泛函分析/諧波分析/區域性緊群

介紹

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在本節中，我們將定義最著名的拓撲群類別，即區域性緊群。此類別包括緊群，而緊群又包括所有有限群、有限維李群等等。

習題

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預備知識

定義 9.2.1: 區域性緊群是指其底層拓撲空間是區域性緊的拓撲群。

示例

1. 所有緊群，因此所有有限群都是區域性緊群。
2. 離散群始終是區域性緊群。
3. 任何有限維向量空間都是區域性緊群（配備加法運算）。

希爾伯特空間 $l^{2}(\mathbb {N} )$ 在範數拓撲中不是區域性緊群。

命題： 區域性緊群的開子群始終是閉群。區域性緊群的閉子群是區域性緊群。

證明： 事實上，設 $H\subset G$ 是 $G$ 的一個開子群。選擇一個集合 $\{y_{j}\in G|\ j\in J\}$，每個元素 $y_{j}$ 代表一個在 $G/H$ 中的一個類，但選擇 $e$ 來代表 $H$ 的類。然後我們有不相交併集 $G=\sqcup _{j\in J}y_{j}H$。由於左乘以給定元素 $y_{j}$ 是 $H$ 和 $y_{j}H$ 之間的同胚，因此我們有每個這樣的集合在 $G$ 中是開集。因此，$H=eH$ 的補集在 $G$ 中是開集，因此 $H$ 也是閉集。

如果現在 $H\subset G$ 是 $G$ 的一個閉子群，令 $x\in H$。存在 $G$ 中 $x$ 的一個緊鄰域 $X$。但是，交集 $X\cap H$ 是 $H$ 中 $x$ 的一個緊鄰域。證畢。

結合上一命題的結論，我們得出結論：區域性緊群的開子群也是區域性緊的。

命題：令 $G$ 是一個拓撲群。為了使 $G$ 是區域性緊的，必須且只需要中性元素 $e$ 擁有一個緊鄰域。

證明：事實上，如果 $X$ 是 $e$ 的一個緊鄰域，那麼對於任何 $x\in X$，$Xx$ 是 $x$ 的一個緊鄰域，因為 $Xx=R_{x}(X)$ 是一個連續對映的像（參考練習（ref）左右乘法對映）。證畢。

附錄

在這裡，您將找到一個未排序的章節列表。其中一些列出的主題非常高階，而另一些則是幫助您完成數學之旅的工具。由於這是華夏公益教科書的最後一個標題，必要的書籍結尾也位於此處。

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• 定理列表
• 參考資料
• 索引