群論/特徵子群

定義（特徵子群）:

令 $G$ 為一個群。$G$ 的特徵子群是指一個子群 $H\leq G$，滿足對於所有 $\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)$ 都有 $\varphi (H)=H$。

命題（特徵子群是正規子群）:

群 $G$ 的任何特徵子群都是 $G$ 的正規子群。

證明： 因為對映 $j\mapsto g^{-1}jg$ 是 $G$ 的群自同構。 $\Box$

定義（特徵單群）:

群 $G$ 稱為特徵單群當且僅當其唯一的特徵子群為 $G$ 和 $\{e\}$，其中 $e$ 表示 $G$ 的單位元。

命題（特徵單群）:

設 $G$ 是一個特徵單有限群，設 $H$ 是它的任何一個極小正規子群。那麼 $G$ 同構於 $H$ 的多個副本的乘積，也就是說，$G\cong \prod _{\alpha \in A}H$，其中 $A$ 是一個索引集（有限基數）。

證明：設 $M$ 是 $G$ 的一個子群，它滿足以下兩個條件且為極大子群

1. $M$ 是 $H$ 在 $\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)$ 下的像的直和
2. $M$ 是正規子群

假設 $M\neq G$。注意，群 $\langle \varphi (H)|\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)\rangle$ 是特徵群，因此它等於整個 $G$。因此，我們發現 $\varphi \in \operatorname {Aut} _{\textbf {Grp}}(G)$ 使得 $\varphi (H)$ 不是 $M$ 的子群。由於 $\varphi$ 是一個自同構，$\varphi (H)\triangleleft G$，因此 $M\cap \varphi (H)=\{e\}$。由於 正規子群的乘積是正規的，我們得出結論，乘積子群 $M\varphi (H)\triangleleft G$ 是一個正規子群，它是 $H$ 在 $G$ 中的同態像的直積，這與 $M$ 具有這些性質的最大性相矛盾。因此，$M=G$，我們完成了。 $\Box$

命題（特徵單群的極小正規子群是單群）:

設 $G$ 是一個特徵單群，設 $H\triangleleft G$ 是 $G$ 的極小正規子群。那麼 $H$ 是單群。

證明： $\Box$

命題（特徵單群的冪是特徵單群）:

我們得出結論

定理（有限特徵單群的結構定理）:

有限特徵單群就是單群的冪。

證明：我們已經看到，每個特徵單有限群都是其任何極小正規子群的同構像的直接積，並且後者在特徵單群中總是單群。我們得出結論，每個有限特徵單群都是單群的冪。反之，設$H$ 是一個單群，$n\in \mathbb {N}$，並設定

$G:=H^{n}:=\overbrace {H\times \cdots \times H} ^{n{\text{ times}}}$. $\Box$

練習

1. 證明 $\mathbb {Z} _{6}$ 的所有子群都是特徵子群。
2. 設$H,L$ 是兩個有限單群，使得$|L|$ 可被一個素數 $p$ 整除，該素數不能整除$|H|$。利用特徵單群的結構定理證明$H\times L$ 不是特徵單群。
3. 證明特徵單群的子群不一定是特徵單群。
4. 證明最小正規子群不同構的特徵單子群的乘積不是特徵單群。