小學幾何/構造三角形

在本節中，我們將展示如何從三個線段構造一個三角形。構造基於第一卷，命題22

構造

給定三個線段${\overline {AB}}$，${\overline {CD}}$和${\overline {EF}}$，我們構建一個邊長等於這些線段的三角形。

1. 複製直線${\overline {CD}}$到點A。
   
   如果你忘記了如何操作，請遵循上一節的說明。你的構造應該看起來像下圖中的灰色線。將新線稱為${\overline {AG}}$
   
   
   現在最好擦除你的輔助線，這樣就只剩下下面顯示的四條線段。
   
   
   
   
2. 複製直線${\overline {EF}}$到點B。
   
   
   你的構造應該看起來像下圖中的灰色線。將新線稱為${\overline {BH}}$
   
   
   
3. 畫圓$\circ A,{\overline {AG}}$，其圓心為A，半徑為${\overline {AG}}$。
4. 畫圓$\circ B,{\overline {BH}}$，其圓心為B，半徑為${\overline {BH}}$。
5. 設J為$\circ A,{\overline {AG}}$和$\circ B,{\overline {BH}}$的交點。
   
   
   
6. 畫一條線 ${\overline {AJ}}$.
7. 畫一條線 ${\overline {BJ}}$.
   

結論

三角形 $\triangle ABJ$ 的邊分別等於 ${\overline {AB}}$, ${\overline {CD}}$ 和 ${\overline {EF}}$.

證明

1. 線段 ${\overline {AB}}$ 是三角形的邊，等於它本身。
2. 線段 ${\overline {AJ}}$ 等於 ${\overline {AG}}$，因為它們都是圓$\circ A,{\overline {AG}}$ 的半徑。並且因為它是複製的，所以${\overline {AG}}$=${\overline {CD}}$。因此 ${\overline {AJ}}$ 也等於 ${\overline {CD}}$
3. 線段 ${\overline {BJ}}$ 等於 ${\overline {BH}}$，因為它們都是圓 $\circ B,{\overline {BH}}$ 的半徑。並且由於它是複製的，${\overline {BH}}$=${\overline {EF}}$。因此，${\overline {BJ}}$ 也等於 ${\overline {EF}}$
4. 因此，三角形 $\triangle ABJ$ 的邊分別等於 ${\overline {AB}}$、${\overline {CD}}$ 和 ${\overline {EF}}$。

測試步驟

1. 畫一條線 ${\overline {AB}}$，長度隨意。
2. 複製這條線 ${\overline {AB}}$ 到任意點 C，得到 ${\overline {CD}}$。
3. 畫一條線 ${\overline {EF}}$，使其長度為 ${\overline {AB}}$ 長度的三倍。（我們沒有指定如何構建這樣的線段，留作練習。參考章節 複製線段 來解決。）
4. 用 ${\overline {AB}}$、${\overline {CD}}$ 和 ${\overline {EF}}$ 構造一個三角形。

為什麼你在測試中不能構造這個三角形？

我們在測試中無法構建三角形的原因是，我們構造的圓圈沒有相交。不能用任意三條線段來構造三角形。線段的長度必須滿足一個稱為“三角形不等式”的條件。三角形不等式指出，任何一條線段都應小於另外兩條線段長度的總和。如果其中一條線段更長，則圓圈就不會相交。如果一條線段等於另外兩條線段的總和，我們會得到一條直線而不是三角形。

因此，構造是正確的，但應該對可以應用構造的線段進行條件限制。請注意，原始構造是歐幾里得提出的，因此構造或其證明中不存在錯誤。