群論/有限表示的基數恆等式

定義（置換表示）:

令 $G$ 是一個群，令 $X$ 是一個集合。 $G$ 在 $S$ 上的**置換表示**是一個表示 $\rho :G\to \operatorname {Aut} (S)$，其中 $S$ 的自同構是在集合範疇中取的（也就是說，它們只是從 $S$ 到自身的雙射）。

定義（逐點穩定子）:

令 $G$ 是一個群，令 ${\mathcal {A}}$ 是一個 代數簇，令 $A$ 是 ${\mathcal {A}}$ 的一個例項。 假設 $\rho :G\to \operatorname {Aut} (A)$ 是由 ${\mathcal {A}}$ 定義的範疇中的表示。 令 $S\subseteq A$。 那麼 $S$ 的**逐點穩定子**由下式給出

$G_{S}:=\{g\in G|\forall a\in S:ga=a\}$.

命題（傳遞置換表示等價於對穩定子商的右乘）:

設 $G$ 為一個群，設 $X$ 為一個集合，並假設我們有一個置換表示 $\pi :G\to \operatorname {Sym} (X)$ 是傳遞的。設 $x\in X$ 為任意元素，設 $G_{x}\leq G$ 為 $x$ 的逐點穩定子。考慮作用 $\rho :G\to \operatorname {Sym} (G/G_{x})$，透過左乘法，其中 $G/G_{x}$ 是 $G_{x}$ 的左陪集集合（實際上，除非作用是平凡的，否則在這種情況下它永遠不會是正規子群，因為 $G_{gx}=g^{-1}G_{x}g$）。那麼存在一個 $G$-同構，從 $X$ 到 $G/G_{x}$.

證明： 我們定義 $f:G/G_{x}\to X$ 如下： $gG_{x}$ 將被對映到 $gx$。 首先，我們證明這個對映是良定義的。 事實上，假設我們取 $h\in G_{x}$。 那麼 $ghG_{x}$ 被對映到 $ghx=x$。 然後我們注意到，該對映透過傳遞性是滿射的。 最後，它也是單射的，因為只要 $gx=hx$，我們有 $h^{-1}gx=x$，透過在兩邊應用 $h^{-1}$ 並使用群作用的性質，因此 $h^{-1}g\in G_{x}$，也就是說 $gG_{x}=hG_{x}$。 那麼 $f(ghG_{x})=g(hx)$ 直接從定義中得出，因此我們確實得到了一個表示的同構。 $\Box$

我們現在可以推匯出置換表示的一些標準公式。

定理（軌道-穩定子定理）:

設 $G$ 是一個群，設 $\pi :G\to \operatorname {Sym} (X)$ 是一個關於集合 $X$ 的置換表示。 那麼

$|Gx|=[G:G_{x}]$.

證明： $G$ 在 $Gx$ 上是可傳遞的。上面的 $G$ -同構，在 $Gx$ 和 $G/G_{x}$ 之間是雙射的，因為它在集合範疇中的同構。但是符號 $[G:G_{x}]$ 代表 $|G/G_{x}|$ 。 $\Box$

定理（類方程）:

令 $G$ 為有限群，並令 $\pi :G\to \operatorname {Sym} (X)$ 為有限集 $X$ 上的置換表示。則

$|X|=\sum _{j=1}^{n}[G:G_{x_{j}}]$,

其中 $Gx_{1},\ldots ,Gx_{n}$ 是 $G$ 的軌道，並且 $Gx_{k}\neq Gx_{j}$ 當 $k\neq j$ 時。(我們也說 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 是 $G$ 軌道的代表元系。）

證明： $G$ 在每個軌道上是可傳遞的，並且軌道對 $X$ 進行劃分。因此，根據軌道-穩定子定理，

$|X|=\sum _{j=1}^{n}|Gx_{j}|=\sum _{j=1}^{n}[G:G_{x_{j}}]$. $\Box$

定義（不動點集）:

令 $G$ 是作用於集合 $X$ 上的群，且 $S\subseteq G$ 是 $G$ 的子集。那麼 $S$ 的不動點集定義為

$\operatorname {Fix} (S):=\{x\in X|\forall s\in S:sx=x$.