c = 4.6875e-1 - 5.703125e-1 *I 且 A = 6.96854889392852783203125e-2 - 1.07958018779754638671875e-1*I.png]]
• 

列表

z = -0.454407 + 0.0918858 I 
z = -0.227808 - 0.403772 I 
z = -0.0530308 + 0.460561 I 
z = 0.313614 - 0.341431 I 
z = 0.421632 + 0.192756 I

更高精度

+0.4216319827875524	+0.1927564710317439*%i
-0.4544068504035357	+0.09188580053693407*%i
-0.2278080284907348 	-0.4037723222177803*%i
+0.3136137458861571	-0.3414308193839966*%i
-0.05303084977943909	+0.4605608700330989*%i

z^6+m*z

動力學平面

z6+z 在平面 [-1.2;1.2]x[-1.2;1.2] 上。它有 5 個花瓣。

z^14 + m*z

動態平面

z^14 - z

f(z) = z^14 - z 的 Julia 集。影像和 c 原始碼

f(z) = z^14 - z 的臨界軌道。影像和 Maxima CAS 原始碼

如何計算迭代

/* Maxima CAS session */
(%i1) z:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) z1:z^14-z;
(%o2) (%i*y+x)^14-%i*y-x
(%i3) realpart(z1);
(%o3) -y^14+91*x^2*y^12-1001*x^4*y^10+3003*x^6*y^8-3003*x^8*y^6+1001*x^10*y^4-91*x^12*y^2+x^14-x
(%i4) imagpart(z1);
(%o4) 14*x*y^13-364*x^3*y^11+2002*x^5*y^9-3432*x^7*y^7+2002*x^9*y^5-364*x^11*y^3+14*x^13*y-y

f(z)=z^14-z，在 [-1,2;1,2]x[-1,2;1,2] 上有 26 個花瓣。與邁克爾·貝克爾的影像比較。

如何找到不動點 

(%i1) z1:z^14-z;
(%o1) z^14-z
(%i2) solve(z1=z);
(%o2) [z=2^(1/13)*%e^((2*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((4*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^((6*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((8*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^((10*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((12*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^(-(12*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(10*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^(-(8*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(6*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13)*%e^(-(4*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(2*%i*%pi)/13),
     z=2^(1/13),z=0]
(%i3) multiplicities;
(%o3) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%i4) z2:z1^14-z1;
(%o4) (z^14-z)^14-z^14+z
(%i5) solve(z2=z);
(%o5) [z=2^(1/13)*%e^((2*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((4*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^((6*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((8*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^((10*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^((12*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^(-(12*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(10*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^(-(8*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(6*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13)*%e^(-(4*%i*%pi)/13),z=2^(1/13)*%e^(-(2*%i*%pi)/13),
   z=2^(1/13),z=0,0=z^78-7*z^65+21*z^52-35*z^39+35*z^26-21*z^13+7,
   0=z^78-5*z^65+11*z^52-13*z^39+9*z^26-3*z^13+1]
(%i6) multiplicities;
(%o6) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,27,1,1]

z^15 +m*z

動態平面

z^15-z

f(z)= z^15-z 的 Julia 集

f(z)= z^15-z 的臨界點和軌道

如何計算迭代 

/* Maxima CAS session */
(%i1) z:x+y*%i;
(%o1) %i*y+x
(%i2) z1:z^15-z;
(%o2) (%i*y+x)^15-%i*y-x
(%i3) realpart(z1);
(%o3) -15*x*y^14+455*x^3*y^12-3003*x^5*y^10+6435*x^7*y^8-5005*x^9*y^6+1365*x^11*y^4-105*x^13*y^2+x^15-x
(%i4) imagpart(z1);
(%o4) -y^15+105*x^2*y^13-1365*x^4*y^11+5005*x^6*y^9-6435*x^8*y^7+3003*x^10*y^5-455*x^12*y^3+15*x^14*y-y

臨界點

(%i1) m:-1;
f:z^15+ m*z;
d:diff(f,z,1);
s:solve(d=0,z)$
s:map(rhs,s)$
s:map(rectform,s)$
s:map('float,s);
multiplicities;
(%o1) -1
(%o2) z^15-z
(%o3) 15*z^14-1
(%o7) 
[0.35757475986465*%i+0.74251163973317,
0.64432745317147*%i+0.51383399763062,
0.80346319222004*%i+0.1833852305369,
0.80346319222004*%i-0.1833852305369,
0.64432745317147*%i-0.51383399763062,
0.35757475986465*%i-0.74251163973317,
-0.8241257452789,
-0.35757475986465*%i-0.74251163973317,
-0.64432745317147*%i-0.51383399763062,
-0.80346319222004*%i-0.1833852305369,
0.1833852305369-0.80346319222004*%i,
0.51383399763062-0.64432745317147*%i,
0.74251163973317-0.35757475986465*%i,
0.8241257452789]
(%o8) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

這意味著這裡有 14 個臨界點和 14 個臨界軌道。

不動點 

kill(all);
remvalue(all);

/*------------- functions definitions ---------*/

/* function */
f(z):=z^15 -z;

/* find fixed points  returns a list */
GiveFixedPoints():= block
(
  [s],
  s:solve(f(z)=z),
  /* remove "z="  from list s */
  s:map('rhs,s),
  s:map('rectform,s),
  s:map('float,s),
  return(s)
)$

compile(all);

ff:GiveFixedPoints();
multiplicities;
length(s);

for i:1 thru length(ff) step 1 do
  (z:ff[i],
   disp("z= ",z, " abs(d(z))= ",abs(15*z^14-1)));

結果是 

(%i12) ff:GiveFixedPoints()
(%o12) [0.45590621928146*%i+0.94669901916834,0.82151462051137*%i+0.65513604843564,1.024411975933374*%i+0.23381534859391,
1.024411975933374*%i-0.23381534859391,0.82151462051137*%i-0.65513604843564,0.45590621928146*%i-0.94669901916834,-1.050756638653219,-
0.45590621928146*%i-0.94669901916834,-0.82151462051137*%i-0.65513604843564,-1.024411975933374*%i-0.23381534859391,0.23381534859391-
1.024411975933374*%i,0.65513604843564-0.82151462051137*%i,0.94669901916834-0.45590621928146*%i,1.050756638653219,0.0]
(%i13) multiplicities
(%o13) [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]
(%i14) length(s)
(%o14) 14
(%i15) for i thru length(ff) do (z:ff[i],disp("z= ",z," abs(d(z))= ",abs(15*z^14-1)))
z= 0.45590621928146*%i+0.94669901916834 ; abs(d(z))= 28.99999999999996
z= 0.82151462051137*%i+0.65513604843564 ; abs(d(z))= 28.99999999999998
z= 1.024411975933374*%i+0.23381534859391 ; abs(d(z))= 28.99999999999999
z= 1.024411975933374*%i-0.23381534859391 ; abs(d(z))=  28.99999999999997
z= 0.82151462051137*%i-0.65513604843564 ; abs(d(z))= 29.00000000000001
z= 0.45590621928146*%i-0.94669901916834 ; abs(d(z))=  28.99999999999995
z= -1.050756638653219 ;                   abs(d(z))= 29.00000000000003
z=  -0.45590621928146*%i-0.94669901916834; abs(d(z))= 28.99999999999995
z= -0.82151462051137*%i-0.65513604843564; abs(d(z))=  29.00000000000001
z= -1.024411975933374*%i-0.23381534859391 ; abs(d(z))= 28.99999999999997
z= 0.23381534859391-1.024411975933374*%i abs(d(z))= 28.99999999999999
z= 0.65513604843564-0.82151462051137*%i ; abs(d(z))= 28.99999999999998
z= 0.94669901916834-0.45590621928146*%i ; abs(d(z))=  28.99999999999996
z= 1.050756638653219 ;                    abs(d(z))= 29.00000000000003
z= 0.0 ;                                   abs(d(z))= 1.0

所以只有 z=0 是拋物線不動點，其餘都是排斥點

其他

• 多重brot
• z^2 +cz^5

z^5+m*z^4+z

動力學平面

m = 08+0.8i

臨界軌道 f(z) =z^5 +(0.8+0.8)*z^4 + z

描述

• 對映 : $f(z)=z^{5}+(0.8+0.8i)z^{4}+z$
• 係數按升序排列（從 ao 到 an）：0,1,0,0, 0.8+0.8i, 1
• ListOfCriticalPoints [(- 0.7558074500261052 %i) - 0.7558074500261052, 0.2793534499540583 %i - 0.5310341598343944, 0.2793534499540583 - 0.5310341598343943 %i, 0.3674881599064412 %i + 0.3674881599064413]
• 不動點 : [(- 0.8 %i) - 0.8, 0.0]，穩定性 : [0.6384000000000008, 1.0]

m=0.8+0.4i

• 
  f(z)=z^5+m*z^4+z 的拋物線 Julia 集，其中 m = 0.8+0.4*i
• 
  臨界軌道

廣義冪設定下的內部動力學

當冪不為 2.0 時，集合的軌道動力學可能會變得更加複雜。迭代函式可以變成 多值，然後集合的結構受到 '任意' 選擇 的影響，選擇哪個值。

參見

• commons:Category:Complex polynomial maps
• 迭代函式的導數
• Mark McClure : 多項式 Julia 集的視覺化，f(z) = an*z^n+ ... + a2*z^2 + a1*z + a0 的係數 a0, a1, a2, a3, ....，例如 : 1.42+0.37i,-1.5,0,1
• 探索四維 Mandelbrot 集
• Clifford A. Reiter 的橢圓曲線 Julia 集
• FF: Julia 集：真實形狀和逃逸時間