幾何/雙曲幾何和橢圓幾何
總共有三種不同的三維常曲率幾何型別：歐幾里得幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。這三種幾何都建立在相同的最初四個公理之上，但每種幾何都擁有第五公理的獨特版本，第五公理也被稱為平行公理。尤金尼奧·貝爾特拉米（1835 - 1900）在 1868 年的《關於非歐幾里得幾何的解釋論文》中證明了兩種非歐幾里得幾何，雙曲幾何和橢圓幾何，的邏輯一致性。
平行公理對於相應的幾何如下。
歐幾里得幾何：普萊費爾的版本：“給定一條直線l和不在l上的點P，存在一條唯一的直線m經過P，且平行於l。”歐幾里得的版本：“假設一條直線l與另外兩條直線m和n相交，使得l一側的內角之和小於 180°。那麼m和n在l的那一側的某一點相交。”這兩個版本是等價的；雖然普萊費爾的版本可能更容易理解，但歐幾里得的版本通常在證明中很有用。
雙曲幾何：給定任意一條無限直線l和不在l上的任意點P，存在兩條或更多條不同的直線穿過P，並且平行於l。
橢圓幾何：給定任意一條無限直線l和不在l上的任意點P，不存在一條直線穿過P，並且平行於l。
雙曲幾何也被稱為鞍形幾何或羅巴切夫斯基幾何。它在許多方面與歐幾里得幾何不同，通常會導致相當反直覺的結果。這種幾何獨特的第五公理的一些顯著結果包括
1. 三角形中三個內角之和嚴格小於 180°。此外，兩個不同三角形的角和不一定是相同的。
2. 具有相同內角的兩個三角形具有相同的面積。
以下是描述雙曲空間的四種最常見模型。
1. 龐加萊圓盤模型。也被稱為共形圓盤模型。在這個模型中，雙曲平面用一個圓的內部表示，直線用與邊界圓正交的圓弧和邊界圓的直徑表示。
2. 克萊因模型。也被稱為貝爾特拉米-克萊因模型或投影圓盤模型。在這個模型中，雙曲平面用一個圓的內部表示，直線用圓的弦表示。這個模型對角的大小給出了誤導性的視覺表示。
3. 龐加萊半平面模型。雙曲平面用歐幾里得平面的一半表示，如由給定歐幾里得直線l定義的那樣，其中l不屬於雙曲空間。直線用與l正交的半圓或垂直於l的射線表示。
4. 雙曲面模型。雙曲平面在一個雙曲面的兩個葉片之一上表示。這個模型在現代物理學中用來表示速度空間。
根據這種幾何對第五公理的定義，平行意味著什麼？以下定義是為這種幾何制定的。如果一條直線l和一條直線m在雙曲平面上不相交，但在平面的無窮大邊界處相交，則稱l和m是平行的。如果一條直線p和一條直線q既不在雙曲平面上相交，也不在無窮大邊界處相交，則稱p和q是超平行的。
對於雙曲平面中的任意兩條直線m和n，如果m和n是超平行的，那麼存在一條唯一的直線l，它垂直於m和n。
橢圓幾何可以首先被認為是 3D 空間中的旋轉幾何：每次旋轉都有一個軸（例如用單位向量r指定）和一個轉動，通常範圍從 0 度到 180 度。區間 (180, 360) 中的轉動可以解釋為關於相反軸 −r，轉動取為 360 中的補角。
w:威廉·羅恩·哈密頓 作為一名天文學家，實踐天體幾何學。他發明了 4D 四元數幾何，它有一個 3D 球面，其旋量表示球面三角形的邊。旋量代數具有對應於複合旋轉的乘積。橢圓幾何將這個乘積視為一個球面三角形：三角形的一邊是一個旋量，四元數乘法將兩邊與第三邊聯絡起來，如下所示
要得到一個旋量，從尤拉公式開始
它使用一個“虛數單位”i，其中 i2 = − 1。現在想象一個單位球體 由這些單位組成。將這個球體上的一個通用點稱為 *r*，因此 r2 = −1。對於三個相互垂直的點 i、j、k，單位向量可以寫成 哈密頓的約定中 i、j 和 k 反交換，因此 ij = −ji，等等。在這個虛數空間中，哈密頓添加了一個實數軸，形成一個實四元數 對於給定的 *r*，它的轉向器位於經過 1 和 −1 的圓上。當 *r* 在 S2 上變化時，這些圓形成了三維球體。三維空間中旋轉的橢圓幾何將這個轉向器超球體作為點。為了獲得轉向器 *v* 和 *w* 之間的距離，首先找到轉向器 然後使用它的轉向來計算距離。
旋轉與轉向器運算元之間的聯絡在結合組合代數/四元數 中有說明。