小學幾何/複製線段

此構造將複製線段${\overline {AB}}$ 到目標點T。此構造基於第一卷，命題2。

構造

1. 設A為${\overline {AB}}$ 的兩個端點之一。注意，我們只是在這裡給它一個名字。（我們可以用另一個端點B替換A）。
   
   
   
   
2. 畫一條線段 ${\overline {AT}}$
   
   
   
   
3. 構造一個等邊三角形 $\triangle ATD$（一個邊長為${\overline {AT}}$ 的三角形）。
   
   
   
   
4. 畫圓 $\circ A,{\overline {AB}}$，圓心為A，半徑為${\overline {AB}}$。
   
   
   
   
5. 畫一條線段，從D開始，穿過A，直到它與$\circ A,{\overline {AB}}$ 相交，並令交點為E。得到線段${\overline {AE}}$ 和 ${\overline {DE}}$.
   
   
   
   
6. 畫圓 $\circ D,{\overline {DE}}$，圓心為D，半徑為${\overline {DE}}$。
   
   
   
   
7. 畫一條線段 從 D 開始，穿過 T 直到與 $\circ D,{\overline {DE}}$ 相交，交點為 F。得到線段 ${\overline {TF}}$ 和 ${\overline {DF}}$.
   

結論

線段 ${\overline {TF}}$ 等於 ${\overline {AB}}$ 且從 T 開始。

證明

1. 線段 ${\overline {AB}}$ 和 ${\overline {AE}}$ 都從 $\circ A,{\overline {AB}}$ 的圓心到圓周。因此它們等於圓的半徑，也等於彼此。
   
   
   
   
2. 線段 ${\overline {DE}}$ 和 ${\overline {DF}}$ 都從 $\circ D,{\overline {DE}}$ 的圓心到圓周。因此它們等於圓的半徑，也等於彼此。
   
   
   
   
3. ${\overline {DE}}$ 等於其各部分 ${\overline {DA}}$ 和 ${\overline {AE}}$ 的和。
   
   
   
   
4. ${\overline {DF}}$ 等於其部分 ${\overline {DT}}$ 和 ${\overline {TF}}$ 的和。
   
   
   
   
5. 線段 ${\overline {DA}}$ 等於 ${\overline {DT}}$，因為它們是等邊三角形 $\triangle ATD$ 的邊。
   
   
   
   
6. 由於線段的和相等，兩個加數也相等，因此另外兩個加數 ${\overline {AE}}$ 和 ${\overline {TF}}$ 也相等。
   
   
   
   
7. 因此，${\overline {AB}}$ 等於 ${\overline {TF}}$。