一般拓撲/一致空間

定義（一致結構）:

令$X$ 為一個集合。 $X$ 上的一致結構是 $X\times X$ 的一個濾子${\mathcal {U}}$，使得

1. $\forall U\in {\mathcal {U}}:\Delta (X)\subseteq U$，$\Delta (X):=\{(x,x)\mid x\in X\}$ 為 $X$ 的對角線
2. $\forall U\in {\mathcal {U}}:U^{-1}\in {\mathcal {U}}$，其中$U^{-1}:=\{(x,y)\mid (y,x)\in U\}$
3. $\forall U\in {\mathcal {U}}:\exists V\subseteq U:V\circ V\subseteq U$，其中$V\circ W:=\{(x,z)\mid (x,y)\in V\wedge (y,z)\in W\}$ 對一般 $V,W\subseteq X\times X$ 成立。

定義（一致空間）:

一致空間是一個集合$X$，以及在其上的一個一致結構。

在這個定義中，如果 $(x,y)$ 被包含在一個足夠小的陪伴中，它們就被認為彼此“接近”。也就是說，一致結構提供了一種方法來確定兩個任意點 $x,y\in X$ 何時接近。這就是這個定義背後的直覺。一致空間的一個非常重要的特例是 度量空間，我們將在下一章中學習它們。一致空間是度量空間的推廣，許多概念和定理從度量空間推廣到一致空間，我們將立即以最普遍的方式處理它們。

定義（陪伴）:

令 $X$ 是一個具有一致結構 ${\mathcal {U}}$ 的集合。一個 **陪伴** 就是 ${\mathcal {U}}$ 中的一個元素。

定義（陪伴誘導的鄰域）:

令 $X$ 是一個一致空間，並且 $V$ 是 $X$ 的一個陪伴。對於 $x\in X$，定義

$V(x):=\{y|(x,y)\in V\}$.

一致結構在其空間上誘匯出拓撲。

命題（一致結構誘匯出拓撲）:

令 $X$ 是一個具有一致結構 ${\mathcal {U}}$ 的空間。那麼，在 $X$ 上存在一個唯一的拓撲，使得點 $x$ 的每個鄰域濾子的基底由 $V(x)$ 給出，其中 $V$ 在所有陪伴上變化。

證明：定義 $N(x)$ 為由集合 $V(x)$ 生成的濾子，其中 $V$ 在所有陪伴上變化，並觀察到這些集合確實是濾子子基底，因為它們都包含 $x$，使得 濾子子基底的刻畫 適用。聲稱 $N(x)$ 滿足 由其鄰域刻畫拓撲 的 1.-4.。

1. 由於 $\Delta \subseteq V$ 對於所有鄰域 $V$ ($\Delta =\{(x,x)|x\in X\}$), $x\in N(x)$
2. 由於 $V_{1}(x)\cap \cdots \cap V_{n}(x)=(V_{1}\cap \cdots \cap V_{n})(x)$, $N(x)$ 在有限交集下是封閉的。
3. $N(x)$ 根據定義，在超集下是封閉的。
4. 令 $M\in N(x)$。選擇 $V\in N(x)$ 使得 $V\subseteq M$，然後 $W\subseteq V$ 使得 $W\circ W\subseteq V$。對於所有 $y\in W(x)$，我們有 $W(y)\subseteq V(x)$，所以 $V(x)$ 在 $N(y)$ 中 $\Box$

今後，我們將把一個一致空間視為具有此拓撲的拓撲空間。

定義（V-小）:

令 $X$ 為一致空間，令 $V$ 為 $X$ 的一個鄰域。子集 $A\subseteq X$ 被稱為 $V$-小當且僅當對於所有 $x,y\in A$，我們有 $(x,y)\in V$.

命題（每個一致空間都是正則的）:

令 $X$ 為一致空間（一致性為 ${\mathcal {U}}$）。那麼 $X$ 是正則的。

證明：令 $A\subset X$ 為閉集，$x\in X\setminus A$。由於 $A$ 是閉集，$X\setminus A$ 是 $x$ 的一個開鄰域。因此，選擇一個對稱鄰域 $V\in {\mathcal {U}}$ 使得 $V(x)\subset X\setminus A$，然後選擇另一個對稱鄰域 $W$ 使得 $W\circ W\subseteq V$。那麼 $W(x)$ 和

$W(A):=\bigcup _{y\in A}W(y)$

是分離的，因為否則，如果$z\in W(x)\cap W(A)$，則存在$\alpha \in A$ 使得$(z,\alpha )\in W$ 並且$(z,x)\in W$，因此$(x,\alpha )\in W\circ W\subseteq V$，這與$V(x)\cap A=\emptyset$矛盾。 $\Box$

定義（柯西濾子）:

設$X$ 為一致空間。柯西濾子是$X$ 上的濾子 $\phi$，使得對於$X$ 的任何鄰域 $V$，都存在$A\in \phi$ 使得$x,y\in A\Rightarrow (x,y)\in V$，即 $A$ 是$V$-小的。

定義（完備性）:

設$X$ 為一致空間。$X$ 稱為完備 當且僅當$X$ 上的每個柯西濾子 $\phi$ 都收斂到$X$ 中的某個點。

定義（完全有界性）:

設 $X$ 是一個一致空間，並設 ${\mathcal {U}}$ 是其伴隨濾子。 $X$ 是 **全有界** 的當且僅當對於每個 $V\in {\mathcal {U}}$，都存在有限多個點 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ 使得

$X=\bigcup _{j=1}^{n}V(x_{j})$.

以下是 Heine-Borel 定理的推廣。

定理（緊緻當且僅當全有界且完備）:

設 $X$ 是一個一致空間，$S\subseteq X$ 是一個子集。 $S$ 是緊緻的當且僅當它是全有界且完備的。

（關於超濾子引理的條件）

證明： 首先假設 $S$ 是緊緻的，並令 $V$ 是一個任意的陪集。注意 $(V(x)\cap S)_{x\in S}$ 是 $S$ 的一個開覆蓋，因此我們可以選擇一個有限子覆蓋以達到完全有界性。然後令 ${\mathcal {F}}$ 是 $S$ 的子集的柯西濾子，並假設 ${\mathcal {F}}$ 不收斂於 $S$ 中的任何點。對於每個 $x\in S$，選擇一個非空的陪集集 $\{V_{x,\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda _{x}}$ 足夠小，使得 $V_{x,\lambda }(x)\cap S\notin {\mathcal {F}}$ 對於所有 $\lambda \in \Lambda _{x}$ 成立，然後 $W_{x,\lambda }$ 足夠小，使得 $W_{x,\lambda }\circ W_{x,\lambda }\subseteq V_{x,\lambda }$。然後根據緊緻性選擇一個有限子覆蓋 $S=(S\cap W_{x_{1},\lambda _{1}}(x_{1}))\cup \cdots \cup (S\cap W_{x_{n},\lambda _{n}}(x_{n}))$（其中 $\lambda _{j}\in \Lambda _{x_{j}}$ 對於 $j\in [n]$ 成立，並定義

$V:=V_{x_{1},\lambda _{1}}\cap \cdots \cap V_{x_{n},\lambda _{n}}$, $W:=W_{x_{1},\lambda _{1}}\cap \cdots \cap W_{x_{n},\lambda _{n}}$.

由於 ${\mathcal {F}}$ 是一個柯西濾波器，它將包含一個 $W$-小集 $A$。然後選擇 $x_{0}\in A$ 為任意值，並選擇 $j\in [n]$ 使得 $x_{0}\in W_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})$。那麼對於 $z\in A$，我們將有 $(z,x_{0})\in W$ 和 $(x_{0},x_{j})\in W_{x_{j},\lambda _{j}}$，所以 $(z,x_{j})\in V_{x_{j},\lambda _{j}}$，也就是說，$z\in V_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})$，我們得出結論 $A\subseteq V_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})$ 且 $V_{x_{j},\lambda _{j}}(x_{j})\in {\mathcal {F}}$，矛盾。

Suppose now that $S$ is not compact. By the characterisation of compactness by filter convergence, pick a filter $\phi$ on $S$ which does not admit a refinement that converges to a point of $S$ (note that this does not use the axiom of choice). By the ultrafilter lemma, pick a maximal filter $\phi _{\infty }$ that contains $\phi$. Upon proving that $\phi _{\infty }$ is Cauchy, we obtain a contradiction, since Cauchy filters converge in $S$ as $S$ is complete. Let hence $V$ be any entourage of $X$, and pick $W\subseteq V$ so that $W\circ W\subseteq V$. Then $W(x)$ is $V$-small for all $x\in X$. By definition of the subspace topology and since $S$ is totally bounded, pick $x_{1},\ldots ,x_{n}\in S$ so that $S\subseteq W(x_{1})\cup \cdots \cup W(x_{n})$. Suppose that for all $j\in [n]$, there existed $F_{j}\in \phi _{\infty }$ so that $F_{j}\cap W(x_{j})=\emptyset$. Then set $F:=F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}$ and observe that $F\cap W(x_{j})=\emptyset$ for all $j\in [n]$, and taking the union over all $j$ we get that $F\cap (W(x_{1})\cup \cdots \cup W(x_{n}))=F=\emptyset$, a contradiction to $\phi _{\infty }$ being a filter. Hence, pick $j\in [n]$ so that $F\cap W(x_{j})\neq \emptyset$ for all $F\in \phi _{\infty }$ and observe that $W(x_{j})\in \phi _{\infty }$, for otherwise we could properly extend $\phi _{\infty }$ by extending $\phi _{\infty }$ by $W(x_{j})$. But $W(x_{j})$ is $V$-small, so that $\phi _{\infty }$ is Cauchy. $\Box$

定義（一致連續性）:

令 $X,Y$ 為一致空間，其一致結構分別為 ${\mathcal {U}}$ 和 ${\mathcal {V}}$。如果且僅當函式 $f:X\to Y$ 滿足以下條件，則稱其為 **一致連續** 的:

$\forall V\in {\mathcal {V}}:\exists U\in {\mathcal {U}}:((x,y)\in U\Rightarrow (f(x),f(y))\in V)$.

命題（一致連續蘊含連續）:

令 $f:X\to Y$ 為一致連續函式，其中 ${\mathcal {U}}$ 是 $X$ 的一致結構，而 ${\mathcal {V}}$ 是 $Y$ 的一致結構。則 $f$ 是連續的。

Proof: Let $\phi$ be a filter of $X$ that converges to a point $x\in X$, so that $N(x)\subseteq \phi$. Let ${\mathcal {G}}$ be the filter on $Y$ that is generated by $f(\phi )$, and let $M\in N(y)$ be a neighbourhood of $y\in Y$. By definition of the topology on $Y$ induced by the uniform structure, pick $V\in {\mathcal {V}}$ so that $V(y)\subseteq M$. By uniform continuity, pick $U\in {\mathcal {U}}$ so that $(z,w)\in U\Rightarrow (f(z),f(w))\in V$. Then $U(x)\in \phi$, so that $f(U(x))\in f(\phi )$, but for $z\in X$ we have $(f(x),f(z))=(y,f(z))\in V$ so that $f(z)\in V(y)$, and we get $f(U(x))\subseteq V(y)$. $\Box$

定義（鄰域系的基）:

令 $X$ 為一致空間，其一致結構為 ${\mathcal {U}}$。**鄰域系的基** 是 ${\mathcal {U}}$ 的一個濾子基。

命題（一致結構的逆像生成一致結構）:

令 $X$ 為集合，令 $Y$ 為一致空間（其一致結構為 ${\mathcal {V}}$），並令 $f:X\to Y$ 為函式。則

${\mathcal {B}}:=(f\times f)^{-1}({\mathcal {V}})$

是一個均勻結構${\mathcal {U}}$ 在 $X$ 上的濾子基。

證明： 首先注意到，當$U\in {\mathcal {B}}$ 時，$U$ 包含對角線，因為我們有$U=(f\times f)^{-1}(V)$ 對於某個 $V\in {\mathcal {V}}$，也就是說，

$U=\{(x,x')|(f(x),f(x'))\in V\}$,

and clearly, for $x=x'$, we have $(f(x),f(x'))\in V$. Therefore, every $U\in {\mathcal {U}}$ also contains the diagonal (as it contains a set of ${\mathcal {B}}$). Further, ${\mathcal {B}}$ is a filter base, since taking preimages commutes with intersections, and ${\mathcal {V}}$ is closed under finite intersections, being a filter itself. Then let $U\in {\mathcal {U}}$, and pick $U'\in {\mathcal {B}}$ so that $U'\subseteq U$. Pick $V\in {\mathcal {V}}$ so that $U'=(f\times f)^{-1}(V)$. Then pick $W\in {\mathcal {V}}$ so that $W\circ W\subseteq V$. We claim that if we set $W':=(f\times f)^{-1}(W)$, then $W'\circ W'\subseteq U'$ ($\subseteq U$). Indeed, if $(x,x')\in W'$ and $(x',x'')\in W'$, then $(f(x),f(x''))\in V$, so that $(x,x'')\in U'$. Finally, $(f\times f)^{-1}(V^{-1})=(f\times f)^{-1}(V)^{-1}\subseteq U^{-1}$. $\Box$

命題（均勻結構的上確界）:

設 $X$ 是一個集合，並設 $({\mathcal {U}}_{\alpha })_{\alpha \in A}$ 是 $X$ 上的均勻結構族。那麼存在 $X$ 上的（唯一的）上確界均勻結構 ${\mathcal {U}}$，即由

${\mathcal {B}}:=\left\{U_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap U_{\alpha _{n}}|\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A,\forall j\in [n]:U_{\alpha _{j}}\in {\mathcal {U}}_{\alpha _{j}}\right\}$,

並且由此誘導的拓撲與拓撲$\tau _{\alpha }$在$X$上的最小上界拓撲一致，這些拓撲是由${\mathcal {U}}_{\alpha }$誘導的。

Proof: First we claim that ${\mathcal {U}}$ as given above is a uniform structure. Indeed, ${\mathcal {B}}$ is closed under finite intersections and hence forms a filter base. Further, suppose that $U\in {\mathcal {U}}$, and pick $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in A$ and $U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}$ in ${\mathcal {U}}_{\alpha _{1}}$ resp. ${\mathcal {U}}_{\alpha _{2}}$ resp. ... resp. ${\mathcal {U}}_{\alpha _{n}}$. Then for each $j\in [n]$, observe for one that $U_{\alpha _{j}}^{-1}\in {\mathcal {U}}_{\alpha _{j}}$ (so that $U^{-1}\in {\mathcal {U}}$), and then pick $V_{\alpha _{j}}\in {\mathcal {U}}_{\alpha _{j}}$ so that $V_{\alpha _{j}}\circ V_{\alpha _{j}}\subseteq U_{\alpha _{j}}$. Then $(V_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap V_{\alpha _{n}})\circ (V_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap V_{\alpha _{n}})\subseteq U_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap U_{\alpha _{n}}\subseteq U$. $\Box$

定義（初始一致結構）:

令$X$為一個集合，令$(Y_{\alpha })_{\alpha \in A}$為具有一致結構${\mathcal {V}}_{\alpha }$的一致空間族，令$f_{\alpha }:X\to Y_{\alpha }$為函式。$X$上的初始一致結構定義為由一致結構$f_{\alpha }$誘導的最小上界一致結構。

命題（用陪伴分離開集中的緊緻子集）:

令$X$為具有一致性${\mathcal {U}}$的一致空間。令$U\subseteq X$為開集，令$K\subseteq U$為緊緻集。那麼存在一個對稱陪伴$V\in {\mathcal {U}}$使得$V(K)\subseteq U$，其中

$V(K):=\{x\in X|\exists y\in K:(x,y)\in V\}$.

證明：對於每個 $x\in K$，選擇一個對稱的鄰域 $V_{x}$，使得 $V_{x}(x)\subseteq U$（透過並集來避免選擇公理）然後是一個對稱的鄰域 $W_{x}$，使得 $W_{x}\circ W_{x}\subseteq V_{x}$。$\Box$

練習

1. 令 $X$ 為一個集合，令 ${\mathcal {U}}$ 和 ${\mathcal {V}}$ 為 $X$ 上的統一結構，使得它們產生相同的拓撲 $\tau$ 且 $X$ 關於 $\tau$ 是緊緻的。證明事實上 ${\mathcal {U}}={\mathcal {V}}$。
2. 設 $X$ 是一個拓撲空間，其拓撲是由兩個一致結構 ${\mathcal {U}}$ 和 ${\mathcal {V}}$ 共同誘導的。假設 $X$ 關於由 ${\mathcal {U}}$ 誘導的一致結構是完備的。證明 $X$ 關於由 ${\mathcal {V}}$ 誘導的一致結構也是完備的。