一般拓撲學/度量空間

定義（度量）:

設 $M$ 為一個集合。在 $M$ 上的度量是一個函式 $d:M\times M\to \mathbb {R}$，滿足以下條件：

1. $\forall x,y\in M:d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
3. $\forall x,y\in M:d(x,y)=d(y,x)$ ("對稱性")
4. $\forall x,y,z\in M:d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ("三角不等式")

定義（度量空間）:

設 $M$ 為一個集合，以及在它上面定義的度量 $d$。則 $M$ 與 $d$ 構成一個度量空間。

定義（開球）:

設 $(M,d)$ 為一個度量空間，$x\in M</mathand<math>\epsilon >0$。以 $x$ 為中心、大小為 $\epsilon$ 的開球定義為集合

$B_{\epsilon }(x):=\{y\in M|d(x,y)<\epsilon$.

定義（度量空間的拓撲）:

令 $(M,d)$ 是一個度量空間。 $(M,d)$ 的拓撲，即集合 $M$ 上的拓撲，定義為

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://:6011/en.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \left\{ U \subseteq M \middle| \forall x \in U: \exists \epsilon > 0: B_\epsilon(x) \subseteq U \right\}} .

該定義是合理的。

命題（度量誘導拓撲）:

令 $(M,d)$ 是一個度量空間。 定義 $\tau \subseteq {\mathcal {P}}(M)$ 如下

Failed to parse (unknown function "\middle"): {\displaystyle \tau := \left\{ U \subseteq M \middle| \forall x \in U: \exists \epsilon > 0: B_\epsilon(x) \subseteq U \right\}}

則 $\tau$ 是 $M$ 上的拓撲。

備註（開球是開的）:

注意，每個開球都是上述拓撲下底層度量空間的開子集，因為只要 $y\in B_{\epsilon }(x)$，我們可以選擇 $\delta :=\epsilon -d(x,y)>0$ 並得到 $B_{\delta }(y)\subseteq B_{\epsilon }(x)$，這是因為對於 $z\in B_{\delta }(y)$，有 $d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<\delta +d(x,y)=\epsilon$。

證明： 這種拓撲正是 用鄰域來刻畫拓撲 時，當我們選擇一個點的鄰域 $N(x)$ 為那些包含 $B_{\epsilon }(x)$ 的集合，其中 $\epsilon >0$ 足夠小。很明顯，這樣定義的鄰域滿足定義的 1.-3.，並且根據 上面的話，它們也滿足 4.，因為開球是它每一個點的鄰域。 $\Box$

現在，度量空間的子集又是度量空間（很容易驗證），並且較大空間的度量限制所誘導的拓撲是子空間拓撲。

命題（度量子空間具有子空間拓撲）:

設 $(M,d)$ 為度量空間，$S\subseteq M$ 為一個子集。那麼 $S$ 上由 $S$ 上的度量所誘導的拓撲，即 $d|_{S\times S}$，是子空間拓撲。

證明：我們只需要證明它們具有相同的開集。 $V\subseteq S$ 在子空間拓撲中是開集意味著存在 $U\subseteq M$ 開集使得 $U\cap S=V$。如果是這種情況，選擇 $x\in V$ 為任意點。由 $U$ 的開性，選擇 $\epsilon =\epsilon (x)$ 足夠小使得 $B_{\epsilon }(x)\subseteq U$，其中球體是關於 $M$ 上的度量取的。然後注意到，只要 $y\in S$ 滿足 $d|_{S\times S}(x,y)<\epsilon$，那麼 $d(x,y)<\epsilon$，因為根據限制的定義，$d|_{S\times S}(x,y)=d(x,y)$。因此，只要 $d(x,y)<\epsilon$ 對 $y\in S$ 成立，我們有 $y\in S\cap B_{\epsilon }(x)\subseteq S\cap U=V$。對於另一個方向，假設 $V\subseteq S$ 在由 $d|_{S\times S}$ 在 $S$ 上誘導的度量拓撲中是開集。 $\Box$

命題（度量空間是正規的）:

設 $(M,d)$ 是一個度量空間。那麼 $M$ 以及由度量 $d$ 誘導的拓撲是正規的。

證明： 設 $A,B$ 是 $(M,d)$ 中的兩個不相交的閉集。對於每個 $x\in A$，定義 $\delta _{x}>0$ 足夠小，使得 $B_{\delta _{x}}(x)\cap B=\emptyset$，類似地，對於 $y\in B$ 也是如此。然後定義

$U:=\bigcup _{x\in A}B_{\delta _{x}/2}(x)$，$V:=\bigcup _{y\in B}B_{\delta _{y}/2}(y)$.

請注意 $A\subseteq U$，$B\subseteq V$。假設 $z\in U\cap V$，並選擇 $x\in A$ 和 $y\in B$ 使得 $d(x,z)\leq \delta _{x}/2$ 或者 $d(y,z)\leq \delta _{y}/2$。兩種情況 $\delta _{x}\leq \delta _{y}$ 和 $\delta _{y}\leq \delta _{x}$ 透過三角不等式會導致矛盾。 $\Box$

通常，透過選擇 $\delta _{x}$，$\delta _{y}$ 最大，選擇所有滿足條件的開球的並集，可以避免選擇公理。

命題（度量空間是完全正規的）:

令 $(M,d)$ 是一個度量空間。那麼 $(M,d)$ 以及它的子空間拓撲是完全正規的。

證明： 令 $S\subseteq M$ 是 $M$ 的任何子集。如上所述，$S$ 具有度量空間的結構，並且 一般拓撲/度量空間#度量空間是正規的。此外，它的子空間拓撲等於由其度量誘導的拓撲，因此它在子空間拓撲中是正規的。因此，$M$ 是遺傳正規的，即完全正規的。 $\Box$

定義（真空間）:

如果且僅如果度量空間 $(M,d)$ 的所有閉球都是緊緻的，則稱該度量空間為 **完備** 度量空間。

命題（完備空間中存在閉點投影）:

設 $(M,d)$ 是一個完備度量空間，設 $A\subset M$ 是閉集，設 $x\in M\setminus A$。那麼存在一點 $y\in A$，它到 $x$ 的距離在 $A$ 中所有點中是最短的。

**證明：** 注意到根據實數下 infimum 的存在性，該值

$\eta :=\inf _{z\in A}d(x,z)$

存在。現在定義對於 $n\in \mathbb {N}$

無法解析 (SVG (MathML可以透過瀏覽器外掛啟用): 從伺服器 "https://:6011/en.wikibooks.org/v1/" 收到無效響應 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle K_n := \left\{z \in A \middle| d(x, z) \le \eta + \frac{1}{n} \right\}} ;

注意對於所有 $n\in \mathbb {N}$，$K_{n}\neq \emptyset$（否則 $x$ 到 $A$ 的最小距離將大於 $\eta$），並且 $K_{1}\supseteq K_{2}\supseteq \cdots$。此外，每個 $K_{n}$ 作為 Hausdorff 空間的閉子集，都是緊緻的。因此，我們可以應用 Cantor 交集定理 來得到

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}\neq \emptyset$。因此，令 $y\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}$。

注意，對於每個 $z\in A$，$d(z,x)\geq \eta$ 根據下確界的定義。此外，對於每個 $n\in \mathbb {N}$，$d(x,y)\leq \eta +{\frac {1}{n}}$ 根據 $K_{n}$ 的定義，因此 $d(x,y)=\eta$。 $\Box$

命題（度量空間是一致空間）:

令 $(M,d)$ 是度量空間，並定義

Failed to parse (unknown function "\middle"): {\displaystyle U_n :=\left\{ (x, y) \in M \times M \middle| d(x, y) < \frac{1}{n} \right\}} ，然後 Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://:6011/en.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \mathcal U := \left\{ U_n \middle| n \in \mathbb N \right\}} 。

那麼 ${\mathcal {U}}$ 是 $M\times M$ 上的陪集濾子的基。

證明： 顯然，${\mathcal {U}}$ 的每個子集都包含對角線。此外，由於計算

$U_{n}\cap U_{m}=U_{\max\{m,n\}}$;

這意味著我們確實有一個過濾基。最後，令 $V$ 為一個 entourage。選取 $n\in \mathbb {N}$ 使得 $U_{n}\subseteq V$。首先注意到 $U_{n}$ 是對稱的，因為 $d$ 是對稱的。然後，選擇 $m:=2n$。假設 $(x,z)\in U_{m}$ 且 $(z,y)\in U_{m}$，那麼 $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<{\frac {2}{2n}}={\frac {1}{n}}$。 $\Box$

命題（度量可以選取為有界的）:

令 $(M,d)$ 為一個度量空間，令 $\tau$ 為 $d$ 在 $M$ 上誘導的拓撲。那麼在定義

$d'(x,y):={\frac {d(x,y)}{d(x,y)+1}}$,

之後，我們得到 $d'$ 是一個 *有界* 度量，它在 $M$ 上誘導的拓撲與 $d$ 相同。

證明： 很明顯，對於所有 $x,y\in M$，$d'(x,y)\leq 1$。現在假設 $x,y,z\in M$。那麼

$d'(x,y)+d'(y,z)={\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}+{\frac {d(y,z)}{1+d(y,z)}}={\frac {d(x,y)(1+d(y,z))+d(y,z)(1+d(x,y))}{(1+d(x,y))(1+d(y,z))}}={\frac {2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)}{d(x,y)+d(y,z)+d(x,y)d(y,z)+1}}$,

因此，$d'(x,y)+d'(y,z)\geq d'(x,z)$ 等價於

${\begin{aligned}(1+d(x,z))[2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)]&\geq d(x,z)[d(x,y)+d(y,z)+d(x,y)d(y,z)+1]\\\Leftrightarrow 2d(x,y)d(y,z)+d(y,z)+d(x,y)+d(x,y)d(y,z)d(x,z)&\geq d(x,z)\\\end{aligned}}$

證明了三角不等式，這是證明 $d'$ 是一個度量所需要證明的唯一非平凡的部分。 $\Box$

命題（度量空間的可數乘積是度量空間）:

令 $(M_{n},d_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是度量空間的序列，並考慮（先驗僅是拓撲的）空間 $M:=\prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$，該空間帶有乘積拓撲。則 $M$ 是可度量的，並且可能的度量是

$d((x_{n})_{n\in \mathbb {N} },(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }):=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}{\frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}}$.

例子（無限維實空間）:

考慮空間 $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$，它是可數個 $\mathbb {R}$ 的乘積，並帶有 $\mathbb {R}$ 上歐幾里得拓撲誘導的乘積拓撲。

定義（真空間）:

真空間 是一個度量空間 $X$，使得它的所有閉球都是緊緻的。

命題（真空間中閉子空間中存在最近元素）:

令 $X$ 是一個度量為 $d$ 的度量空間，令 $A\subseteq X$ 是閉集並且是真空間，令 $x\in A$。則存在 $y\in A$ 使得

$d(x,y)=\inf _{z\in A}d(x,z)$.

證明：令

$r:=\inf\{s>0|B_{s}(x)\cap A\neq \emptyset \}$.

則集合

$K_{n}:=B_{r+1/n}(x)\cap A$ ($n\in \mathbb {N}$)

形成一個非空緊集和閉集的遞減族，因為緊集的閉子集是緊集，並且Hausdorff 空間的緊子集是閉集。因此，康托爾交集定理證明存在

$y\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }K_{n}$.

但對於每個$n\in \mathbb {N}$，$d(x,y)\leq s+1/n$，因此實際上

$d(x,y)=s=\inf _{z\in A}d(x,z)$. $\Box$

練習

1. 令$M$ 為一個緊拓撲空間，其拓撲由兩個度量$d$ 和 $d'$ 匯出。證明對於每個$\epsilon >0$，存在$\delta >0$ 使得$d(x,y)<\delta$ 蘊含$d'(x,y)<\epsilon$（然後透過對稱性，反之亦然）。