複數有理函式的迭代^[1]^[2]^[3]

示例

牛頓分形
commons:Category:Complex rational maps
Suzanne Boyd 和 Alexander J. Mitchell 在 2023 年發表的“Generalized McMullen Maps 的有界性軌跡和嬰兒 Mandelbrot 集”
馬克·麥克盧爾：黎曼球面上的一個 Julia 集
f(z)=z2/(z9-z+0,025) ^[4]
f(z)=(z3-z)/(dz2+1)，其中 d=-0,003+0,995i ^[5]
f(z)=(z3-z)/(dz2+1)，其中 d=1,001· e2Pi/30 ^[6]
Xender 的 Multibrot 集^[7]
$f_{\lambda }(z)=z^{n}+{\frac {\lambda }{z^{d}}}$ ^[8]
馬克·麥克盧爾的 Rational Julia Sets
f(z) = (z^n+c)/(c^n+z)，對於 n = -2 ^[9]
Jasper Weinrich Burd：氣泡浴 Julia 集的 Thompson 類群
安德斯·桑德伯格在 2004 年發表的“鮑魚分形”
(z2-1)/(z2+1)。它在 ±1 處有簡單的零點，在 ±i 處有簡單的極點。
Shigehiro Ushiki = ComplexExplorer 頁面
沃爾夫·榮格的“具有超吸引 2 週期的有理對映”
胡軍和 Arkady Etkin 的“具有逃逸臨界點的三次有理對映的 Julia 集”
駱育生在 2021 年發表的“關於具有有限連線 Fatou 集的雙曲有理對映”
駱育生在 2021 年發表的“關於幾何有限退化 I：主要雙曲分量的邊界”
駱育生在 2021 年發表的“關於幾何有限退化 II：收斂和發散”
math.stackexchange 問題：如何計算負 Multibrot 集
尤爾根·邁爾的“奇異 Julia 集”
存在 Julia 集為整個平面的有理函式。第一個例子由 Lattès 給出： $R(z)={\frac {(z^{2}+1)^{2}}{4z(z^{2}-1)}}$ ^[10]
邱維元、楊飛、尹永成的“Julia 集為 Cantor 圓的有理對映”
Petersen, C. L. 和 S. Zakeri。“關於具有 Siegel 圓盤的典型二次多項式的 Julia 集”。《數學年鑑》，第 159 卷，第 1 期，2004 年，第 1-52 頁。
沈亮、吳盛建的“關於具有兩個 Siegel 圓盤的二次有理對映的註記”。《中國科學數學》（英文版）。2010 年 7 月，第 26 卷，第 7 期，第 1393-1402 頁。線上發表日期：2010 年 6 月 15 日。DOI：10.1007/s10114-010-6611-3 Http://www.ActaMath.com
克里斯·金的“Mandelbrot 對映”
fractalforums.org : z-plus-c2-z3-plus-c $f(z)={\frac {\left(z+c\right)^{2}}{z^{3}+c}}$

相簿

有理函式
${\frac {z}{z-1}}$
${\frac {z^{2}}{z^{2}-1}}$
${\frac {z^{3}}{z^{3}-1}}$
${\frac {z^{4}}{z^{4}-1}}$
${\frac {z^{5}}{z^{5}-1}}$
${\frac {z^{7}}{z^{7}-1}}$

有理函式
${\frac {z^{4}+0.05}{z^{4}-1}}$

${\frac {z^{3}}{z^{5}-1}}$
${\frac {z^{4}}{z^{5}-1}}$
${\frac {z^{5}}{z^{5}-1}}$
${\frac {z^{6}}{z^{5}-1}}$
${\frac {z^{7}}{z^{5}-1}}$

${\frac {(z-4i+3)(z-2-3i)z}{(z+2i+4)(z+3i-2)}}$

Blaschke 分式

對臨界點的分析

kill(all);
remvalue(all);
display2d:false;
ratprint : false; /* remove "rat :replaced " */



rho : -0.6170144002709304 +0.7869518599370003*%i;

define(f(z), rho * z^2 * (z-3)/(1-3*z));

/* first derivativa wrt z */
define( d(z), diff(f(z),z,1));


/* hipow does not expand expr, so hipow (expr, x) and hipow (expand (expr, x)) may yield different results */
n : hipow(num(expand(f(z))),z);
m : hipow(denom(expand(f(z))),z);

/* check if infinity is a fixed point */
limit(f(z),z,infinity);



/* finite critical points */

s:solve(d(z)=0)$
s : map(rhs,s)$
s : map('float,s)$
s : map('rectform,s)$

所以有 3 個臨界點

2 個有限臨界點：z=1.0 和 z= 0.0
無窮大

動力學平面包含 3 個吸引域

吸引不動點 z = 無窮大（超吸引）的吸引域，有無數個連通分支
吸引不動點 z = 0（超吸引）的吸引域，有無數個連通分支
拋物型 3 週期迴圈的吸引域（其中 z= 1 為臨界點）

有限 Blaschke 積

$B_{n}(z)$ 是一個 n 次有限 Blaschke 積。^[11] 它是一個：^[12]

有理函式
在開單位圓盤上的解析函式，使得 *f* 可以擴充套件到閉單位圓盤上的連續函式，該函式將單位圓對映到自身
在開單位圓盤內沒有極點
特別地，如果 *ƒ* 滿足上述條件，並且在單位圓內沒有零點，那麼 *ƒ* 為常數（這一事實也是最大值原理（應用於諧函式 log(|*ƒ*(*z*)|)）的推論）。
Blaschke 積 B 是圓盤倍增對映 R(z) = z^2 （等價於 θ → 2θ (mod 1)）的有理擾動。
一個有限 Blaschke 積可以透過其臨界點集唯一地描述
使圓盤固定的有理對映 = 使閉單位圓盤 D 對映到自身的對映
它們的迭代理論可以從 Fuchsian 群的角度進行分析。
雙曲平面上的多項式 = 雙曲多項式
一個有限 Blaschke 積，限制在單位圓上，是一個光滑的覆蓋對映
單位圓盤 D、單位圓 ∂D 和閉單位圓盤補集 C\D 都是 B 的完全不變集

B_{n}(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}

其中

$\zeta$ 是一個模為 1 的常數。它是一個位於單位圓上的點： $|\zeta |=1$
$m_{i}$ 是零點的重數 $a_{i}$
$(a_{i})_{i=1}^{n}$ 是開單位圓盤 $|a_{i}|<1$ 中 n 個點的有限序列。

(a_{i})_{i=1}^{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}).

Blaschke 積的構建塊^[13] 是以下形式的 Möbius 變換：

$b_{k}(z)=e^{i\theta k}{\frac {a_{k}-z}{1-{\overline {a_{k}}}z}}$

其中

ak ∈ D := {z ∈ C|, |z| < 1}
θk ∈ R.

有限（無限）Blaschke 積具有以下形式：

$w=B(z)=\prod _{k=1}^{n}b_{k}(z)$

示例

Curtis T McMullen 的二次有理對映

分類

類似於 Möbius 變換，有限 Blaschke 積存在一個分類。^[14]

如果 B 的 Denjoy-Wolff 點 z0 位於 D 中，則 B 為橢圓型。|B' (z0)| < 1.
如果 B 的 Denjoy-Wolff 點 z0 位於 ∂D 上且 B'(z0) < 1，則 B 為雙曲型。
如果 B 的 Denjoy-Wolff 點 z0 位於 ∂D 上且 B'(z0) = 1，則 B 為拋物型。

B 的 **Denjoy-Wolff 點** 是唯一的 z0 ∈ D，使得 $B^{n}(z)\to z_{0}$ 對於所有 z ∈ D 成立。

Julia 集

令 B 為度數為 d > 1 的有限 Blaschke 積。Julia 集 $J_{B}$ ，即迭代 $B^{n}$ 在任何鄰域上不正常的集合，要麼是單位圓 $S^{1}$ ，要麼是 Cantor 子集^[15] ^[16]

如果 B 為橢圓型，則 J(B) = ∂D，
如果 B 為雙曲型，則 J(B) 是 D 的 Cantor 子集，
如果 B 為拋物型，並且 z0 ∈ ∂D 是 B 的 Denjoy-Wolff 點，
- 如果 B(z0) = 0 ，則 J(B) = ∂D
- 如果 $B''(z0)\neq 0.$ ，則 J(B) 是 ∂D 的 Cantor 子集。

BDM 的邊界

臨界軌道

McMullen 對映

奇異擾動對映，也稱為 McMullen 對映^[17]

  $R_{\lambda }(z)=z^{m}+\lambda /z^{d}$

度數 2

反向 Basilica Julia 集

函式： $f(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}-1}}$

maxima

Maxima 5.41.0 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.12
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) display2d:false;

(%o1) false
(%i2) f:z^2/(z^2-1);

(%o2) z^2/(z^2-1)
(%i3) dz:diff(f,z,1);

(%o3) (2*z)/(z^2-1)-(2*z^3)/(z^2-1)^2
(%i4) s:solve(f=z);

(%o4) [z = -(sqrt(5)-1)/2,z = (sqrt(5)+1)/2,z = 0]
(%i5) s:map('float,s);

(%o5) [z = -0.6180339887498949,z = 1.618033988749895,z = 0.0]
(%i6)

因此，不動點 $z:f(z)=z$

z = -0.6180339887498949
z = 1.618033988749895
z = 0.0

泡泡浴 Julia 集

二次有理函式 f

f(z)={\frac {1-z^{2}}{z^{2}}}

關於 z 的導數為

f'(z)={\frac {-2}{z^{3}}}

f 的 Julia 集被稱為泡泡浴 Julia 集。 ^[18] 它被稱為泡泡浴，因為它在視覺上與一桶泡泡相似。

函式 f 在黎曼球面上的所有 z 中都有定義 ${\hat {\mathbf {C} }}$ = 它在整個黎曼球面上定義

f:{\hat {\mathbf {C} }}\to {\hat {\mathbf {C} }}

f 的 Fatou 集是 3 迴圈的吸引盆，該 3 迴圈由點 0、-1 和無窮大組成。它是唯一一個吸引迴圈，並且是超吸引迴圈
Julia 集 J(f) 是其軌道不被吸引到上述 3 迴圈的點的集合
f 的唯一臨界點是
- z = 0，因為它是 d(z) 的 3 階極點，是 1/d(z) 的零點
- z = 無窮大，因為它是函式 d(z) 的零點

Maxima CAS 程式碼

kill(all);
remvalue(all);
display2d:false;

define(f(z), (1 -z^2)/(z^2));

(%o3) f(z):=(1-z^2)/z^2
define( d(z), ratsimp(diff(f(z),z,1)));

(%o13) d(z):=-2/z^3
(%i14) limit(d(z),z,infinity);

(%o14) 0
(%i15) limit(d(z),z,0);

(%o15) infinity

(%i2) f(-1);
(%o2)                                  0
(%i3) limit(d(z),z,0);
(%o3)                             limit  d(z)
                                  z -> 0
(%i4) limit(f(z),z,0);
(%o4)                                 inf
(%i5) limit(f(z),z,inf);
(%o5)                                 - 1

週期迴圈的穩定性

kill(all);
display2d:false;
ratprint : false; /* remove "rat :replaced " */


define(f(z), (1 -z^2)/(z^2));

F(z0):= block(
	[z],
	if is(z0 = 0) then 	z: limit(f(z),z,0)
	elseif is(z0 = infinity) then z: limit(f(z),z,infinity)
	elseif is(z0 = inf) then z: limit(f(z),z,inf)
	else z:f(z0),
	
	return(z)
)$

define( dz(z), ratsimp(diff(f(z),z,1)));

Dz(z0) := block(

	[m,z],
	if is(z0 = 0) then m: limit(dz(z),z,0)
	elseif is(z0 = infinity) then m: limit(dz(z),z,infinity)
	elseif is(z0 = inf) then m: limit(dz(z),z,inf)
	else m:dz(z0),
	
	return(m)

)$

GiveStability(z0, p):=block(
	[z,d],
	
	/* initial values */
	d : 1,
	z : z0,
	
	for i:1 thru p step 1 do (
	
		d : Dz(z)*d,	
		z: F(z)
		/*print("i = ", 0, "  d =",d, "  z = ", z)*/
	),
	
	return (cabs(d))
)$

GiveStability(-1,3);

另請參閱

Boettcher 對映

由 Michael Becker 編寫的 2 次

1 個週期 4 盆

3 次

對映的組成部分 $f(z)=z-(z^{3}-1)/3z^{2}$ 包含吸引點，這些吸引點是 $z^{3}=1$ 的解。這是因為該對映是用於查詢方程 $z^{3}=1$ 的解的牛頓-拉夫森公式。這些解自然必須是吸引不動點。

由 Michael Becker 編寫的 3 次

1 個週期 2 盆

$f(z)={\frac {1}{z^{3}+z*(-3-3*I)}}$

2 個臨界點：{ -0.4550898605622273*I -1.098684113467809, 0.4550898605622273*I+1.098684113467809}；兩個臨界點都趨向於週期迴圈。

只有一個吸引週期迴圈：週期 2 迴圈 = {0, 無窮大}。

整個平面（球面）是週期 2 迴圈（分為 2 個部分）的吸引盆。Julia 集是邊界。

2 個週期 2 盆

僅 Julia 集
Julia 集、吸引盆、臨界軌道、吸引迴圈

功能

  $f(z)={\frac {1}{z^{3}+a*z+b}}$

其中

a = 2.099609375
b = 0.349609375

衍生物

 d(z):=-(3*z^2+2.099609375)/(z^3+2.099609375*z+0.349609375)^2

臨界點

  [-0.8365822085525526*%i,0.8365822085525526*%i]

也可以使用 Wolfram Alpha 檢查

 solve (3*z^2+2.099609375)/(z^3+2.099609375*z+0.349609375)^2=0

結果

 z = ± (5/16)* i* sqrt(43/6))

這兩個是 2 個有限臨界點。

無窮大也是一個臨界點，因為一階導數的分母階數嚴格大於分子階數。在數值計算中，可以使用臨界值（臨界點的像）

  $f(\infty )=0$

有兩個週期 2 迴圈

{ +0.4101296722285255 +0.5079485669960778*I , +0.4101296722285255 -0.5079485669960778*I };
{ +1.6890328811664648 +0.0000000000000000*I , +0.1147519899962205 +0.0000000000000000*I };

兩個有限臨界點都落入第一個迴圈。無窮大（或其像零）落入第二個迴圈（在水平軸上）

無窮大不是不動點

remvalue(all);
display2d:false;
define(f(z), 1/(z^3+ 2.099609375*z +  0.349609375));
(%i5)limit(f(z),z,infinity);
(%o5) 0
(%i6) limit(f(z),z,0);
(%o6) 2.860335195530726

5 次

作者：L. Javier Hernandez Paricio

有理對映 $h(z)={\frac {1+4z^{5}}{5z^{4}}}$ 有六個不動點

∞（排斥）
−0,809017 − 0,587785i
−0,809017 +0,587785i
0,309017 − 0,951057i
0,309017 + 0,951057i
1

與不動點（6= ∞）相關聯的端點的盆地與牛頓-拉夫森數值方法應用於尋找方程 $z^{5}-1=0$ 的根時的吸引盆地相同。^[19]

degree 6

degree 6 函式 f 的 Julia 集 ^[20]

$f(z)=z^{2}{\frac {3-z^{4}}{2}}$

在以下位置有 3 個超吸引不動點

z = 0
z = 1
z = ∞

所有其他臨界點都在 1 的反向軌道上。

如何計算迭代

z:x+y*%i;
z1:z^2*(3-z^4)/2;
realpart(z1);
((x^2−y^2)*(−y^4+6*x^2*y^2−x^4+3)−2*x*y*(4*x*y^3−4*x^3*y))/2
imagpart(z1);
(2*x*y*(−y^4+6*x^2*y^2−x^4+3)+(x^2−y^2)*(4*x*y^3−4*x^3*y))/2

使用 Maxima CAS 查詢不動點

z1:z^2*(3-z^4)/2;
s:solve(z1=z);
s:float(s);

結果

[z=−1.446857247913871,z=.7412709105660023,z=−1.357611535209976*%i−.1472068313260655,z=1.357611535209976*%i−.1472068313260655,z=1.0,z=0.0]

檢查根的重數

multiplicities;
[1,1,1,1,1,1]

 z1:z^2*(3-z^4)/2;
 s:solve(z1=z)$
 s:map(rhs,s)$
 f:z1;
 k:diff(f,z,1);
 define(d(z),k);
 m:map(d,s)$
 m:map(abs,m)$
 s:float(s);
 m:float(m);

結果：有 6 個不動點，其中 2 個是超吸引的 (m=0)，其餘是排斥的 (m>1)

 [−1.446857247913871,.7412709105660023,−1.357611535209976*%i−.1472068313260655,1.357611535209976*%i−.1472068313260655,1.0,0.0]
 [14.68114348748323,1.552374536603988,10.66447061028112,10.66447061028112,0.0,0.0]

臨界點

[%i,−1.0,−1.0*%i,1.0,0.0]

degree 9 作者：Michael Becker

參考文獻

透過臨界點描述 Blaschke 乘積作者：Oleg Ivrii，特拉維夫大學：影片，演示
mathoverflow 問題：finding-the-critical-points-of-a-degree-5-blaschke-product

另請參閱

[1] 複數多項式的 Julia 集及其計算機實現作者：CM Stroh

[2] Julia 集作者：Michael Becker.

[3] 具有拋物線不動點的有理對映族的動力學和分岔作者：R. HAGIHARA 和 J. HAWKINS

[4] (z)=z2/(z9-z+0,025) 作者：Esmeralda Rupp-Spangle

[5] (z)=(z3-z)/(dz2+1) 其中 d=-0,003+0,995i 作者：Esmeralda Rupp-Spangle

[6] (z)=(z3-z)/(dz2+1) 其中 d=1,001· e2Pi/30 作者：Esmeralda Rupp-Spangle

[7] 數字狂想曲作者：Xender

[8] 有理對映的 Julia 集作者：PAUL BLANCHARD，CUZZOCREO，ROBERT L. DEVANEY，DANIEL M. LOOK，ELIZABETH D. RUSSELL

[9] ractalforums：分形數學、混沌理論和研究> 一般討論 > Do z-->z/c² or z-->z*c² create a fractal

[10] th.stackexchange 問題：relation-between-filled-julia-set-and-julia-set-of-a-rational-function?

[11] 有限 Blaschke 乘積：概述作者：Stephan Ramon Garcia，Javad Mashreghi，William T. Ross

[12] 二維 Blaschke 乘積的動力學作者：ENRIQUE R. PUJALS 和 MICHAEL SHUB

[13] Blaschke 乘積對映的彩色視覺化作者：Cristina Ballantine 和 Dorin Ghisa

[14] 外擺線和 Blaschke 乘積作者：Chunlei Cao，Alastair Fletcher，Zhuan Ye

[15] 有限 Blaschke 乘積的收斂指數作者：Gavin L. Jones. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica Volumen 22, 1997, 245–254

[16] Blaschke 乘積和引數空間作者：Katherine Plikuhn

[17] 有理對映的 Julia 集的對稱性作者：Gustavo Rodrigues Ferreira

[18] 泡泡浴 Julia 集的類似湯姆森群作者：Jasper Weinrich-Burd，2013

[19] 外部離散半流：端點的盆地作者：L. Javier Hernandez Paricio，Miguel Maranon Grandes，M. Teresa Rivas Rodrıguez

[20] 關於 Thurston 的拉回對映作者：XAVIER BUFF，ADAM EPSTEIN，SARAH KOCH 和 KEVIN PILGRIM

[1]

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