一般力學/剛體

如果上一章中的粒子集形成一個剛體，繞其質心以角速度ω旋轉，則關於慣性矩的結果可以從倒數第二章擴充套件。

我們得到

$I_{ij}=\sum _{n}m_{n}(r_{n}^{2}\delta _{ij}-{r_{n}}_{i}{r_{n}}_{j})$

其中 (r_n1, r_n2, r_n3) 是第 n 個質量的位置。

在連續體的極限情況下，這將變為

$I_{ij}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\,dV$

其中 ρ 是密度。

無論哪種方式，我們都會得到，將L分成軌道角動量和內部角動量，

$L_{i}=M\epsilon _{ijk}R_{j}V_{k}+I_{ij}\omega _{j}$

以及，將T分成旋轉動能和平動動能，

$T={\frac {1}{2}}MV_{i}V_{i}+{\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}$

透過適當選擇軸，總是可以使I成為對角矩陣。

常見幾何形狀的質量慣性矩

均勻密度的簡單形狀的慣性矩是眾所周知的。

球殼

質量M，半徑a

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{3}}Ma^{2}$

實心球

質量M，半徑a

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{5}}Ma^{2}$

細杆

質量M，長度a，沿z軸方向

$I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{12}}Ma^{2}\quad I_{zz}=0$

圓盤

質量M，半徑a，在x-y平面上

$I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}Ma^{2}\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}$

圓柱體

質量為 M，半徑為 a，高度為 h，沿 z 軸方向

$I_{xx}=I_{yy}=M\left({\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {h^{2}}{12}}\right)\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}$

薄矩形板

質量為 M，平行於 x 軸的邊長為 a，平行於 y 軸的邊長為 b

$I_{xx}=M{\frac {b^{2}}{12}}\quad I_{yy}=M{\frac {a^{2}}{12}}\quad I_{zz}=M\left({\frac {a^{2}}{12}}+{\frac {b^{2}}{12}}\right)$

進一步閱讀

• Statics/Moment of Inertia (內容)
• Statics/Geometric Properties of Solids