泛函分析/諧波分析/拓撲群

介紹

諧波分析中研究的主要代數結構是拓撲群。簡而言之，拓撲群是一個群，其底層集合具有與群結構相容的拓撲。

預備知識

定義 9.1.1： 一個拓撲群是一個三元組 $(G,*,\tau )$ ，其中 $(G,*)$ 是一個群， $(G,\tau )$ 是一個拓撲空間，使得：

乘積對映 $*:G\times G\rightarrow G$ 是連續的，其中 $G\times G$ 採用規範的積拓撲.
逆對映 $\iota :G\rightarrow G$ 是連續的。

我們稍微濫用一下符號，用 $G$ 表示一個拓撲群，當乘積和拓撲從上下文推斷出來時，除非我們需要小心處理某個情況，例如，當討論同一個群上的兩種不同拓撲時。

例子

任何配備離散拓撲的群都會變成拓撲群。
$\mathbb {R}$ ，以數字加法作為乘積，並使用通常的直線拓撲。更一般地，如果 $V$ 是一個有限維的 $\mathbb {K}$ -向量空間，那麼配備規範積拓撲和向量加法的 $V$ 是一個拓撲群。
如果 $V$ 是一個 $\mathbb {K}$ -向量空間，那麼集合 $GL(V)=\{T:V\rightarrow V|\ T$ 是線性且可逆的 $\}$ 是一個拓撲群，配備對映合成作為乘積，以及從向量空間 ${\text{End}}(V)$ 繼承的子空間拓撲。

以下命題給出了拓撲群的等價定義。

命題 9.1.2: 設 $(G,*)$ 是一個群，且 $(G,\tau )$ 是具有相同底集的拓撲空間。那麼 $(G,*,\tau )$ 是一個拓撲群當且僅當對映 $\phi :G\times G\rightarrow G$ ，由 $\phi (x,y)=xy^{-1}$ 給出，是連續的。

證明: 首先注意到我們可以將對映 $\phi$ 寫成 $\phi =*\circ id\times \iota :G\times G\rightarrow G$ 。假設 $(G,*,\tau )$ 是一個拓撲群。那麼，根據定義 9.1.1 中的 1 和 2， $\phi =\phi =*\circ (id\times \iota )$ 是連續對映的複合，因此是連續的。

反之，假設 $\phi =*\circ (id\times \iota )$ 是連續的。由於包含對映 $i_{2}:G\rightarrow G\times G$ 由 $i_{2}(y)=(e,y)$ 給出，是連續的。我們因此可以得出結論，複合對映 $\iota =\phi \circ i_{2}:G\rightarrow G$ 是連續的。最後，用類似的推理方法，乘積對映 $*=\phi \circ (id\times \iota )$ 是連續的。證畢

定義 9.1.3: 設 $(G_{1},*_{1},\tau _{1})$ 和 $(G_{2},*_{2},\tau _{2})$ 是拓撲群。拓撲群同態，或簡稱為 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 之間的同態，是連續的群同態 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ 。更準確地說，拓撲群同態是 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ ，滿足：

$\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$ 對於所有 $x,y\in G_{1}$ 成立。
$\phi$ 是拓撲空間 $(G_{1},\tau _{1})$ 和 $(G_{1},\tau _{2})$ 之間的連續對映。

拓撲群之間的同構是一個雙射連續對映，其逆對映也是連續的。

與純粹的代數群一樣，同構的拓撲群被認為是相同的拓撲群，除了在非常特殊的上下文中。

定義 9.1.5: 設 $G$ 是一個拓撲群， $H$ 是一個拓撲群，使得 $H$ 被視為一個純粹的代數群，是 $G$ 的子群。如果包含對映是連續的，我們就稱 $H$ 是 $G$ 的拓撲子群。

命題 9.1.6: 令 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ 為同態。那麼 $\phi (G_{1})\subset G_{2}$ 是拓撲子群，且 $\ker(\phi )\subset G_{1}$ 是正規拓撲子群。此外

證明：如果 $\phi$ 是同態，我們從群論知道，像 $\phi (G_{1})\subset G_{2}$ 是一個子群。但我們也從拓撲學中回憶到，連續對映的像是自然地配備了子空間拓撲。但是，將乘法和逆對映限制到 $\phi (G_{1})$ 是子空間拓撲下的連續的，因此 $\phi (G_{1})$ 是拓撲群。最後，我們從拓撲學中知道，子空間拓撲使得包含對映連續，因此 $\phi (G_{1})$ 是 $G_{2}$ 的拓撲子群。第二個斷言也遵循相同的推理思路。

我們使用純代數群的第一同構定理來推斷， ${\frac {G_{1}}{\ker(\phi )}}\simeq \phi (G_{1})$ 作為群，同構由 ${\tilde {\phi }}(x\ker(\phi ))=\phi (x)$ 給出。但由於對映 ${\tilde {\phi }}$ 是 $\phi$ 的商對映，它連續且開。這些性質加上滿射性表明， ${\tilde {\phi }}$ 是拓撲群的同構。證畢。

引理： 對於給定元素的左平移和右平移 (ref) (Lx、Rx 的定義，群論) 是群到自身上的同胚。更準確地說，對映 $L_{x}(y)=xy,R_{x}(y)=yx$ 是 $G$ 上的同胚。

證明： 乘積對映根據假設是聯合連續的，因此是分別連續的。這些對映的逆對映是對映 $L_{x^{-1}},R_{x^{-1}}$ ，根據同樣的原因，它們是連續的。證畢。

由於我們幾乎只關注拓撲群，我們將把同胚簡稱為拓撲群的同胚，而如果我們指的是純群同胚，則稱之為代數同胚。

中性元素的鄰域對於拓撲群來說特別重要。

定義： 對於 $x\in G$ ，用 ${\mathcal {N}}_{G}(x)$ 表示 $G$ 中 $x$ 的所有鄰域的集合。

引理： 對於任何 $y\in G$ ，我們有 ${\mathcal {N}}_{G}(y)=\{yN|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}=\{Ny|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}$ 。換句話說，一個點的鄰域就是中性元素鄰域被該點平移後的結果。

證明： 如果 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ ，那麼根據引理 (ref) (平移是同胚)， $yN,Ny$ 是 $y$ 的鄰域。類似地，如果 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(y)$ ，那麼 $Ny^{-1},y^{-1}N$ 是 $e$ 的鄰域，使得 $N=yy^{-1}N=Ny^{-1}y$ 。證畢。

這表明中性元素的鄰域足以描述群的拓撲結構。實際上，對映、群等的某些拓撲性質僅取決於它們在中性元素處的行為。例如，我們有

引理： 設 $\phi :G_{1}\rightarrow G_{2}$ 為代數同態。為了使 $\phi$ 為同態，當且僅當 $\phi$ 在 $e$ 處連續。

證明： 必要性是顯而易見的。為了證明充分性，設 $N\subset G_{2}$ 為非空開集，且 $x\in N$ 。則 $x^{-1}N$ 是中性元 $e_{2}\in G_{2}$ 的鄰域，根據假設 $\phi ^{-1}(x^{-1}N)$ 是 $e_{1}\in G_{1}$ 的開鄰域。對於每個 $y\in \phi ^{-1}(x)$ ，我們有開集 $y\phi ^{-1}(x^{-1}N)$ 滿足 $\phi (y\phi ^{-1}(x^{-1}N))\subset N$ 。我們斷言

\phi ^{-1}(N)=\bigcup _{x\in N,y\in \phi ^{-1}(x)}y\phi ^{-1}(x^{-1}N)

.

事實上，如果 $z\in \phi ^{-1}(N)$ ，則 $z\in z\phi ^{-1}(\phi (z)^{-1}N)$ ，因為 $e_{1}\in \phi ^{-1}(\phi (z)^{-1}N)$ 。因此 $\phi ^{-1}(N)$ 是開集，且 $\phi$ 是連續的。證畢。

命題： 對於拓撲群 $G$ 中包含的每個 $x$ ，我們有 ${\mathcal {N}}_{G}(x)=x{\mathcal {N}}_{G}(e)=\{xN|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}$ 以及 ${\mathcal {N}}_{G}(x)={\mathcal {N}}_{G}(e)x=\{Nx|\ N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)\}$ .

證明： 設 $x\in G$ 。然後對於每個 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ ，根據命題 (ref) (平移是同胚) 我們有 $xN\in {\mathcal {N}}_{G}(x)$ 。反之，如果 $N\in {\mathcal {N}}_{G}(x)$ ，那麼 $N_{1}=:x^{-1}N\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ 。但隨後我們可以寫成 $N=xN_{1}$ ， $N_{1}\in {\mathcal {N}}_{G}(e)$ 。證畢。