一般工程介紹/誤差分析/誤差計算

誤差在計算中像食物鏈中的毒素一樣積累。例如，假設要使用尺子測量房間的寬度。假設每次尺子測量為 1 英尺 ± 0.1 英尺。假設房間大約 10 英尺寬。這將需要 10 次測量。每次測量都會有 0.1 英尺的誤差。在測量 10 次時發生的累積誤差將為 10*0.1 = 1 英尺或 10 英尺 ± 1 英尺。它可能介於 9 英尺和 11 英尺之間。捲尺可以更準確地測量相同房間的寬度。

本節的目的是展示如何計算所有方程式的誤差累積。這最容易用微積分來完成，但本節的部分內容可以用代數甚至直覺來完成。

這是一個起點。這些技術應該產生諸如如何處理非對稱誤差？如果誤差為負怎麼辦？這將導致未來的課程。以下技術預測最大、對稱誤差。僅此而已。未來的分析課程可以根據對實驗或專案的更詳細瞭解來減少誤差。

使用的符號

• 自變數：x、t 和 z
• 因變數：y
• 誤差：$\sigma$
• 常數：C

+-*/^ 觸發函式

每個誤差分析下面都附有證明。

乘以常數

如果 $y=C*x$，那麼 ${\delta _{y}}=C*{\delta _{x}}$ 證明

加減

如果 $y=x+z$ 或 $y=x-z$，那麼 $\delta _{y}={\sqrt {\delta _{x}^{2}+\delta _{z}^{2}}}$ 證明

乘除

如果 $y=x*z$，那麼 $\delta _{y}={\sqrt {(z\delta _{x})^{2}+(x\delta _{z})^{2}}}$

如果 $y=x/z$，那麼 $\delta _{y}={\sqrt {\left({\frac {\delta _{x}}{z}}\right)^{2}+\left({\frac {x\delta _{z}}{z^{2}}}\right)^{2}}}$ 證明

乘方

如果 $y=x^{C}$，那麼 $\delta _{y}=C\delta _{x}x^{C-1}$ 證明

三角函式

如果 $y=cos(x)$，那麼 $\delta _{y}=\delta _{x}*sin(x)$

如果 $y=sin(x)$，那麼 $\delta _{y}=\delta _{x}*cos(x)$

如果 $y=tan(x)$，那麼 $\delta _{y}={\frac {\delta _{x}}{(1+x^{2})}}$ *x 以弧度為單位*

一般情況下

一般情況下，需要使用 偏導數 ($\partial$)，這涉及到對每個項進行平方，然後開平方（參見 不確定度傳播）。

如果 $y=f(x,t,z)$，那麼 $\delta _{y}={\sqrt {\left(\delta _{x}{\frac {\partial f(x,t,z)}{\partial x}}\right)^{2}+\left(\delta _{t}{\frac {\partial f(x,t,z)}{\partial t}}\right)^{2}+\left(\delta _{z}{\frac {\partial f(x,t,z)}{\partial z}}\right)^{2}}}$

例如，假設 $x={\frac {1}{2\pi fc}}$，那麼 $\delta _{x}={\sqrt {\left(\delta _{f}{\frac {\partial {\frac {1}{2\pi fc}}}{\partial f}}\right)^{2}+\left(\delta _{c}{\frac {\partial {\frac {1}{2\pi fc}}}{\partial c}}\right)^{2}}}$

計算微分

$\delta _{x}={\sqrt {\left(\delta _{f}{\frac {1}{2\pi f^{2}c}}\right)^{2}+\left(\delta _{c}{\frac {1}{2\pi fc^{2}}}\right)^{2}}}$

可以代入 $x={\frac {1}{2\pi fc}}$

$\delta _{x}={\sqrt {\left(\delta _{f}{\frac {x}{f}}\right)^{2}+\left(\delta _{c}{\frac {x}{c}}\right)^{2}}}$

除以 $x$ 將整個方程轉換成最終的百分比形式

${\frac {\delta _{x}}{x}}={\sqrt {\left({\frac {\delta _{f}}{f}}\right)^{2}+\left({\frac {\delta _{c}}{c}}\right)^{2}}}$

… 這並不完全是兩次乘法誤差

誤差分析四捨五入

通常你的老師會選擇要遵循的四捨五入規則。這些規則都沒有告訴你應該四捨五入到哪一位或小數點後幾位。誤差分析會告訴你應該四捨五入到哪一位。

假設你的答案是 3.263 ± .2244。多餘的數字讓你感覺自己做了額外的工作。實際上，它們會讓任何閱讀你工作的工程師或科學家感到不安。多餘的小數位是毫無意義的。不要以這種形式留下你的答案。沒有辦法對結果產生直覺。

誤差決定了重要的十進位制位。首先將誤差四捨五入到一位數字。

.2244 → .2

這將設定答案需要四捨五入到的數字。在本例中

3.263 → 3.3

因此答案將是 3.3 ± .2