群論/交換子、可解群和冪零群

定義（交換子）:

設$G$ 是一個群，設 $a,b\in G$。那麼 $a$ 和 $b$ 的交換子定義為元素

$[a,b]:=a^{-1}b^{-1}ab\in G$.

{{definition|交換子

命題（交換子構成一個子群）:

設$G$ 是一個群。那麼集合$\{[a,b]|a,b\in G\}$ 構成$G$ 的一個子群。

證明：根據子群判別法，只需證明對於$a,b,c,d\in G$，元素$[a,b][c,d]^{-1}$ 是$[e,f]$ 的形式，其中 $e,f\in G$ 是合適的。實際上，

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定義（交換子群）:

設$G$ 是一個群。那麼$G$ 的交換子群定義為$[G,G]$.

定義（完全群）:

群$G$ 稱為完全群當且僅當 $[G,G]=G$.

命題（完全群的次直積正規積是直積）:

令 $H_{1},\ldots ,H_{n}$ 是完美群，並令

$N\trianglelefteq H_{1}\times \cdots \times H_{n}$

是 子直積，同時也是它們外直積的正規子群。 那麼事實上 $N=H_{1}\times \cdots \times H_{n}$.

證明：只要證明，無論何時 $k\in \{1,\ldots ,n\}$ 且 $g,h\in H_{k}$，那麼

$(1,\ldots ,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g^{-1}h^{-1}gh}},1\ldots ,1)\in N$,

因為 $H_{k}$ 是完美群。 因此，令 $h\in H_{k}$ 為任意元素，並選擇 $(h_{1},\ldots ,h_{n})\in N$，其中 $h_{j}\in H_{j}$ 對於所有 $j\in \{1,\ldots ,n\}$，使得 $h_{k}=h$。 因為 $N$ 是子群且為正規子群，元素

$(1,\ldots ,1,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g^{-1}}},1,\ldots ,1)(h_{1}^{-1},\ldots ,h_{n}^{-1})(1,\ldots ,1,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g}},1,\ldots ,1)(h_{1},\ldots ,h_{n})=(1,\ldots ,{\overset {\overset {k{\text{-th entry}}}{\downarrow }}{g^{-1}h^{-1}gh}},1\ldots ,1)$

位於 $N$ 中。 $\Box$

定義（可解）:

命題（群可解當且僅當最大正規子群可解）:

設 $G$ 是一個群，設 $H\triangleleft G$ 是一個最大正規子群。則 $G$ 可解當且僅當 $H$ 可解。