分形/彩色Julia集

視覺化複函式

HSV投影中的顏色空間

假設我們想要視覺化一個復值函式，比如

${\begin{aligned}f:\mathbb {C} &\;\to \mathbb {C} \\z&\;\mapsto w=f(z)\\\end{aligned}}$

為了給$w$著色，我們將其分解為其絕對值 $|w|$ 和其輻角 $\arg(w)$.

然後，我們將顏色

$\mathrm {HSV} \left({\tfrac {1}{2\pi }}\arg(w),\;1-g_{a_{s},b_{s}}(|w|),\;g_{a_{v},b_{v}}(|w|)\right)$

分配給表示$z$ 的點。在這個HSV顏色空間中，所有值都在 0 到 1 之間。HSV 顏色的第一個分量（色調）僅取決於$w$ 的輻角，而第二個和第三個分量（飽和度和明度）僅取決於$w$ 的絕對值。我們在$w$ 上使用變換 $g_{a,b}$ 將其對映到區間 $[0,1]$。關於$g$，參見章節輔助函式.

例子

索引為s（飽和度）的值控制飽和顏色向白色（或灰色）的過渡，即中間值 → 無限大。索引為h（值/色度）的值控制黑色嚮明亮的過渡，即零 → 非零。引數a控制過渡發生的位置：a只是劃分兩個區域（暗/亮、飽和/灰等）的圓的半徑。引數b控制過渡的銳度：b小 = 平滑，b大 = 銳利。

以下影像均顯示範圍 [-10,10]×[-10,10]$i$，並使用$a_{s}=5$（彩虹的半徑）和$a_{v}=1$（黑色圓盤的半徑）。

在 S 和 V 的意義交換的影像中，零用白色列印，而無窮大用黑色列印。

相簿

• 一些著色的例子
• 
  $b_{s}=b_{v}=10$
• 
  $b_{s}=b_{v}=1$
• 
  $b_{s}=0.05,b_{v}=1/3$
• 
  $b_{s}=0.05,b_{v}=1/3$
  S 和 V 的角色互換

• 分析 z→z²+c 的臨界點
• 
  n=1：起始值（顏色圖）
• 
  n=2
• 
  n=3
• 
  n=4
• 
  n=17
• 
  n=18
• 
  n=19
• 
  n=20

視覺化 Julia 集

Julia 集 和 Fatou 集 可以很漂亮。它們的計算機圖形生成可能很困難。

在本頁的剩餘部分，我們將研究一種可用於視覺化複函式 ƒ 的 Julia 集的方法。它的優點是您不需要知道迭代的吸引子

$z\mapsto f(z)$

生成的影像在 Fatou 部分將是平滑的。

概述：成像方法

請注意，還存在其他方法來對復動力系統進行著色，例如

逆迭代法 (IIM)

計算 ƒ 的原像，即計算反向軌道。由於不動點的穩定性從吸引轉變為排斥，反之亦然，人們只需選擇一個複數，然後觀察它在逆迭代下的變化情況。問題是結果不會均勻分佈在$J$中，而且您必須計算 ƒ 的逆。

按吸引速度著色 (CSA)

從用於著色的點陣中取一個值，進行迭代，直到迭代值接近吸引子。根據使點足夠接近吸引子所需的迭代次數對該點進行著色。

此方法通常用於視覺化多項式的 Julia 集和與牛頓著名方法（用於查詢函式的零點）相連的 Julia 集。度數 > 1 的多項式總是具有無窮大作為超吸引不動點。牛頓方法中出現的理性函式總是具有函式的根作為吸引不動點。然而，在這兩種情況下，可能存在其他吸引子，而且這些吸引子不一定只包含一個點。

逃逸時間演算法 (ETA)

如果 ∞ 是一個吸引子，即過程的一個不動點，那麼根據迭代次數（時間）對點進行著色，直到看到點逃逸到 ∞。如果點在最大迭代次數內沒有逃逸，那麼該點被著色為屬於 Julia 集或某個其他吸引子的盆地。此方法適用於多項式。最突出的 Julia 集是z→z²+c 的 Julia 集，其中c 是 Mandelbrot 集的元素或距離 Mandelbrot 集不遠。如果您看到這樣的 Julia 集的影像，那麼很可能使用了 ETA 來獲得影像。

柯西收斂演算法 (CCA)

在本頁的剩餘部分，我將介紹一種不同的方法，其基本思想與逃逸時間演算法相同。但是，不需要預先知道任何吸引盆地，並且可以將不同的吸引盆地分離並以不同的顏色著色。這種方法使用柯西收斂的概念。這種方法不是觀察點的軌道，而是觀察兩個相鄰點z 和 z+ε 的距離在迭代這兩個值時的變化情況。如果差值趨於 0，則該點將走向吸引子。如果差值不接近 0，則該點靠近（或部分屬於）Julia 集。

度量

令 $\varrho$ 是 緊化 的 複平面 到 黎曼球面 S₂ 上的典範投影。

$\varrho :{\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S_{2}$

這給了我們一個 度量 d: 作為複平面上兩點之間的距離，我們取他們在球面上的距離，即 正形線 的長度。這意味著度量以 π 為界，即使到 ∞（現在是北極）的距離也是有限的。

為了計算兩點 z 和 w 之間的距離，我們以這樣的方式旋轉球體 S₂，使得

1. w 對映到 0
2. z 對映到正實軸

經過這些變換後，距離就可以很容易地計算出來。旋轉可以透過一系列 等距 的 莫比烏斯變換 來完成。總之，我們得到

$t_{w}:z\mapsto {\begin{cases}|z|\;,&{\text{ if }}w=0\\{\textstyle {\frac {1}{|z|}}}\;,&{\text{ if }}w=\infty \\{\textstyle {\frac {1}{|w|}}}\;,&{\text{ if }}z=\infty \\&\\{\textstyle {\frac {1}{|w|}}}\cdot \left|{\frac {z{\overline {w}}-|w|^{2}}{z{\overline {w}}+1}}\right|\;,&{\text{ else}}\end{cases}}$

留給讀者作為練習。橫線表示 複共軛。度量為

$d(z,w)=\,\!2\arctan(t_{w}(z))$

d 引入的一個很好的特性是，以前在無窮遠處發散的序列現在收斂到無窮遠處，即收斂到 S₂ 的北極。

軌道的穩定性

回顧 Julia 集 的定義，該集合針對 壓縮對映 ƒ。該定義暗示了迭代的穩定性的一些事實

$z\mapsto f(z)\mapsto f^{2}(z)\mapsto f^{3}(z)\mapsto \cdots$

其中 ƒⁿ 表示 ƒ 的第 n 次迭代

$f^{\,n}=f\circ f\circ \cdots \circ f$

集合

$\{f^{\,n}(z)\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}$

稱為z的軌道（在 ƒ 下）。

如果z和w彼此靠近，並且屬於Fatou 集 F_ƒ，即 ƒ 的 Julia 集 J_ƒ 的補集，則兩個點z和w的軌道在某種意義上表現相似。如果z是J_ƒ的元素，則z和w將表現出相當不同的行為，即使w本身是J_ƒ的元素。

為了獲得軌道穩定性的概念，我們設定

$\Sigma _{n}(z)=\Sigma _{n}(z,\varepsilon )=\sum _{k\leqslant n}d\,(f^{k}(z),f^{k}(z+\varepsilon ))$

對於一個小 ε，以及上面的度量d。這意味著我們取兩個彼此靠近的點，然後我們總結它們的距離，因為 ƒ 使它們在黎曼球面上跳躍。請注意，對於任何固定的 ε，即使z是 Fatou 點，當n很大時，該和也會發散。

但是，我們可以使用 Σ_n 來衡量一個點離J_ƒ有多近：該和越大，迭代越不穩定，該點離 ƒ 的 Julia 集越近。

為了區分 Julia 集（或接近 Julia 集的點）的點和 Fatou 集中的點，我們需要一個標準。為了獲得這個標準，我們計算我們要著色的點的所有 Σ 值，即格點 Γ 中的所有點。計算完這些值後，我們進行一些統計，以獲得期望值 E 和標準差 σ 用於 Σ 值集：令

${\begin{aligned}E_{n}&=E_{n}(\Gamma ,\varepsilon )=E\left\{\log(\delta +\Sigma _{n}(z,\varepsilon ))\right\}_{\!z\,\in \,\Gamma }\\\sigma _{n}&={\sqrt {D_{n}}}\\\end{aligned}}$

提醒一下

${\begin{aligned}EX&={\textstyle {\frac {1}{|X|}}}\sum \limits _{x\in X}x\\D\!X&=EX^{2}-(EX)^{2}\\\end{aligned}}$

事實證明，Σ 值廣泛分佈在多個尺度上。因此，我們不直接使用 Σ。相反，我們使用 Σ 的對數。δ 值只是一個小的常數，以避免對數的輸入為零。

著色

現在，我們擁有了為一個點著色所需的一切

1. 選擇
   1. 一個點格點 $\Gamma$ 的點 $z$ 進行著色
   2. 要執行的迭代次數 $n$
   3. 一個小 $\varepsilon$
2. 對於所有點，計算 $\Sigma _{n}(z,\varepsilon )$
3. 計算 $E_{n}$ 和 $\sigma _{n}$
4. 計算

$J(z)=\,\ln(\delta +\Sigma _{n}(z))-K$

對於某個常數 $K$。 因為 $K$ 將用於將屬於 Julia 集的點 ($J(z)>0$) 與不屬於 Julia 集的點 ($J<0$) 分開，$K$ 的合理值大於 $E_{n}$。 嘗試設定如 $K=E_{n}+2\sigma _{n}$ 或 $E_{n}+\sigma _{n}$ 等等。 如果 $J(z)>0$，那麼我們將 $z$ 著色為屬於 Julia 集。 如果 $J(z)<0$，我們可以使用該值來為 Fatou 集著色。 如果我們知道某個吸引子，我們可以檢查 ƒ^$n$$(z)$ 是否接近它，並使用該資訊。

為了將值對映到飽和度和亮度的有效範圍內，我們使用第 輔助函式 h 部分中的函式 $h$。

修改

計算 $E_{n}$ 需要大量時間。 視覺化過程需要兩次傳遞

1. 計算來自所有 $\Sigma _{n}(z)$ 的 $E_{n}$
2. 使用 $E_{n}$ 和重新計算的 $\Sigma _{n}(z)$ 對點進行著色

或者

1. 計算並存儲所有 $\Sigma _{n}(z)$
2. 計算 $E_{n}$ 並對這些點進行著色

另一種方法看起來像這樣

找到最小的 $n$ 使得 $d_{k}(z,z+\varepsilon )$ 在所有 $k\geq n$ 上都低於給定的邊界。如果找不到這樣的 $n$，則假設 $z$ 是朱利亞集的元素。否則，使用 $n$ 對法圖集進行著色。

此演算法是逃逸時間演算法 (ETA) 的變體。請注意，在 ETA 中，點實際上不會逃逸（至少如果我們在球體上），它只是收斂到 ∞。這種方法類似。但是，我們不需要知道 ƒ 的吸引不動點。

到目前為止，我沒有嘗試修改後的版本。一個缺點可能是法圖集將不再出現平滑的著色。然後我不確定這種修改是否真的有優勢，因為迭代必須完成，直到達到給定的最大迭代次數。請注意，即使 $d_{n}$ 在某些 $n$ 上低於邊界，距離 $d_{k}$ 可能會再次升高。我無法確定這種影響是否至關重要或可以忽略不計...

相簿

• 
  $z\mapsto z^{2}$
• 
  $z\mapsto z^{2}+i$
• 
  $z\mapsto z^{2}-1$
• 
  ${}_{z\mapsto z^{2}-0.742+i/10}$
• 
  $z\mapsto N_{z^{3}-1}$
• 
  $z\mapsto N_{z^{3}-2z+2}$

$N$ 表示牛頓運算元

$N:f\mapsto {\mathit {id}}-{\frac {f}{f'}}$

使用臨界點吸收 (CPA)

之前的方法可以生成簡潔平滑的著色，並且對過程的動力學知識要求最低。然而，它非常耗時。以下方法是多項式逃逸時間演算法 (ETA) 的擴充套件。

令 ƒ 為度數為 d > 1 的複數上的多項式。這樣的多項式最多有 d 個臨界點：無窮大和 ƒ′ 的最多 d–1 個零點。眾所周知，過程 z→ƒ(z) 的每個吸引子至少吸收一個臨界點。假設 z_K 是一個臨界值，則 ƒⁿ(z_K) 會任意接近 ƒ 的一個吸引週期。

二次多項式 ƒ(z) = z² + c 的過程是最簡單的情況：臨界值為 0 和  ∞。由於 ∞ 吸收自身，只剩下 0，我們有以下情況。M 表示曼德布羅集合。

$c\notin M$

簡單情況。0 被 ∞ 吸收，J(ƒ) 僅由康托爾塵埃組成。可以使用逃逸時間到 ∞ 來對所有點進行著色。

$c\in M\setminus \partial M$

如果 c 是 M 內部的一個元素，則 0 將被一個 (超) 吸引週期吸收。計算

$w=w(c,n)=f^{n}(0)$

對於足夠大的 n。由於 w (基本上) 僅依賴於 c，因此可以在開始 J(ƒ) 的視覺化之前預先計算它。請注意，w 是可能具有多個元素的週期的元素，即 w 對於該週期來說只是唯一的。

然後，對 C 中的點 z 進行著色與 ETA 一樣簡單

• 如果 z 被 ∞ 吸收，請使用逃逸時間來對 z 進行著色。
• 如果 ƒⁿ(z) 接近 w，即如果 |ƒⁿ(z) – w| < ε 第一次出現，請使用該 n 來對 z 進行著色。
• 如果 ƒⁿ(z) 既不接近 ∞ 也未接近 w，則將 z 著色為 J(ƒ) 的一部分。只有很少的 z 會屬於此類。

輔助函式

輔助函式 t

一些 $t\,$

是一個平滑的、單調的 S形 從 −1 到 1 的轉換，它滿足 $t'(0)=1$ 和 $t(x)=-t(-x)$。有許多選擇。其中一些是

${\begin{aligned}t:\mathbb {R} &\to (-1,1)\\x&\mapsto \tanh \,x\\&\mapsto {\tfrac {2}{\pi }}\arctan \left({\tfrac {\pi }{2}}x\right)\\&\mapsto {\tfrac {2}{\pi }}\operatorname {gd} \left({\tfrac {\pi }{2}}x\right)\\&\mapsto {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\mapsto {\frac {x}{1+|x|}}\\\end{aligned}}$

gd 表示 古德曼函式。

• 所有函式都在 Desmos 圖 中。

輔助函式 h

$h_{a}\,$

輔助函式 $h_{a}$ 與 $t$ 幾乎相同，但它對映到 $(0,1)$，我們可以透過引數 $a$ 調整過渡速度。

${\begin{aligned}h_{a}:\mathbb {R} &\to (0,1)\\x\;&\mapsto {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}t(2ax)\end{aligned}}$

其中 $a>0$。那麼 $h_{a}$ 關於點 (0, 1/2) 對稱，並且

${\begin{alignedat}{2}h_{a}&(0)&&={\tfrac {1}{2}}\\h'_{a}&(0)&&=a\\h_{a}&(-\infty )&&=0^{+}\\h_{a}&(\infty )&&=1^{-}\\\end{alignedat}}$

負值被對映到 0 到 1/2 之間的數值。正值被對映到 1/2 到 1 之間的數值。引數 $a$ 控制過渡的速度。

如果我們想要一個下降函式，我們可以使用對稱性

$h_{a}(x)\,=1-h_{a}(-x)=1-h_{-a}(x)$

也就是說，我們取負 $x$ 或 $a$。

輔助函式 g

$g_{a,b}\,$

此函式將正數對映到區間 $[0,1)$。

${\begin{aligned}g_{a,b}:\mathbb {R} ^{\geqslant \,0}&\to (0,1)\\x\;&\mapsto {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\,t(2b\cdot a\cdot u(x/a))\end{aligned}}$

對於以下定義的某個函式$u$。如果$u$ 選擇得當，那麼對於$g$ 以下關係成立：

${\begin{array}{lll}g_{a,b}(0)&=&0\\g_{a,b}(\infty )&=&1\\g_{a,b}(a)&=&1/2\\g'_{a,b}(a)&=&b\\g'_{a,b}(x)&>&0{\text{ for }}x>0\end{array}}$

這意味著$g_{a,b}$

• 隨著$x$ 從$0$ 到$\infty$ 不斷增長，從 0 增長到 1
• 我們可以透過指定引數$a$ 來控制$g$ 穿過 0 到 1 之間中點的位置
• 我們可以透過指定引數$b$ 來控制$g$ 穿過點$(a,1/2)$ 的速度

我們剩下要做的就是確定函式$u$ 在$\mathbb {R} ^{>0}$ 上的形式

$u\,$

$u$ 必須滿足以下條件

${\begin{array}{lll}u(0^{+})&=&-\infty \\u(\infty )&=&\infty \\u(1)&=&0\\u'(1)&=&1\end{array}}$

對於 $u$ 我們設定

$u(x)={\tfrac {1}{2}}\left(x-{\tfrac {1}{x}}\right)$

輔助函式 *w*

$w_{a}\,$

此函式將正數對映到區間 $[0,1)$。

${\begin{aligned}w_{a}:\mathbb {R} ^{\geqslant \,0}&\to [0,1)\\x\;&\mapsto t(ax)\end{aligned}}$

透過 $a$ 我們可以控制它在原點的斜率

$w'(0)=\,a$

• 互動式 Desmos 繪製 $w$

圓弧透過 (0,0) 和 (1,1)

一條圓弧透過 (0,0) 和 (1,1)，在 (0,0) 處的斜率為 $a$，在 (1,1) 處的斜率為 $-1/a$

$\operatorname {arc} (x)={\begin{cases}x&;{\text{ if }}a=1\\y_{0}+\operatorname {sign} (\ln a){\sqrt {r^{2}-(x-x_{0})^{2}}}&;{\text{ if }}a\neq 1\\\end{cases}}$

其中

${\begin{aligned}x_{0}&={\frac {a}{a-1}}\\y_{0}&=1-x_{0}\\r&={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}$

圓心在直線 $y=1-x$ 上。

• Desmos 繪圖

另請參閱

• 對引數平面和曼德勃羅集進行著色
• 通用著色演算法： ( 畫素的特徵 -> 顏色 ): $T:scalarvalue\to colorvalue$